具有非零元素链的对角占优矩阵为非奇异的定理的一个简短证明

设 A=(a_(ij))是 n 阶对角占优矩阵,即若记 N={1,2,…,n},则对任意 i∈N 都有|a_n|≥sum from j=1 j≠i to n |a_(ij)|.本文所涉及的矩阵总假定是对角占优的。记 J(A)={i∈N||a_(ii)|>sum from j=1 j≠i to n |a_(ij)|}.当 J(A)=N 时,A 为严格对角占优矩阵,当 J(A)≠Φ,且 A 不可约时,A 是不可约对角占优矩阵,这两种矩阵都是非奇异的。当 J(A)≠Φ,A 为可约矩阵时,一九七四年 P.N.shivakumar 和 kim Ho Chew 给出了它为非奇异的一个充分条件:定理.设 A 为可约矩阵,J(A)≠Φ,若对每个 (?)J(A),都存在由 A 中非零元素构成的序列(也叫非零元素链):a_(ii_1),a_(i_1i_2),…,a_(i_(s-1))i_s,i_s∈J(A),那末 A 是非奇异的.P.N Shivakumar 和 kim Ho Chew 在证明此定理时,引用了 M—矩阵的性质,篇幅     

半幂零环与Levitzki根的一些性质

设M是任意环Ω的一个子环,如果M中任意有限个元素所生成的子环均为幂零的,则说M是一个半幂零子环.当一个半幂零子环M又是环Ω的一个左(右或两边)理想时,则说M是环Ω的一个半幂零左(右或两边)理想(参看Levitzki,J.,1943).按此定义不难依次证明下列这些断言(其中3°-5°之证明可参看谢邦傑1956):1°半幂零环之同态象仍为半幂零环.     

关于模R^（n）的一类乘法子模

设R是有单位元的交换环,M是R-模,如果对M的任意子模N,存在R的理想I,使得N=I·M,则称M是乘法R-模,本文主要结论是:设M=Rx_1+…+Rx_(?),其中x_i=(a_(1i),a_(2i),…,a_(?))∈R~(1×n),i=1,2,…,n,并且sum from i=1 to (?)a_(ii)=1,那么当R是下列环之一时:(1)整环;(2)半局部环;(3) J(R)=0,有:M是乘法R-模当且仅当F_2(A)=0,其中F_2(A)表示矩阵A=(a_(ij)_(?)中一切2阶子式在R中生成的理想。     

一般環之局部有界理想

设Ω为任意一个环.Ω的一个理想(左、右或两边)A叫做是一个指数有界的诣零理想,如果有正整数n存在,使A中每个元秦x均适合x~n=0.当A是一个指数有界的诣零理想时,则把A中元素的冪零指数的最大数叫做A的上指数.环Ω的一个理想A叫做是一个局部有界理想,如果A含有Ω的一个異於0而指数有界的詣零理想。在第一节中,我们首先证明了:上指数为n(n>1)的诣零理想恆含有上指数为2或3的诣零理想;上指数为3者恒含有上指数为2者;上指数为2的理想则必为若于个(有限或无限个)冪零理想的併集(即定理1-3).其次我们举出一个例子说明理想之指数有界性只是幂零性之必要条件而非充分条件,即使上指数为2亦     

主理想整环上有限生成模的基本结构定理的另一证明

所谓主理想整环(p、i、d)上有限生成模的基本结机定理,是指:如果M≠0是p、i、d、D上的一个有限生成模,则M是循环模的直和:M=Dx_1 (?)Dx_2 (?)…(?)DX_n并且,生成元的阶理想合乎条件:annx_1(?)annx_2(?)…(?)annx_n,annx_i≠D,i=1,2,…n.N·Jacahson在《Basijc Algebraf》一书中利用主理想整环中矩阵的标准形,给出了这个定理的证明;并且提示,如果将主理想整环中元素长度的概念推广到主理想整环上的有限生成模中,可以得到基本结构定理的另一证明.本文根据这个提示,首先证明三个引理,     

幂零矩阵和幂零线性变换

用T(n,F)表示数域F上全体n阶严格上三角矩阵作成的幂零结合代数,证明了对于n维线性空间V,必存在V的一组基使得由V的幂零线性变换生成的幂零代数N中任意元素在该基下的矩阵均为严格上三角矩阵;由V的幂零线性变换生成的最大的幂零代数均同构于T(n,F).     

