n阶等差数列的隐蔽公差

摘要 等差是等差数列最核心的本质特征。高阶等差数列（或称n阶等差数列）是等差数列的普遍形式,一阶等差数列是n阶等差数列当n=1时的特例。研究表明,高阶等差数列的差分性质在经济计量领域有明确的体现。例如,单整序列数据I(n)的差分性质即与n阶等差数列密切相关。遗憾的是,以往所见关于等差数列的讨论,大多围绕其一阶情况展开。有些常见的关于等差数列的定义也仅仅适用于一阶条件的假定,不能确切描述等差数列的高阶（二阶及以上）情况。为了适应经济计量研究与实践的发展,有必要重新研讨关于等差数列术语的定义问题。本文尝试提出高阶等差数列“隐蔽公差”的概念,同时给出n阶等差数列的形式表达以及n阶等差数列公差与其相对应一阶等差数列公差的换算关系式D=dⁿn！,其目的在于放宽约束条件,给出能够涵盖n阶等差数列情况、具有普适性的术语定义。高阶等差数列的差分性质在经济计量领域有明确的体现。例如,单整序列数据I(n)的差分性质即与n阶等差数列密切相关。对于单整序列数据来说,即使原变量数列不服从正态分布,经过数次差分之后也会“剔除掉某种固有的规律”而使数列趋于正态分布。事实上,差分剔除掉的这种“固有的规律性”即是n阶等差数列的主要成分,而所谓“经过数次差分”的次数,就是高阶等差数列的阶次n^[1]。一、关于等差数列术语的定义和描述以往关于等差数列的讨论,大多围绕其一阶情况展开。目前常见的关于等差数列的定义(例如《辞海》乃至《数学辞海》当中的解释)也仅仅适用于一阶条件的假定,不能涵盖等差数列的高阶(二阶以上)情况。为了适应经济计量研究与实践的发展,有必要重新提起关于“等差数列”术语的定义问题。本文提出关于等差数列的一个术语：隐蔽公差,并以此为线索展开讨论。本文讨论的数列,仅限于单调递增的正整数序列。作为这些讨论的背景,首先需要了解什么是“等差数列”,以及“n阶等差数列”。顾名思义,等差数列应该是数列的一种。那么什么是数列呢？数列(定义1.0)：序贯之数,谓之数列。一组数按第一个、第二个等等排下去就成为数列。其中第一数称为第一项,第二数称为第二项等等。当项数是有限时称为“有限数列”,否则称为“无限数列”。例如,1,10,100,1000,10 000,...和-1/2,-1/3,-1/4,...都是无限数列。经济研究当中涉及的数列大多是有限数列,但若以经济发展的延续论,这些数列则将体现出无限数列的性质。等差数列(定义1.1^*)：据《辞海》,若有数列从第二项开始,每一项与前一项的差均为常数d,则称该数列为“等差数列”,d,称为“公差”,等差数列的一般形式可以写成a,a+d,...,a+nd,...的形式。任一等差数列的前n项的和为n(首项＋末项)/2。例如,自然数列1,2,...,n,...是等差数列,它的前n项之和为n(n+1)/2。显然,所谓“等差数列”的“等差”,就表现在它们具有常数公差d,通常讨论的等差数列为按照从小到大顺序排列的整数序列,故d为大于0的整数。公差(定义1.1.1^*)：根据《辞海》和《数学辞海》^[2]的解释,在以“等差数列”为背景的讨论中,“公差”指的是“等差数列中相邻两项的差”。但是严格说来,这个定义不确切,或者说是不完全的。事实上,等差数列是有阶次的,例如数列1,2,3,4,5,6,...是一阶等差数列,其公差等于(2-1)=(3-2)=(4-3)=...=1;将一阶等差数列中的各个元素平方,则得到1,4,9,16,25,36,...,这是一个二阶等差数列。服从术语层次概念,二阶等差数列当然也是等差数列。但是(4-1)=3,(9-4)=5,(16-9)=7,(25-16)=9,(36-15)=11,...,也就是说,这个数列“相邻两项的差”不相等。这与前文所引“等差数列(定义1.1^*)”存在冲突。