一元初等方程的等价问题

在将方程变形时,所得方程与原方程有时等价有时不等价。究竟哪些变形使方程等价,哪些变形使方程不等价呢?这个问题在现有的参考书上已有所论述,但还不够系统和完善。这里我们将在实数范围内进一步讨论这个问题。先介绍几个概念。若方程f(x)=g(x)中f(x)、g(x) 都是一元初等函数,则称该方程为一元初等方程。若方程f(x)=g(x) (1) 的任一解都是方程F(x)=G(x) (2) 的解,反之,方程 (2) 的解也都是方程 (1) 的解,也就是说两方程的解集相同,则称它们为等价方程。若两方程不仅解集相同且每个重根的重数也都相同时,则称它们为严格等价方程。本文只讨论等价方程而不讨论严格等价方程。为叙述方便再作如下约定:下面所说方程是指一元初等方程;所说的函数是指一元初等     

方程的增减根与检验

解分式方程、根式方程、对数方程、三角方程等都有产生增减根的可能,所以解得方程的根之后都必须有验根的过程。验根的方法,一般教材都是将解得的根代入原方程,看方程的左右两端是否相等。这种方法比较麻烦。例如:解方程得到两个根:x_1=[-3 5~(1/2)]/2,x_2=[-3-5~(1/2)]/2,要利用代入法检验x_1、x_2是否是增根是比较困难的。为了更好地解决验根的问题,就必须抓住方程产生增减根的根本原因。中学数学教材中,对方程增减根的研究是建立在方程的两个基本性质的基础上的,即:(一)方程的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得的方程和原方程     

对解方程中出现增遗根问题的探讨

初等数学中有许多方程在通常解法下会出现增根或失根.初等代数中解方程的主要手段是对原方程连续进行方程变形,最后得到一个较简单的方程,用来代替原方程.若每次变形时相关的两个方程都是同解方程,那么最后的方程与原方程同解;相反,若不能做到每次都是同解变形,就可产生增根或遗根.本文试对中学课本中几类方程增遗根的原因作以粗浅分析.     

建立薛定谔方程的另一种方法

薛定谔方程是量子力学的重要基本方程,许多量子力学教材都是用微分或算符的方法来建立该方程的。本文将讨论另一种用类比来建立薛定谔方程的方法。     

非线性弹性细杆中的定常波

在非线性弹性细杆运动方程中计入粘性效应或弥散效应,用多重尺度法得到了对于小扰动下的Burgers方程或K—dV方程,这两种方程都具有稳定的行波解。     

关于丢番都方程x_1~(a_1)x_2~(a_2)…x_n~(a_n)=y_1~(b_1)y_2~(b_2)…y_m~(b_m)

1947年,E.T.Bell给出了丢番都方程x_1x_2…x_n=t~2的一般解的公式;到了1954年,波兰数学家A.Schinzel将此结果推广,得出了丢番都方程x_1x_2…x_n=t~K的一般解的公式。本文的目的是要给出更普遍得多的丢番都方程(1)     

关于参数方程中参数的选取

一条曲线是具有某些特征的点的轨迹,在直角坐标系(或极坐标系)中,当一点的坐标(x,y)(或!,")都是同一个变数t的函数时,如果对于t的每一个允许值,方程所确定的点都在某一条曲线上,同时这条曲线上的任意一点的坐标都可以由t的某一个允许值通过方程得到。那么这个方程就叫做曲线的参数方程。     

“物理化学”中3个方程的关联探析

范特霍夫方程、克劳修斯—克拉贝隆方程和阿伦尼乌斯方程都反映了温度对体系变化的影响.通过简洁严谨的论证,分析了3个方程的关联,使学生加深理解,更好地掌握相关内容及其应用.     

关于对非相对论量子力学薛定谔(Schrdinger)方程中几个疑点的分析与讨论

本文对现行量子力学教材中薛定谔(Schrdinger)方程的几个疑点进行了分析与讨论,并在此基础上阐述了量子力学中波动方程的形式与能量及波函数之间的关系,利用相对论性波函数表示式,推得了另一种非相对论性的波动方程,同时证明了该方程与薛定谔方程是等价的,它们都是克莱因—高登方程的非相对论近似。     

关于丢番都方程的整数解

Jan Mycielski曾提出一类丢番都方程:x~yy~z=z~z,x~(?)y~z-z~y和x~yy~(?)=z~(?)的整数解问题。柯召教授在中证明了当(x,y)>1时,给出这一类丢番都方程含有一个参数的无穷多个整数解,但没有给出全部整数解。本文给出这一类方程含有二个参数的整数解。     

