高等几何与初等几何

欧氏几何作为仿射几何、射影几何的子几何,使我们有可能把初等几何、解析几何放到更为广阔的背景中去考虑,有助于弄清欧氏几何与其它几何的联系与区别,以便从高观点下把握和处理中学教材,这无疑对中学几何教学有很大的指导作用.如何来认识这种指导作用,笔者认为至少应注意以下5个方面:1.用高等几何的方法给出初等几何命题的简洁证明,如利用笛沙格(Desargues)定理证明三角形的三条中线交于一点;利用交比证明有关圆的问题;利用完全四点形的调和性,可     

对张克刚《联想》的推广及证明

读《数学通报》94年11期 张克刚先生《对一个命题的联想》一文,(以下记为文[1])很受启发。今对文[1]中几个命题再作一些联想与推广。顺便给出其文最后提出的猜想的准确结论及证明。 1.将文[1]中命题6—10中的正方形推广到矩形,有类似结论,如: 命题1(2)直径为d的圆上任一点到该圆的任一内接矩形各顶点(各边中点)距离的平方和为定值2d~2,(3d~2/2)。 其余命题可类似推广,证明也易,只用勾股定理。三角形中线长定理就行。略。     

关于几何基础中的一个命题

在希尔伯特的几何基础书中第二章§12后面有一个未附证明的命题: 若存在某一个三角形的三个内角和大于、等于或小于两个直角,则每一个三角形的三个内角和也必都如此。 希尔伯特指出了在初等几何公理系统的前三组关联、次序和全合公理基础之上可以证明。为了证明此命题导入下列诸引理,在证明的过程中将用到希尔伯特几何基础第1§1—6。     

CH和P—NP的间接证明

说明　已经证明 ＧＣＨ和Ｐ≠ＮＰ ,及其他一些重要结果。整个证明包括三个部分 :一 , ＣＨ和Ｐ≠ＮＰ的间接证明 ;二 , ＧＣＨ的直接证明 ;三 , ＧＣＨ的形式证明。限于篇幅 ,本文只是第一部分 ( ＣＨ和Ｐ≠ＮＰ的间接证明 )的证明摘要 ,第一部分的所有证明细节及第二、第三部分的证明将在后续文章中给出。1　证明思路( 1 )根据Ｇ ｄｅｌ第一不完全性定理 ,对任一个数学的形式公理系统ＦＡ来说 ,如果ＦＡ满足 :①ＦＡ是真正形式的 ;②ＦＡ足够丰富 ,可以展开一个适量的数论 ;③ＦＡ是协调的 ,那么ＦＡ中至少包含一个命题Ｆ ,使得Ｆ和 Ｆ…     

三角范畴定义中八面体公理的等价命题及其应用

三角范畴是一个带有自同构的加法范畴,并且满足4条公理,其中的1条重要公理是八面体公理.由Grothendick-Verdier在上个世纪60年代提出的八面体公理相对于其它3条公理形式比较复杂,应用起来比较不方便.因此研究八面体公理的其它等价命题引起了人们的兴趣.本文在王济荣工作的基础上给出八面体公理的第1个等价命题,再利用对偶的思想导出八面体公理的第2个等价命题.最后利用homotopy cartesian得到八面体公理的第3个等价命题,并利用第3个等价命题简化Peng和Tan的证明.     

抛物线焦点弦的一个性质与推广

发现了抛物线焦点弦的一个性质:过抛物线x2=2py(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点Q是抛物线上任意一点,AQ、BQ与抛物线准线交于点M、N,则:FM⊥FN,并加以证明和推广.     

邏輯代数应用二则

全日制十年制学校高中课本《数学》第三册第六章中讲了逻辑代数的基础知识及其在逻辑线路上的应用。本文试图将逻辑代数在数学证明与逻辑方程(组)两个方面的应用作简单介绍。供中学数学教师、高师院校数学系学生、中学高年级学生作参考。一、逻辑运算及其性质(一)命题内容确定且能判断真假的语句叫做命题。例如:A:“明天下雨”;B:“后天下雨”;C:“明天下雨或后天下雨”;D:“明天下雨且后天下雨”;E:“24是3的倍数”;F:“1 1 <2”,等等都是命题。     

什么是命题——逻辑代数之一

一、问题的提出 1982年上半年,北京广播电视大学邀我在北京电视台为北京市中学数学进修教师主讲集合论逻辑代数课程,为联系中学数学教材,我阅读了中学数学统编教材的有关部分。发现其中有些问题,需要提出来与有关方面进行讨论,“什么是命题”就是其中之一。什么是命题?初中课本与高中课本作了不同的回答,一个说它是某种句子,一个说它是某种语言。具体地说全日制十年制学校初中数学课本第三册第43页(或全日制十年制初中数学课本几何第一册第43页)是这样回答的。前面我们讲过:“‘两点决定一直线’、‘经过直线外的一点,有且只有一条直线和这条直线平行’、‘两条直线被第三条直线所截,如果     

关于一个命题的证明的注记

书[1]是一本很好的几何读物。本文的目的是指出其中一个命题的证明中的问题,并给出修正的证明。该书的第五章第六节的命题7 设 S 是 Gauss 曲率 K≤0的完备曲面,则映射 exp_p:T_p(S)→S 是复叠映射。这是 Hadamard 定理的予备命题。命题的证明利用引理1 设 S 是具有 K≤0的完备曲面,则映射 exp_p:T_p(S)→S 是按下面的意义的长度     

从高等几何观点看三角形“四心”

外心、内心、重心和垂心是三角形的几个重要的特殊点,它们分别是三角形三中垂线、三内角平分线、三中线和三高线的交点。然而两直线如相交交于一点是显然的,但对于三直线来讲,三线共点并非显然。因此学生在学习过程中往往很自然地问"三条直线是否恰好相交于一