在严格的意义上,对“公差”这个术语来说,应该是“一阶公差”的简称,其确切的定义表达应该是：(定义1.1.1)“一阶等差数列中相邻两项的差”。二、隐蔽公差和N阶等差数列的形式表达同样,上述所引工具书中关于“等差数列”的定义,实际上也是仅仅针对“一阶等差数列”而言。在高阶情况下,即当n大于1时,等差数列前n项之和的计算公式与一阶情况下的计算方法有所不同。如果按照前述所引关于“等差数列”的定义(定义1.1^*),则相当于拒绝承认“高阶等差数列”是“等差数列”,因为根据高阶(二阶以上)等差数列的直观表现,其相邻两项的差并不相等。但是,二阶等差数列经过一次“差分”运算,即以数列的后项减去前面一项,可以得到一个一阶等差数列,这个一阶等差数列具有常数公差。我们称这个“公差”为二阶等差数列的“隐蔽公差”。以最常见的自然数列为例,该数列是具有公差d=1的一阶等差数列,记作{A¹(d)},其中d=1,紧随字母A之后的上标数字表示该数列的阶次。对应地,将该数列中各项元素分别做平方运算,则构成一个二阶等差数列,{A²(D)}。定义D为这个数列的“公差”。如是,则分别有：{A¹(d)}=1,2,3,4,5,6,7,8,9,… (1.1){A²(D)}=1²,2²,3²,4²,5²,6²,7²,8²,9²,… =1,4,9,16,25,36,49,64,81,… (1.2)数列{A²(D)}没有明显可见的“公差”。但若对其施行一次差分,则得到：{A^2-1(D)}=3,5,7,9,11,13,15,17,… (1.3)这是一个一阶等差数列,其公差等于2。对于这个经过一次差分得到的新数列,我们将其记作{A^2-1(D)},其中紧随字母A之后的上标算式(2-1)表示对二阶等差数列进行了一次差分。观察{A^2-1(D)},显然D=2,这就是高阶等差数列的“公差”,虽然这个公差不能从高阶等差数列的原始形态中直接观察得到,但它却是肯定存在的,由此我们称其为“隐蔽公差”。高阶等差数列具有数值确定的“隐蔽公差”。若非如此,便不能称呼这个数列为“等差数列”。仿照上述方法,继续再对{A^2-1(D)}进行一次差分,则可以得到{A^2-2(D)},这是一个所有元素都等于D=2的0阶“等差数列”。可以把这种情况看作是n阶等差数列的特例。对于{A^2-3(D)}而言,数列当中所有元素皆为0,是更为极端的特例。不失一般性,我们给出关于“隐蔽公差”的定义以及适合所有阶次等差数列的形式表达。隐蔽公差(定义1.1.2)：在等差数列中,需要经过一次以上差分运算才能观察得到的高阶等差数列的公差称为“隐蔽公差”,记作D。高阶等差数列具有数值确定的隐蔽公差。等差数列的形式表达(定义1.1.3)：对于阶次为N,公差为G的等差数列A,记作{A^N(G)},其中上标N可以是数字、算式或字母符号;G是等差数列的广义公差。高阶(二阶以上)等差数列的隐蔽公差D和一阶等差数列的公差d(可以对称为显见公差)统称为等差数列的广义公差。三、 等差数列与算术级数的概念比较为了继续以下的讨论,需要简单回顾关于初等级数当中算术级数的概念并与等差数列的概念加以对照^[1]。一般来说,初等级数包括算术级数(也称等差级数)和几何级数(也称等比级数)。所谓等差数列,是一组数据按照一定(等差)规律依次排列的形式。这种形式类似于数学定义的等差级数,亦即算术级数,但是数列与级数二者所关心的具体侧面有所不同。数学定义的等差级数系指一和,即数列当中所有相关数项的加总值,而关于等差数列的研究似乎更关注数列各元素之间的关系,甚至不同阶次数列间数据变换的内在联系。如果考虑等差数列“前n项的和”,则与算术级数的关注点近似相同。通常意义上数列研究的对象是确切的数量关系,而不考虑随机变量的影响。