两类广义对数函数方程和Pexider推广(英文)

函数方程在数学、空气动力学和动态经济学等领域都被涉及,因此函数方程的研究对科学技术的发展和国民经济建设都有重要的作用.众所周知的对数函数方程在实践中具有广泛的应用,近年来,它引起了研究者的关注.在这篇文章中,我们证明了两类广义对数函数方程与古典对数函数方程等效.对其中一类广义对数函数方程,我们讨论了它的Pexider方程,并给出了它的通解.对另一类广义对数函数方程,我们也讨论了它的Pexider方程,并给出了它的二次可微解,从而推广了文献(K.J.Heuvers,P.Kannappan.Aequationes Math,2005,70:117-121.)和(K.J.Heuvers.Aequationes Math,1999,58:260-264.)的相关结果.     

建立薛定谔方程的另一种方法

薛定谔方程是量子力学的重要基本方程，许多量子力学教材都是用微分或算符的方法来建立该方程的．本文将讨论另一种用类比来建立薛定谔方程的方法     

非齐次线性方程混合问题齐次化的代换法

在数学物理方程问题的求解理论中,对于线性混合问题的求解,通常采用分离变量法,但对于这个方法的使用,仅当给定问题中的方程和边值条件都是齐次时才能直接应用,否则就须要首先将问题齐次化(即将问题中的方程和边值条件都化为齐次),然后才能使用这个方法。对于齐次化方法,当混合问题中的边值条件是齐次时,一般采用齐次化原理将非齐次方程混合问题转化为齐次方程混合问题;当边值条件是非齐次时,     

空间曲线参数方程与一般方程互化

空间解析几何的首要问题就是空间曲线方程的求解问题,由曲线建立它的轨迹方程,方法很多．但是任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有的方程求解,因此,如何完成空间曲线不同方程互化便成了一个基本问题．本文通过例题展示空间税线参数方程与一般方程互化的作用,及两种方程互化中需要注意的事项．     

一些丢番都方程的解

我们已经知道丢番都方程x~xy~y=z~z在(x,y)=1,x>1,y>1,z>1时没有整数解存在;但在上面所说的条件中,除去条件(x,y)=1,我们就能得出无穷多个整数解,并且求出了一组含有一个参数的解答,对于丢番都方程x~yy~x=z~z,x~xy~z=z~x及x~xy~z=z~y亦有上面所说情形存在,但是都没有求出这些方程的全部正整数解,在本文中,我们将给出后面三个方程的另外一些解答。     

空间曲线参数方程与一般方程互化

空间解析几何的首要问题就是空间曲线方程的求解问题,由曲线建立它的轨迹方程,方法很多.但是任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有的方程求解,因此,如何完成空间曲线不同方程互化便成了一个基本问题.本文通过例题展示空间曲线参数方程与一般方程互化的作用,及两种方程互化中需要注意的事项.     

雷诺方程数值解中的几个问题

本文在对雷诺方程进行理论分析的基础上,根据不同的工况条件,提出了雷诺方程的顺解和逆解法以及两种数值法中的某些计算技巧,使雷诺方程的计算精度和收敛速度都有较大的提高。     

广义KDV方程的显示行波解

非线性演化方程,特别是广义KDV方程因其丰富的数学物理内含而备受人们关注,其精确解的研究在理论和应用上都有重要的意义,求出了广义KDV方程的显示精确解,同时给出了解成立的条件,其求解方法也适用于求解其它非线性演化方程。     

两个非线性偏微分方程的分离变量解

三维旋度方程的一维模型研究中 ,引出的两个非线性偏微分方程 (PDE) ,分别被看做是Burgers方程和KdV方程的二维推广 ,它们都存在分离变量形式的精确解。这些解可分别借助线性热导方程和相应的线性KdV方程的解去构造。若给定分离变量形式的初值函数 ,则初值问题的精确解也是分离变量形式的。     

一类非线性偏微分方程的改进的Jacobi椭圆函数精确解

对Jacobi椭圆函数展开法进行了改进,并将其应用到一类常微分方程中,比较方便的得到其Jacobi椭圆函数解.许多非线性发展方程都可借助该方程得到其相应的精确解,如MKdV方程、(2+1)维MKP方程及非线性波方程等方程的一系列新的精确解.