广义左Hamilton环

若环R的每一非零子环都含有R的一非零左理想,则称R为广义左Hamilton环,简记为GLH-环.本文给出了诣零广义左Hamilton环的元刻划,证明了定理1 诣零环R为GLH-环的充要条件是,(?)a∈R, a≠0,有n∈Z~+使na或na~2为R的非零绝对右零因子.同时给出了诣零GLH-环幂零的一条件,证明了定理2 R为2-扭自由的诣零GLH-环,令R_D={x∈R|P~(n(x))x=0}.若有正整数N,使对任何素数p及(?)~x∈R_p,有o(x)相似文献   

关于环的几个定理

本文分三部分,第一、二两部分证明了环的几个交换性定理,文献[1]、[2]、[7]、[8]、[9]的结果则成为这些定理的直接推论.第三部分给出了一个例子,从而证明了任一个有限生成的理想皆为幂零理想的环,其幂零元的幂零指数可以是无界的。     

近似诣零理想与根

在一般珠之构造理论中,关于Kthe(1930)所定义之根是否在一般环中存在的问题至今尚未解次.其主要困难在于不易证明两个诣零左(或右)理想(即仅含幂零元素之理想)之和仍为诣零左(或右)理想.有凿于此,我们才考虑用近似诣零理想之概念(参看§1)去代替诣零理想之概念.这样便能在一般环中定义出根来.当一环之根为{0}时,则该环叫做半单纯环;当一环之根为该环本身时,则该环叫做根环.环{0}则既为半单纯环又为根环.     

元素幂生成的理想

讨论模加法子群的有界诣零 -幂零问题 ,推广了 Nagata- Higman定理及关于交换环的元素幂生成的理想的结论     

有限p—幂零群的一个新刻划

推广了Itδ的结果,得到下述主要定理.定理1 设G是有限群,N(?)G,G/N p-幂零.那么(i)p为奇素数时,G p-幂零当且仅当N的p阶元均含于Z_(p∞)(G);(ii)p=2时,G 2-幂零当且仅当N的2.2~2阶元均含于Z_(2∞)(G).定理2 设G是有限群,N(?)G且G/N是幂零群.那么G是幂零群当且仅当N的素数阶元与2~2阶元均.含于Z_∞(G).此外,还证明了定理3 设G是有限群.则Z_(p∞)(G)=NI_(G)=∩{M|M为G的极大p-幂零子群}.     

关于Pseudo Weakly J-clean环（英文）

一个环R叫做pseudo weakly J-clean环,如果R中的每一个元素都可以写成a=e+w+(1-e)Ra或a=-e+w+(1-e)Ra的形式,其中e是幂等元,w属于Jacobson根.文章探究了pseudo weakly J-clean环的各种性质.环R是pseudo weakly J-clean环当且仅当幂级数环R[[x]],Hurwitz级数环H(R),平凡扩张T(R,M)和S(R,σ)分别是pseudo weakly J-clean环.更进一步证明以下几点是等价的:任意的n∈N,Sn(R)是pseudo J-clean;任意的n∈N,R[x]/(xn)是pseudo J-clean,(xn)是由xn生成的理想.特别的,阐述了在某种条件下S=R[D,C]是pseudo weakly J-clean;并且得出结论:当2是R中的可逆元时,R是pseudo J-clean当且仅当群环RC2是pseudo J-clean.     

环的交换性定理

本文证明了如下定理:定理1 环R有左单位元,N为R的幂零集元合,(?)x,y∈R,若x≡y((?)od N)就导致x,y与N中元可换或x~k=y~k,x~(k+1)=y~(k+1),其中k=k(x,y)>2,则N为R的理想;且当R/N的每一子环都幂等时,R为交换环.定理2 环R有左单位元且为2-扭自由,N为R的暴零元集合.若V~x,y∈R,x≡y(mod N)就导致x,y与N中元可换或x~k=y~k,x~(k+1)=y~(k+1),k=k(x,y)>2;或x~2=y~2,则N为R的理想,且当R/N的每一子环幂等时,R为交换环.     