经济计量学研究涉及的数据序列则表现为常规等差数列与随机变量的叠加,甚至等差数列的公差也可能存在随机扰动。例如,从1到100的自然数的和是一阶算术级数,其首项a=1,末项z=100,公差d=1,这个算术级数的值S=1+2+…+100=5050。显然,自然数构成公差为d=1的等差数列。相对应的,所有自然数的平方构成另一数列,这个数列的元素分别为1²,2²,3²,4²,5²,…,即1,4,9,16,25,…,我们称其为2阶等差数列。同理,所有自然数的立方构成另一高阶等差数列,这个数列的元素分别为1³,2³,3³,4³,5³,…,即1,8,27,64,125,…,我们称其为3阶等差数列。余此类推。等差数列的元素中可以含有截距因素。为简化起见,在本文的讨论中假定各数列元素的截距为0。记一阶等差数列为{A¹(d)},d>0,其中包含数列元素a_i,i=1,2,3,…,I。记2阶等差数列为{A²(D)},D>0,其中包含数列元素,i=1,2,3,…,I。记3阶等差数列为{A³(D)},D>0,其中包含数列元素,i=1,2,3,…,I。一般地,记n阶等差数列为{Aⁿ(D)},D>0,其中包含数列元素,i=1,2,3,…,I。在这些记述中,D均为隐蔽公差,需要通过对数列内各相邻元素进行n-1次差分后得到。在n次及n次以上的差分过程中,各次所得之差均为0。四、隐蔽公差与对应一阶等差数列公差的关系高阶等差数列(或n阶等差数列)是等差数列的普遍形式,一阶等差数列是n阶等差数列当n=1时的特例。一阶等差数列具有常数公差d。对n阶等差数列而言,各相邻项的差乍看起来并不相等,只在第n-1次差分(后项减去前项)时才是常数。定义这个常数为n阶等差数列的公差,记作D。由于n阶等差数列的公差D不能从原数列中直接观察得出,故称其为隐蔽公差。高阶等差数列之“等差”即源于此。高阶等差数列的公差虽然“隐蔽”却是“确定的”。对n阶等差数列进行差分,其过程产生的结果即为n-1阶数列。称为“对等差数列的降阶运算”。按照上述定义,一阶等差数列记作{A¹(d)} 。当公差d=0时,{A¹(d)}退化成为{A⁰(0)},即所有元素相等的0阶数列。如果对应于数列{A⁰(0)}当中的每一元素a_i=a分别加上随机误差项ε_t,则数列可表为截距水平在a的随机过程。这是一个I(0)即0阶单整过程。如前所述,对于{A¹(d)},d>0,若取数列当中各元素a_i(a_i=a_i-1+d)之平方构成另一数列,即可得到一个2阶等差数列。记作{A²(D)}。陈列{A²(D)}可知,直观上这个数列已经不再是等差数列。即a_i-a_i-1≠a_i+1-a_i。但是,对{A²(D)}进行一次差分得到的新数列{A^2-1(D)},则是公差为D的1阶等差数列。n阶等差数列的隐蔽公差D是与其相对应的一阶等差数列公差d和数列阶次n的函数,即D=f(d,n)。此时满足关系D=dⁿn！。其中：D为n阶等差数列的公差(当n>1时即为隐蔽公差);d是与该n阶等差数列相对应的一阶等差数列的公差^[4]。按照这个公式可以求出,对应于自然数列(公差d=1)的2阶等差数列和3阶等差数列的隐蔽公差D分别是D=1²2！=2和D=1³3！=6。同理,对应于公差d=2的数列(例如奇数数列或偶数数列)的2阶等差数列和3阶等差数列的隐蔽公差分别是D=2²2！=8和D=2³3！=48。总之,“等差”是等差数列最核心的本质特征。所谓等差数列,必有“等差”存在。对阶次n>1的等差数列而言,非经运算不能见其等差。因此,在高阶情况下,数列之等差是隐蔽行为。阶次越高,其公差隐蔽越深。另一方面,这个公差虽则隐蔽,却有明确的数值,并与与其相对应的一阶等差数列公差存在有稳定的换算关系。人们把“高阶算术数列”称为“高阶等差数列”,即是对其本质特征的宣言。     

