关于方程ψ（x）=ψ（y）

设ψ（ｘ）为Ｅｕｌｅｒ函数，Ｒ．Ｄ．Ｃａｒｍｉｃｈａｅｌ猜想：对每一正整数ｘ，存在不等于ｘ的正整数ｙ，使得ψ（ｙ）＝ψ（ｘ）。作者给出方程ψ（ｘ）＝ψ（ｙ）的解的结构，利用这种结构得到探求解的算法以及Ｃａｒｍｉｃｈａｅｌ猜想的反例所满足的一些条件，Ａ．Ｓｃｈｉｎｚｅｌ猜想，对每个偶整数ｋ，方程ψ（ｘ＋ｋ）＝ψ（ｘ）有无穷多解。作者证明：如果存在无穷多个素数ｐ，使２ｐ－１仍为素数，则Ｓｃｈｉｎｚｅｌ     

关于（∑K^q）^r=（∑K^s）^t

本文主要指出,当且仅当ｑ＝ｓ,ｒ＝ｔ,或者,ｑ＝３,ｓ＝１,ｔ＝２ｒ时,恒等式（∑Ｋｑ）＾ｒ＝（∑Ｋ＾ｓ）＾ｔ成立。     

f‘（h（x））=g（x）的求解定理

文［１］仅就ｈ（ｘ）＝ｅ＾ａｘ及ｇ（ｘ）为某几类函数求函数ｆ（ｘ）作了研究。本文在此基础上，采用变量替换与养伤微分法再作深入的探讨，又给出了若干求解定理。     

极大秩函数ρf（7）=44,ρf（8）=80

ｎ维布尔向量空间Ｖｎ中存在极大无关组Ｂ，使得Ｖｎ中的任意无关组Ｗ，｜Ｗ｜≤｜Ｂ｜，Ｂ的基数｜Ｂ｜称为极大秩函数，记为ρｆ（ｎ）．本文证明了ρｆ（７）＝４４，ρｆ（８）＝８０．     

f‘（h（x））=g（x）几个求解定理

研究了一般的ｆ’（ｈ（ｘ））＝ｇ（ｘ）的求解问题是相当困难的，文们仅就ｈ（ｘ）＝ｅ＾ｑｒ及ｇ（ｘ）为某几类函数ｆ（ｘ）作了研究。本文在此基础上再作进一步的探讨，给出了更为广泛深入的结论。     

关于方程Sx（n）=Sy（3）的商榷

与第m个n角数Sm(n)相联系的方程Sx(n)=Sy(3),证明了：（1）当D＝n-2是非平方数,且u12-Dv12=-1有解（u1,v1)时,则该方程有无穷多组解。（2）当n-2是非平方数时,该方程或者无解或者有无穷多解,举例说明了结论（1）中u12-Dv12=-1有解的条件不是必要的,还指出文献[3]中的错误。     

x=φ（t）,y=ψ（t）所围图形的面积方法

在定积分的几何应用中,学到用定积分求平面图形的面积问题。由于围成平面图形的曲线有三种形式:直角坐标形式,参数方程,极坐标。下面仅就曲线由参数方程给出时,研究计算其面积的方法。     

不定方程∑（i=1,n）xi=П（i=1,n）xi的因数分析解法

引入了不定方程正整数解的有关性质的引理和定理，并在此基础之上给出了求解该不定方程的所有正整数解的因数分析解法．     

多项式恒等式d^HM（AX）=d^HM（XA）成立的条件

讨论Ａ∈ＧＬ（ｎ，ｃ）时ＶＸ∈Ｍｎ（Ｃ），多项式恒等式ｄ＾ＨＭ（ＡＸ）＝ｄ＾ＨＭ（ＸＡ）成立的充要条件，这里Ｈ是ｎ次对称群Ｓ的子群，而ｄＨＭ表示由群Ｈ的酉表示Ｍ诱导的矩阵函数。     

方程φe（n）=2ω（n）（e=8,12）的正整数解

利用初等的方法和技巧,研究方程φ_e（n）=2^ω（n）（e=8,12）的可解性,确定其全部正整数解.     

关于数论函数方程Ф（n）=s（n^7）

对于正整数n，设Ф（n）和s（n）分别是Euler函数和Smarandache函数，证明了：方程Ф（n）=s（n^7）仅有整数解n=1，64，72，80．