右DQC--环

定义了比DQC-环更广的右DQC-环,如果R的任何理想I均由I∩生成,其中={r∈R| 对任意s∈R存在S‘∈R使得sr=rS‘}.首先给出一个右DQC-环但非DQC-环的例子,其次讨论了右DQC-环R的一些基本性质. 得到了定理1:右DQC-环R若为右Noet-her环,则R的理想有右准素分解;定理2:若R是理想满足降链条件的右DQC-环,则R的Jacobson根是幂零的.     

剩余类环中幂零元的个数

本文将讨论剩余类环Z的幂零元的个数问题,并给出其个数公式,类似地,还给出E_p[x]/(f(x))中幂零元的个数公式引理设(?)是环Z(?)的元素,n的既约因子分解为n=P_1~(r_1)p_2~(r_2)…P(?)其中p_1,p_2…p(?)是互异素数,r_1,r_2,…,r(?)为正整数,则(?)为Z(?)的幂零元的充分必要条件是p_1p_2…p|a。定理对于给定的正整数n,若其既约因子分解为n=P_1~(r_1)p_2~(r_2)…P(?),其中p_1,p_2,…p(?)为互异素数,r_1,r_2,…,r(?)是正整数,则Z所含幂零元的个数为     

环的几个定理的新证明和根的两个定理

谢邦杰证明了环R的上指数有限的诣零右理想必含R的上指数为2的诣零右理想;R的上指数为2的诣零右理想是R的幂零右理想的并集。Herstein证明了满足(xy—yx)~n=0的环的全部幂零元集为环的一个理想(参见文献[3])。本文给出以上两个结果和某些根的存在与结构定理的新证明。此外,本文给出一个环性质是一个根性的充分必要条件和R_n是半单纯环的一个充分条件。     

具有置换性质的环

<正> 本文所讨论的环均指结合环。定义设R为结合环,如果对于R中的任意n(≥2)个元素a_1,a_2…a_n,存在一个n元置换σ∈s_n,σ≠id,使得a_1a_2…a_n=a_(σ(1))a_(σ(2))…a_(σ(n)),就称环R具有n—置换性质。由定义易知;当n=2时,具有2—置换性质的环就是通常的交换环,因此置换性质是交换性质的一个推广。容易看出:如果R具有置换性质,则R的任一乘法子半群;子环以及R的任一同态像也都具有置换性质。     

剩余类环的拟正则元、Jacobson根和合成列

本文讨论了剩余类环的拟正则元,Jacobson根和合成列。主要结果如下定理1 1)剩余类环Z_n有φ(n)个拟正则元,其中φ(n)是欧拉函数。2)Z_n的幂零根是N(Z_n)=,其中n=p_1~(k_1)p_2~(k_2)……p_m~(k_m)定理2 Z_n有τ(n)=(K_1 k_2 …k_m)!/(k_1!k_2!…k_m!)个互异的合成列,其中n=p_1~(k_1)p_2~(k_2)…p_m~(k_m)。     

关于Baer根

环M叫做一个Baer根环,如果M的任意非零同态象恒含有非零的幂零理想.环Ω的一个理想A叫做一个Baer理想,如果环A是Baer根环.任何环Ω的所有Baer理想之并集仍为Ω的Baer理想,叫做Ω的Baer根(参看谢邦傑1955,§1).定理1.不含单位元素之环恒可扩张为含有单位元素之环使其Baer根不变.证明.设Ω是一个不含单位元素的环,若将Ω扩张为Ω_0那样的环(参看谢     

关于不定方程a_1X_1+a_2X_2+…+a_nX_n=N的非负解个数的讨论

设不定方程(1)a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=N,其中,n≥2,(a_1,…a_n)=1,N和a_i(i=1,2,…,n)均为正整数(且不妨假设a_1≤a_2≤…≤a_n)。 (1) (1)的非负整数解的个数是有限的,设为T_n(N)。记0相似文献