cointegration:协整=同积=协积?

术语是学问的细胞.规范术语是繁荣学术的重要内容,也是开展学科建设的重要手段.随着经济计量学的发展,相关学术译著大量涌现.指称同一客体的译名或术语之不同于是发生,例如cointegration的翻译,就有协整、同积、协积、共积、积整等数种之多.在经济计量学的概念中,协整性反映数个随机变量线性组合之后的非平稳程度之变动性质.作为经济学特别是经济计量学的术语,这种一词数译的情况不利于学术交流和学科发展.     

清末民初八闽数学家陈平瑛“积较开方新术”研究

陈平瑛是清末民初福建数学家。根据新史料考证,他应生于1879年,曾先后任广州中学堂和广东高等师范学堂数学教师。文章的研究表明,陈氏明确将朱世杰招差术推广到任意高阶等差数列求和,并得到多项式的“零边积较”,相当于牛顿向前插值公式的系数。由此他构造了互逆的积较表和积较还原表,给出多项式幂和形式与差分形式互化的表格算法,并设计了各自的简捷的程序。“积较开方新术”是通过多项式方程的差分表求解方程整根的方法,是受华蘅芳积较术的启发而得到的,颇有新意,体现了传统数学在西方代数学影响下的继续发展以及传统数学近代化的复杂性。     

名词审定工作中的定义问题

科技术语是科学技术发展的产物。随着科学技术的不断发展 ,术语的丰富以及频繁的国际学术交流活动 ,使术语的规范化问题显得越来越重要。我们在对《大气科学名词》增加定义的实践过程中深刻认识到 ,要搞好术语的规范化 ,名词的定义工作是基础。因为只有从术语的概念出发对术语加定义 ,才不会出现一词多义 ,或一义多词的错误定名。下面就术语定义的意义、原则和形式谈谈自己的认识。一、术语定义的意义从现存的五种情况来说明术语审定工作中定义的重要意义。1 通过定义可避免混用、错用近义词。例如大气科学名词中“气候变迁 (ｃｌｉｍａｔ…     

科技术语的词类

术语的词性,不论以显式标注还是以隐式推知,对术语的正确定名、汉英对应、行文搭配及准确定义均具有重要意义。在各学科的术语集中,名词性术语自然占绝大多数;动词性和形容词性术语所占比例虽然相对较少,但其重要性却不容小视;其他词性（副词、数词、介词和连词）的术语在不少学科中也偶有所见,不能绝对排除。本文对所见的每一词类的术语都给出例证。     

科技术语的词类

术语的词性,不论以显式标注还是以隐式推知,对术语的正确定名、汉英对应、行文搭配及准确定义均具有重要意义。在各学科的术语集中,名词性术语自然占绝大多数;动词性和形容词性术语所占比例虽然相对较少,但其重要性却不容小视;其他词性（副词、数词、介词和连词）的术语在不少学科中也偶有所见,不能绝对排除。本文对所见的每一词类的术语都给出例证。     

关于科技术语定义的基本问题

在阐述术语学基本原理时,定义的研究是一项重要内容。概念———定义———术语,是术语研究工作的三个环节,是相互依存的整体。概念是人类思维的基本形式,人们在认识事物的过程中,通过观察、分析、推理等思维方式,把客观事物的本质属性加以抽象概括而形成概念。术语是在某一特定专业领域内表达一个特定科学概念的语词形式。术语依附概念产生与消失,概念是术语生成的基础,术语是概念的载体。定义则是术语和概念之间的桥梁。定义的任务是表述概念,用最简练的文字,科学地说明概念的内涵。随着我国科学、技术、文化各个领域正在逐步实现技术操作…     

术语工作中文本挖掘方法的应用探索——信息管理与知识管理科技名词审定工作方法

研究了信息管理与知识管理科技名词术语的审定工作方法。该工作由全国科学技术名词审定委员会主管并委托国家自然科学基金委员会管理科学部完成。工作内容主要包括三个连续的阶段：（1）确定领域的收词范围,（2）确定术语定义,（3）确定术语的英文名称。介绍了在每一阶段所使用的工作方法、发现的问题与解决办法。目的是向从事术语审定工作的专家汇报工作,总结工作经验,并征求意见。     

