联图Cn∨Kn的邻强边色数

研究了联图Cn∨Kn的邻强边染色,证明了当n=3时,χ′as(Cn∨Kn)=7;当n4时,χ′as(Cn∨Kn)=2n.     

若干联图的邻点可区别全染色

研究若干联图的邻点可区别全染色,证明了:当n≥3时,χat(Kn∨Cn)=χat(Kn∨Pn)=2n+1;当n≥4时,χat(Kn∨Wn?1)=χat(Kn∨Fn?1)=χat(Kn∨Sn?1)=2n+1.     

若干联图Pm∨Gn的邻点可区别E-全染色

记χat'e(G)为图G的邻点可区别E-全色数.若Pm是m阶的路,Sn是n+1阶的星,且nm≥2,则χate(Pm∨Sn)=4;若Pm是m阶的路,Fn是n+1阶的扇,且m≥2,n≥2,则χate(Pm∨Fn)=5;若Pm是m阶的路,Wn是n+1阶的轮,且m≥2,n≥3,如果n≡0(mod 2),则χate(Pm∨Wn)=5,如果n≡1(mod 2),则χate>(Pm∨Wn)=6;若Pm是m阶的路,Kn是n阶完全图,且n≥4,m≥2,则χate+(Pm∨Kn)=n+2.     

5色K_4问题与正常边着色

设Kn是具有n个顶点的完全图,k(n)是满足下列条件的最小正整数:对于任意的正整数m≥k(n),存在Kn的一个正常m边着色,使得Kn中的任一个K4至少含5种颜色.f5(n)是满足下列条件的最小正整数:对于任意的正整数m≥f5(n),存在Kn的一个m边着色,使得Kn中的任一个K5至少含9种颜色.确定f5(n)的问题称为9色K5问题.给出了关于9色K5问题的充要条件和f5(n)的下界,同时证明了当n是偶数时,并且(n-1)不是3的整数倍,则k(n)=n-1;当n是奇数时,并且n不是3的整数倍,则k(n)=n.     

若干积图的点可区别边染色

证明了:(1)两个n(n2)阶完全图的积图的点可区别边色数为2n. (2)对阶至少是3的完全图Kn,若χ′vd(G)=Δ(G),则χ′vd(G×Kn)=n+Δ(G).(3)若χ′vd(Gi)=Δ(Gi),i=1,2,则χ′vd(G1×G2)=Δ(G1)+Δ(G2).     

关于n阶完全图的5色K_4问题

设Kn是具有n个顶点的完全图,f(n)是满足下列条件的最小正整数对于任意的正整数m≥f(n),存在Kn的一个m边着色,使得K中的任一个K4至少含5种颜色.Erdos和Gyárás给出了f(n)的上下界2/3n＜f(n)＜n;并且证明了f(9)=8.唐在[3]中证明了f(10)=9;并且改进了f(n)的下界f(n)＞2/3n+1.作者进一步改进了f(n)的下界当n≥20时,f(n)＞1/8(6n-5),同时证明了f(11)=10.     

有关图(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)和(P2∨n)∪Gn-1优美性研究

文章给出了非连通图(P1∨Pn)∪St(m)和(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)及(P2∨n)∪Gn-1,证明了对任意自然数n,设s=(n)/(2),则当n≥3,m≥s时,非连通图(P1∨Pn)∪St(m)是优美图;当n≥3时,非连通图(P(1)1∨Pn)∪(P(2)1∨P2n)是s-优美图;当n≥2时,非连通图(P2∨n)∪Gn-1是优美图;其中,Pn是n个顶点的路,P1、P(1)1和P(2)1均是只有一个顶点的平凡图,G1∨G2是图G1与G2的联图,St(m)是m 1个顶点的星形树,Kn是n个顶点的完全图,n是Kn的补图,Gn-1是任意一个n-1条边的优美图.     

几类和扇有关图的优美性

证明下面的结论:对任意自然数n≥2,图(K_1∨(P_n∪P_(n+1)))是(n-1)-强优美图.对任意自然数n≥3,图(K_1∨P_n~((1))∪P_n~((2))))∪G是优美图;对任意自然数n≥4,图(K _1∨(P_n~((1))∪P_n~((2))∪P_n~((3)))∪H是优美图,其中k=[n/2].P_n是n个顶点的路,G_i为含有i条边的优美图.给定优美图G_(n-1)和其优美标号f,G_(k-1)和其优美标号g,设u∈G_(n-1),v∈G_(k-1)且f(u)=g(v)=0,取不同的两边xy和x′y′,点x与u合并后得到的图记为G,点x′与v合并后得到的图记为H.     

基于正则图的锥图的Q-谱确定性

研究了锥图G∨K_s的Q-谱确定性,其中G为n阶r-正则图,Ks为s阶完全图.证明了,对于任意正整数s,当r=n-2(n≥4)时,G∨K_s由其Q-谱确定;当r=n-3(n≥6)时,G∨K_s由其Q-谱确定当且仅当G的补图G不含三角形G_2.     

