集合·悖论·模糊

本文从集合论的概念入手，引入了朴素集合论中的著名悖论，从数学的哲学分析，阐明了集合论的两个发展方向──公理化及模糊化处理。     

逻辑数学悖论及其解决

逻辑——数学悖论是指仅借助于逻辑和数学的符号而得以构造的悖论。从历史发展看，其主要是指布拉里——福蒂（Burali—Forti）悖论，康托悖论和罗素悖论，它们分别是在1897、1899及1902年提出的。逻辑——数学悖论的出现，明确地表明素朴集合论中包含有逻辑矛盾。解决逻辑——数学悖论，必须对康托的素朴集合论加以限制，特别是必须抛弃前面所提到的概括原则。按策梅罗的研究成果，只须对公理适当地加以选择，就可做到既能使新建立的集合论能成为数学的基础，同时又能确保新的理论不会导致悖论。     

互逆主义集合论排除了逻辑-数学悖论

互逆主义集合论用将元素与集合分为3层的方法排除了罗素悖论,这种方法比类型论简洁。互逆主义认为罗素悖论、布拉里-弗蒂悖论、康脱尔悖论中的全集是无意义的集合,而互逆主义只研究有意义的集合,这种排除悖论的方法与ZFC认为大全集不存在的方法不同。     

数学悖论研究

悖论是一种特殊的逻辑矛盾,它具有相对存在性、可解决性、创新性等特点。在数学发展史中,最著名的3个悖论分别是“毕达哥拉斯悖论”、“贝克莱悖论”、“集合论悖论”,悖论对数学发展起着巨大的推动作用。研究悖论对数学的发展和数学教育都有一定的现实意义。     

康托在集合论中的两个失误

分析了罗素悖论与康托在现有集合论中两个重要证明之间的本质性联系，结果发现，康托关于实数集合不可数及康托定理＝↑S＜＝↑P（S）的证明都是错误的。     

对“突然演习悖论”的分析

"突然演习悖论"又称"意外考试悖论"、"意外绞刑悖论"等,是一个著名的逻辑悖论,许多学术大家都对其有所讨论,但至今没有公认的消解方案。在对"突然演习悖论"的缘起做了简要叙述后,用非技术化的语言对此悖论及其改进和变种进行了简要的梳理和分析,重审了可能导致悖论的推理前提和步骤,并提出了自己的尝试性解决思路。     

罗素悖论及其意义

悖论,按A·A·Fraenkel与y·Bar—Hillel的说法,如果某一理论的公理和推论原则上看上去是合理的,但在这个理论中却推出了两个相互矛盾的命题,或者证明了这样一个复合命题,它表现为两个互相矛盾的命题的等价式,那么我们就说这个理论包含了一个悖论。     

真与悖论问题——贺柏和“真”之公理化研究进路浅析

基于真理论的逻辑与哲学研究,牛津大学贺柏和教授在国际权威期刊上发表了大量学术文章,它们形成了过去10年间在该领域讨论的要点,使他成为当前该研究领域的领军人物。通过真与悖论问题的相关讨论,介绍贺柏和真之公理化理论的基本思路,探讨相关公理系统的哲学问题。     

经典数学悖论的语用学解读

希帕索斯悖论、贝克莱悖论和罗素悖论是数学发展史上的经典悖论。这些曾经引发数学"危机"的悖论都是从特定数学共同体"公认正确的背景知识"中合乎逻辑地推导出来的。创新由以导致悖论的相应的"背景知识"是消解这些悖论的共同路径。经典数学悖论的发现、分析和消解研究,对于科学理论悖论的研究具有方法论的意义。     

Fuzzy集合论的公理系统

本文引入基本 Fuzzy 点的概念,并以此为基础给出 Fuzzy 集的公理化定义.进一步建立 Fuzzy 集合论的公理化系统.最后讨论 Fuzzy 集几种定义之间的关系.     