科技术语定义浅谈

在术语工作中,为术语提供一个确切的定义是一项十分重要的工作。众所周知,人们在使用术语表达思维过程或交流思想时,必须了解术语的概念含义和使用环境,不然将会在交流过程中产生误解。因此在以提高交流效率为目的的术语工作中,必须为所制定的术语提供定义,加以说明。换言之,就是为所制定的术语提供一个确切的定义。为术语提供这种定义性说明的方法是多种多样的,但是图文并貌的语言定义则仍为最容易为人们所接受的,传统流行的方法。尽管有些术语所表示的概念已超越了语言表达的能力,然而语言表达仍是十分重要的,不可缺少的重要方法之一。术语的定义应与提高学术交流效率这一术语工作的目的相一致。给术语下定义时,应从对事物概念描述和对术语使用环境的说明两方面考虑。这一观点与词典的纯语义性说明(如本义,喻义等)及其词的语法用法不同,也与百科全书着重提供条目的完整知识系统不同。术语定义与上述两者的根本区别就在于它说明的是术语的专业概念和在具体使用环境中上下文的用法。定义术语本身还要根据术语的不同类型,采取不同的定义方式。只有通过这种不同的定义方式,才能为术语提供一个令人满意的定义。一、术语类型术语的类型,按照术语表示的对象可以分为以下几类。1.自然客体名称由于人类是以自然界的客体为研究探讨的对象,因此在许多专业领域,自然界的实物成为术语的命名对象。如“太阳”、“地球”等等都成为天文学专业不可缺少的术语。这类术语的特点是存在于客观世界中的具体实物。当这类客体与人类的生活密切相关时,常常又是普通语言词汇中的一员。2.人工客体名称人工客体名称是指那些人类制造出来的为某一目的服务的客观实物。这类术语的特点是具有一定用途的仪器、设备等。这些术语也同自然客体一样可能成为普通语言词汇中的一员。3.集合名称集合名称是指那些具有相同特征事物的名称,如“恒星”,“卫星”等。这类术语通常表示的是一类客体,它们的主要特征内涵是相同的。4.理论名称在专业研究领域中,常常得到一些某一事物规律的理论,其名称为理论名称。其特点有两种,一种是以事物规律的抽象概念为名称;另一种则是以发现该规律的人名命名。如“大数假说”,“牛顿定律”等。5.事物抽象名称这类术语是抽象概念的名称,表示事物概念的本质。以内涵和外延划分概念。如“偶数”等。6.事物现象名称这类术语是对现象、过程的定名。其特点是表示具体的现象或过程。二、定义方式在术语学中,定义的方式有多种,要根据术语的不同类型采用不同的定义方式。特别是在具体的术语工作中,对于具体某个术语,方式的使用是灵活多变的,可以在撰写定义时,采用一种或同时采用多种定义方式,旨在能够为术语下一个确切的定义。1.属加种差“属加种差”的定义方式是逻辑学对概念定义的方式之一,这也是词典和术语学定义的一种主要方式。这种方式的优点在于可以利用简要的文字,清楚地定义事物概念的属性和与其它概念的不同。2.情景定义这种定义方式的目的是要根据说明概念的情景来表示概念成分的特性。这些成分主要有性质、材料、形式、原因、效果、目的等。