图(K_2∨)·(K_2∨■)的优美性及协调性

图的标号问题是组合数学的一个热门课题,在编码理论、网络、循环设计等许多领域都有重要应用。但对于一个图既是优美的又是协调的研究甚少。为此,对正整数k,n,m∈N (N 为正整数集合),给出了一类图(K2∨Kn).(K2∨Km),并通过构造标号函数的方法,论证了当n=2k时,该图是优美图;同时也论证了当m=n-1(n≥2)时,该图是协调图。     

非连通并图的优美标号研究

设图G3是长度为3的圈C3或为含3个顶点的路P3,文章给出了非连通图(G3∨Km)∪Kn,t和(G3∨Km)∪Pn,并证明了对任意正整数m,n,t,如果min{n,t}≤m,则图(G3∨Km)∪Kn,t是优美图;如果2≤n≤2m+1,则图(G3∨Km)∪Pn是优美图;同时证明了对任意正整数m,n,图(G3∨Km)∪St(n)和(G3∨Km)∪W2n+5是优美图.其中,Pn是n个顶点的路,G1∨G2是图G1与G2的联图,Km是m个顶点的完全图,m是Km的补图,Kn,t是具有二分类(X,Y)的完全偶图,且|X|=n,|Y|=t,St(n)是具有n+1个顶点的星形树,Wn是具有n+1个顶点的轮图.     

非连通图（P2∨Kn）(r1,r2,…,rn+2)∪Gr的优美性

对自然数n∈N,设Kn表示n个顶点的完全图,Kn表示Kn的补图,Gr为有r条边的优美图,Pn为n个节点的路,P2∨Kn是P2与Kn的联图.给出了非连通图(P2∨Kn)(r1,r2,…,rn+2)∪Gr的定义,论证了当n≥1时,这类图是优美图.     

K2n-1×K2n+1’的邻点可区别全染色

基于完全图的全染色和邻强边染色,得到了相邻奇数阶完全图的直积图K2n-1×K2n+1’的邻点可区别全色数χat(K2n-1×K2n+1’)=4n(n为正整数).     

关于K_n-{v_(n-5)v_(n-4),v_(n-3)v_(n-2),v_(n-1)v_n}(n≥14,n≡0(mod2))的点可区别边色数

给出了图K_n-{v_(n-5)v_(n-4),v_(n-3)v_(n-2),v_(n-1)v_n}(n≥14,n≡0(mod2))的点可区别边色数,其中Kn为n阶完全图。     

弱直积图的2-距离色数

图G(V,E)的2-距离染色是指正常的顶点染色,且任意距离不大于2的两个顶点着不同的颜色.得到弱直积图的一个2-距离色数的可达界,即Δ(G).Δ(H)+1≤χ2(G×H)≤χ2(G).2χ(H),且给出一些特殊弱直积图的2-距离色数,说明此界可达.如χ2(P2×Pn)=Δ(P2).Δ(Pn)+1=3(n≥3),χ2(Pm×Pn)=Δ(Pm).Δ(Pn)+1=5(m≥3,n≥3)说明下界可达,χ2(Km×Kn)=χ2(Km).2χ(Kn)=mn,说明上界可达.     

满足2色P_4条件完全图的边着色

设Kn是具有n个顶点的完全图,p（n）是满足下列条件的最小正整数,对于任意的正整数m≥P（n）,存在Kn的一个m边着色,使得Kn中的任一个P4至少含2种颜色．给出了n阶完全图的2色P4问题的充要条件和p（n）的上下界：pn）的上界为n-1,它的下界为[1/2n],并且证明了p（6）=p（7）=p（8）=p（9）=4．     

关于5色K_4问题的两个新的结果

设Kn是具有n个顶点的完全图,f(n)是满足下列条件的最小正整数对于任意的正整数m≥(fn),存在Kn的一个m边着色,使得Kn中的任一个K4至少含5种颜色.Erd(o)s和Gyárfás给出了f(n)的上下界2/3n＜f(n)＜n;并且证明了f(9)=8.唐明元曾经证明了f(10)=9.作者曾经证明了f(11)=10,在此文中作者又进一步证明了f(12)=11,f(13)=12.     

完全图Kn中边不重的3圈数

设完全图Kn中边不重的3圈数的最大值为c(n,3)，证明了{(n-1)(n-2)6}≤c(n,3)≤[n[n-12]3]，当n≡1,2,3(mod 6)时，c(n,3)=[n[n-12]3]，并给出了一个得到Kn中{(n-1)(n-2)6}个边不重的3圈的方法，其中n∈{3,4,5,…}.     

两类非连通图(P_2∨)∪St(m)及(P_2∨)∪T_n的优美性

对自然数n,m,i∈N,设Ki表示i个顶点的完全图,Kn是Kn的补图,St(m)表示m+1个顶点的星形树,Tn为n个节点的优美树,Pn为n个节点的路,P2∨Kn是P2与Kn联图.给出非连通图(P2∨Kn)∪St(m)和(P2∨Kn)∪Tn,并论证了当n≥2时,这两类图都是优美图.     

偶图Kn,n\I的(m1,m2,…,mr)-圈分解

mi(1≤i≤r)为偶数且∑ri=1mi=2k,k≥1,Kn,n为偶图,I为Kn,n的一因子.证明了Kn,n\I可分解为(m1,m2,…,mr)-圈的充分必要条件为2k|n(n-1)且n为奇数.进一步,Kn,n\I可分解为循环的(m1,m2,…,mr)-圈的充分必要条件为2k=n-1且n为奇数.