道德悖论逻辑归属问题探究及其拓展

基于普通逻辑的悖论研究既不能准确把握道德理论悖论的辩证特性,更不能为道德实践悖论提供令人信服的逻辑支撑。只有诉诸于辩证思维和辩证逻辑,才能真正揭示悖论本质,并就道德悖论逻辑作出恰当定位。道德理论悖论应当归属纯粹理性逻辑范畴,而道德实践悖论因具有与之不同却又相似相通的形成原因和解悖路径,可以划归极具辩证意义的实践理性悖论,从而引发逻辑及其悖论研究的领域突破与学术创新,构建统摄纯粹思维与行为推理、理论理性与实践理性的全新的逻辑学说和悖论学科。     

思维的数学基础──罗素“悖论”真是悖论吗？

作者认为，客现世界由物质组成；时间和空间是物质存在的基本形式，是不可分割的整体；人类思维中的任何抽象、思辩、描述、表达，…等等，都不可能是超时空的。但作为研究客观世界抽象规律的数学，其基础却尚未反映出这一本质属性。这可能正是离散与连续关系所蕴含的矛盾至今不能解决的基本原因。也是“集合论”体论的根源所在。因此，“悖论”之所以为体论，根源就在于思维基于绝对时空背景下的惯性；悖论的意义也在于其揭示了当前数学基础的绝对时空性质。     

物理教学中导致悖论教学法的探讨

以物理教学法中的导致悖论法为研究对象,以科学的教育理论为依据,从导致悖论教学法的理论依据、悖论的教学功能和导致悖论教学法的使用三个方面进行探讨,得出导致悖论教学法的确是一种行之有效的教学方法.用导致悖论教学法,让学生在“上当”中反思,在“上当”中学到知识,掌握方法,培养能力,从而使教学效果事半功倍.     

对三个悖论的消解

目的讨论意外考试悖论的自然语言版本、蒙塔古-卡普兰版本以及知道者悖论诸论证的有效性问题。方法以一条叫做逻辑先后律的思维原则为工具,对所论问题进行剖析。结果 (发现)①对第二天是否考试的判断环节的缺失,使问题无法讨论及论证无效;②意外考试悖论的自然语言版本中,不能推出"最后一天不可能考试"的结论;③意外考试悖论的蒙塔古-卡普兰版本中,合理假定(C4)非恒真;④知道者悖论的推理前提,是一个不合逻辑的定义。结论上述三个悖论的论证均是无效的。     

论数学公理化方法的作用及其局限性

数学公理化方法是研究数学的重要思想方法,它对于近代数学和其他自然科学的发展起过巨大作用和深远影响。数学公理化的目的,就是把一门数学表述为—个演绎系统,这个系统的出发点则是一组基本概念和若干基本命题,基本概念必须是对数学实体的高度纯化和抽象,而基本命题则是对基本概念相互关系的制约和规定。数学家们在评论波及全球的“新数”运动时,已指出数学公理化方法的局限性,事实上,数学家在解决一个数学难题时,总是首先从现有数学宝库中去索搜适宜的微观数学方法,而不是先求助于数学公理系统。     

知识依赖性的度量

给出了知识依赖性度量的公理化定义,并根据该定义分别从粗集理论、集合论、信息论等多个角度得到了知识依赖性度量的范例.在此基础上,对知识的相对重要性进行了描述并得到了一种简化决策规则的新方法.利用这种知识的依赖性度量,可对规则提取算法LEM1作一个有效的推广.     

对新模糊集合论基础的一些注记

近来,一些学者指出Zadeh模糊集合论存在缺点和错误,建立了新模糊集合论.针对新模糊集合论提出了自己的见解.首先,在分析C-模糊集合论的定义时,发现该定义中存在两个不足之处.正是由于这两个不足之处,模糊集合之间的运算就会受到质疑而无法进行.最后,辨证地分析了Zadeh模糊集合论存在的缺点和错误.     

关于数学公理化方法

关于数学公理化方法郭一卫，谢桦公理化方法是自然科学，特别是数学的重要逻辑演绎工具。长期以来人们对公理化方法研究不止，存在不同的看法和争议，并由此而不断产生新的科学分支。从这个意义上讲，公理化方法研究总是充满生机的。本文结合（几何基础》、《高等几何》和...     

佯谬：推理的迷宫

“佯谬”又叫做“悖论”,是指从看似正确的前提出发,经过看似正确的逻辑论证却得到了荒谬结论的那种矛盾命题。在通常所说的佯谬中,有一些佯谬,‘经过认真分析,总可以发现其前提或逻辑包含有错误,这一类佯谬是“疑似佯谬”。然而也有一些佯谬,你不得不承认其前提和逻辑都是正确的,却不知为何同时得到了两种相反的结论。这二类佯谬是“真佯谬”。本文介绍的9个佯谬非常有意思,。读者可以用来考验一下自己的头脑。     

浅谈语义悖论

悖论是逻辑方面的分支,可分为语形悖论和语义悖论。本文以科普目的出发,通过对说谎者悖论、理发师悖论和格雷林悖论予以简要介绍分析,说明语义悖论的趣味性和重要性。