3.描述定义这种方式通常是通过对构成的描述来定义术语。4.同义词定义由于术语的一义多词性,当然,在术语工作中始终在强调一词一义,但现实中总有不合人意的地方,一义多词还是存在的,因此最简单的定义方式是以同义词来定义。5.动作定义这种定义特别适合功能性术语,利用动作描述说明术语的含义。三、定义分析举例经过上述对术语的分类和定义方式的说明,在编写术语定义时,应如何采用灵活的定义方式去定义不同类型的术语,从而使术语定义达到确切的要求呢？这里做一些具体的讨论。1.属加种差所适用的术语类型“属加种差”方式所适用的术语类型主要是集合名称、事物抽象名称。例1：天体物理学——研究天体和宇宙空间物质的性质、结构和演化的科学。其中“科学”为属,“研究天体和宇宙空间物质的性质、结构和演化”为种差。这里种差使其区别于“天体力学”等其他学科,概念已明确。例2：小行星——沿椭圆轨道绕太阳运行的小天体。这里“小天体”为属,“沿椭圆轨道绕太阳运行”为种差。概念已经明确。2.情景定义所适用的术语类型此种定义方式主要适用于自然客体名称和现象名称。例3：BN天体——美国天文学家贝克林(Becklin)和诺伊格鲍尔(Neugebauer)在猎户星云中发现的一个致密红外源。在10微米波段它是全天最亮的天体。这里通过该天体的位置“猎户星云中”、特性“致密红外源”和亮度效果“全天最亮”几方面描述定义了该术语的概念含义。例4：磁钩——太阳耀斑出现时,地磁强度记录上出现的持续几十分钟的钩形变化。这是一条现象名称,它从时间,形状方面描述了术语的概念。3.描述定义所适用的术语类型这种方式主要适用于人工客体名称,如仪器、设备、工具等。例5：景符——一种古代天文仪器部件,主体是一块有小孔的薄板把它斜置在圭面上,可观测到清晰的太阳和表端的象,从而提高圭表测影的准确度。这是从该仪器部件的每一个构成描述概念,以此定义术语。4.同义词定义适用的术语类型同义词定义只适用于同义术语,例如“1054超新星”的定义只需用“即天关客星”。无需多谈。而“天关客星”应有明确的定义,如果再用同义定义,则出现同语返复的逻辑错误。因此,同义词定义的其中一词必须用其它定义方式进行定义。5.动作定义动作定义的适用范围比较窄,主要是一部分现象名称,这些现象名称主要是以动作为其内涵。例6：导星——以观测对象或其附近天区的恒星为目标,用人工方法或自动化设备,控制望远镜及其辐射探测器,使之良好地随天空的周日运动而运转,达到对观测目标的指向保持不变或按既定方式指向的步骤。这里,一系列的动作描述说明了“导星”的概念。上面的叙述,对每类术语,都对应以具体的定义方式,可是实际问题有时还要将几种方式结合起来定义术语。这要依具体情况而定。而术语的使用环境,是在具体学科中表现出来的。每条术语在其制定的词表中,都是分专业而定的,这就是使用环境的具体表现。总之,术语的定义应按不同的类型选择具体的定义方式。这样,术语定义问题就比较容易地得到解决。     

论早期胡塞尔的算术哲学

胡塞尔在其学术生涯初期从事的是算术哲学的研究。这项研究有两个基本任务,一是对算术的基本概念数进行描述心理学的分析,另一是对算术符号和运算进行逻辑澄清。在解决这两个任务过程中,他遇到了一个难题,即如何澄清虚数和一般算术的合法性,这个问题又迫使他思考形式之物的地位以及与心理之物的关系问题,并最终使他转向了对逻辑学以及现象学的研究。     

《算数书》"少广""大广"二问的释读与校勘

对<算数书>"少广"术文进行释读与算法分析,同时与<九章算术>"少广"术进行对比,认为<算数书>的"少广"术正确地选用了"最小公倍数"进行分数通分.这一算法是在对"最小公倍数"的正确认识指导下完成的,表明在<算数书>的时代,中国古代数学的"最小公倍数算法"已经十分纯熟.<算数书>"大广"问中缺失的数字,一直为研究者所关注.在假定残文数字和文字无误的前提下,借助计算机的帮助,可以获得11种成立的可能;通过对<算数书>用语习惯和算法合理性的分析,确定其中2种是最可能的结果,从而为解决<算数书>"大广"问的校勘困难提出一种新的思路.     

中国古代历法中的三次内插法

该文根据《天文大成管窥辑要》中的史料，发现边冈在其《崇玄历》（８９２年）中创立的晷影公式－中国历法史上第一例三次函数，是通过令影差变化与自变量平方的比值为某个等差数列而构造出来的，与过去认为的三次内插法无关；王恂、郭守敬在《授时历》（１２８０年）创立的平立定三差算法，则是通过对插值函数的降阶，将问题转化为一般的二次内插公式的构造，前者可能受到了边冈立方相减相乘算法的启发，后者则与刘焯的二次插值算法     

On the Complexity of Ordinal Clustering

Given a set of pairwise distances on a set of n points, constructing an edgeweighted tree whose leaves are these n points such that the tree distances would mimic the original distances under some criteria is a fundamental problem. One such criterion is to preserve the ordinal relation between the pairwise distances. The ordinal relation can be of the form of total order on the distances or it can be some partial order specified on the pairwise distances. We show that the problem of finding a weighted tree, if it exists, which would preserve the total order on pairwise distances is NP-hard. We also show the NP-hardness of the problem of finding a weighted tree which would preserve a particular kind of partial order called a triangle order, one of the most fundamental partial orders considered in computational biology.     

古代目视天象记录中的尺度之研究

古代以“丈、尺、寸”为单位的天象记录以及“大如X”形式（取象比类）的记录是成系统的,可统称为古代天象记录的“尺度体系”。古人裸眼目视观测天象时亦有天球模型,通过天球模型的建立,按1尺＝1度的换算标准,可以确定“丈、尺、寸”天象记录的几何意义,并对“大如X”形式的记录进行尺度或亮度的量化,最后将两种记录统一在一个系统中。通过对尺寸系统起源的分析,认为古人裸眼目视观测时的天球半径约为13米上下。另从人本心理行为渊源、天文馆天象厅的半径、航海牵星术等多方面进行了论证。人裸眼目视观测天象时有共同的视错觉现象,形成系统误差,此误差是将天穹视为扁平状造成的。在不同的天空照度与气象条件下,其扁平程度有所不同,可引入“视扁度角”概念加以量化。为对视觉误差进行校正,求出了各种状况下（昼、夜、阴、晴、有月、无月）裸眼观测时天体视高度、视长度与其真实尺度的校正归算法。     

计算复杂性、量子计算及其哲学意义

量子计算机具有超越经典计算机的能力。量子计算具有并行性和整体性,某些量子算法具有加速性。量子计算揭示了:数学与物理学之间的紧密关系,量子力学的波函数具有实在性。量子计算具有克服计算复杂性的能力。     

Parmenides Reloaded

I argue for a four dimensional, non-dynamical view of space-time, where becoming is not an intrinsic property of reality. This view has many features in common with the Parmenidean conception of the universe. I discuss some recent objections to this position and I offer a comparison of the Parmenidean space-time with an interpretation of Heraclitus’ thought that presents no major antagonism.     

What if Haecceity is not a Property?

In some sense, both ontological and epistemological problems related to individuation have been the focal issues in the philosophy of mathematics ever since Frege. However, such an interest becomes manifest in the rise of structuralism as one of the most promising positions in recent philosophy of mathematics. The most recent controversy between Keränen and Shapiro seems to be the culmination of this phenomenon. Rather than taking sides, in this paper, I propose to critically examine some common assumptions shared by both parties. In particular, I shall focus on their assumptions on (1) haecceity as an individual essence, (2) haecceity as a property, (3) the classification of properties, and thereby (4) the search for the principle of individuation in terms of properties. I shall argue that all these assumptions are mistaken and ungrounded from Scotus’ point of view. Further, I will fathom what consequences would follow, if we reject each of these assumptions.     

群体选择论的预先假定

关于选择层次的一个主要问题是:群体选择概念在解释诸如利他行为这类性状的进化中是否必要?目前,这一争论主要是在还原论和基因决定论的框架内进行的。按照这种预先假定,群体选择论主要是用个体的平均性状或者某类性状个体的密度来定义群体特征,从而不能给出具有独立于个体意义的群体概念。这样,所谓选择层次就成了一种约定。近来已经有学者表明,基于多层选择理论和个体论的两种模型在数学上是等价的。本文的主张是:在还原论和基因决定论的框架内,不可能有独立的群体定义;对群体选择的理解一定要依赖于群体结构的假定。