Fubini定理公式数计数和φ(n,k)卷积公式

组合数学中,Catalan数有显式公式,Fubini定理公式数无显式公式,本文利用完全图Kn的k个分支的完全分支覆盖的个数N(Kn,k)=S(n,k)(第二类Stirling数)和卷积公式,作者将导出Fubini定理的公式数的显式公式,此外获得完全I-部图所有个数基数公式,本文中提出φ(n,k)概念,并讨论φ(n,k)的组合卷积公式,最后证明φ(n)=∑nk=1φ(n,k)与Fubini公式数之间的关系等式.     

Fubini定理公式数计数和齘(n,k)卷积公式

组合数学中,Catalan数有显式公式,Fubini定理公式数无显式公式,本文利用完全图Kn 的k 个分支的完全分支覆盖的个数N(Kn,k)=S(n,k)(第二类Stirling数)和卷积公式,作者将导出Fubini定理的公式数的显式公式,此外获得完全i 部图所有个数基数公式,本文中提出(n,k)概念,并讨论(n,k)的组合卷积公式,最后证明(n)=∑nk=1(n,k)与Fubini公式数之间的关系等式.     

Fubini定理公式数计数和Ф（n，k）卷积公式

组合数学中．Catalan效有显式公式，Fubini定理公式效无显式公式，本利用完全图Kn的k个分支的完全分支覆盖的个数N(Kn,k)=S(n,k)(第二类Stirling数)和卷积公式，作将导出Fubini定理的公式效的显式公式，此外获得完全i-部图所有个数基数公式。本中提出Ф(n，k)概念。并讨论Ф(n，k)的组合卷积公式，最后证明Ф(n)=n∑k=1Ф(n，k)与Fubini公式效之间的关系等式.     

完全i部图N［(X1,X2,…,Xi),k］计数公式

采用组合卷积公式方法,研究图的S(n)-因子的计数问题.首先获得完全2-部图的恰有k个分支的S(n)-因子的计数公式,并用同样方法获得完全i-部图的恰有k个分支的S(n)-因子的计数公式,从而给出完全i-部图的所有因子数计数公式.进一步研究了完全i-部图的组合恒等式,并通过组合计算技巧,获得了完全i-部图、完全2-部图和完全3-部图的组合恒等武.该研究对图论及组合学具有理论和应用价值.     

数论函数方程kφ(Y)=φ2(Y)+S(Y 8)的解

该文讨论了包含φ(n)、φ_e(n)与S(n)3个数论函数的方程kφ(Y)=φ₂(Y)+S(Y ⁸)的可解性.利用这3个数论函数的性质,得到了该方程只在k=1、2、4、5、9、11时有正整数解,并给出了其具体的正整数解,其中函数φ(n)是Euler函数,函数φ_e(n)是广义Euler函数,函数S(n)是Smarandache函数.     

关于A(n,6)与A(n,7)的精确公式与简单显式

设A(n,k)为丢番图方程∑i=1^k ixi=n的非负整数解的个数，作者用初等方法给出A(n,6)与A(n，7)的精确公式与简单显式，从而实质上给出了整数n分为k个部分的无序分拆数P(n，6)与P(n，7)的精确公式与简单显式。     

有关Euler函数φ(n)的几个非线性方程

令φ(n)是Euler函数,它是数论中重要的数论函数之一.包含Euler函数φ(n)的线性方程整数解的研究成果极为丰富.本文考虑了当b取某些整数时的包含Euler函数φ(n)非线性方程φ(xy)=k1φ(x)+k2φ(y)±b.对于奇数b,利用初等的方法证明了该方程有整数解时b,k1与k2的一些条件.并结合所给出的条件讨论了几个具体方程的整数解,给出了它们的各自的整数解.对于偶数b,讨论了一个具体形式的方程的整数解,利用初等的方法给出了其全部的整数解.     

一个包含Euler函数φ(n)的方程的解

针对Euler函数φ(n)与函数ω(n)混合的形如φ(n)=2~(ω(n))q_1~(ω(n)q2ω(n))…q_k~(ω(n))的方程的可解性,其中q_1,q_2,…,q_k为互异的奇素数,提出了方程φ(n)=2~(ω(n)5ω(n))的可解问题,利用Euler函数φ(n)与函数ω(n)的有关性质以及初等方法,得到了该方程的全部13组整数解n=1,11,202,250,2 222,2 510,2 750,3 012,3 750,27 610,37 650,41 250,414 150.     

方程kφ(m)=S(mt)的正整数解的讨论

Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)是数论中的两个重要的数论函数.包含Euler函数φ(n)与Smarandache函数S(n)的方程的可解性问题引起了众多数论爱好者的关注,并取得了丰富的研究成果.本文将考虑方程kφ(m)= S(m31)的可解性,基于Euler函数φ(n)与Smarandache...     

关于有限群同构类的猜想

文[1]论证n阶群同构类的个数在1000以内的存在性.本文推广到2000,即设f(n)为n阶群同构类的个数,证明等式f(n)=k,(1k2000)中n的存在性.进而得到一个猜想:当有限群同构类的个数为有限数时,都是可以证明等式f(n)=k中的n的存在性.     

整数集合的sum-free集(无和集)分拆的一个注记

本文根据g(n,k)的值证明了:φ(n,1)=[(n+1)/2](n≡1(mod2));φ(n,2)=n-[n/5](n≡4(mod(5)).ψ(n,1)=[(n+1)/2](p≡0(mod2));ψ(n,2)=n-[n/5](p≡0(mod5)).及其n和p取其他值与k≥3时,给出了φ(n,k)与ψ(n,k)的范围.并说明了g(n,k)与ψ(n,k)在求Ramsey数的作用.     

关于Euler-Totient链

本文讨论函数链φ_1(n)>φ_2(n)>…>φ_t(n),其中φ_1(n)为Euler函数φ(n),φ_k(n)=φ(φ_(k-1)(n)),t=min{k}.估计了链长l(n)=t 及和 S(n)=φ_1(n)+…+φ_t(n),φ(n)=1得到■证明了v(n)=(S(b))/n 在数列{m_r=np~r}上的单调性;s(n)=n的除去3的幂以外的解,在素因子有上界的整数中只有有限多个。     

四叶树Hosoya指标显式公式及其序列

为研究四叶树Hosoya指标的规律,利用图论的分支分析法,解决了四叶树Hosoya指标的显式公式和序列.对于一般的t叶树,仍然用同样分支分析法,得到相应的t叶树Hosoya指标的显式公式和序列.发现了一族初值不一样的Fibonacci序列,在科学上对组合数学和图论提供了一定参考.     

Fibonacci数的图论应用

关于Fibonacci数,存在一些十分有价值的结论。利用图论的分支分析方法和Fibonacci数,获得Fibonacci数表示的图G的所有S(n)—因子数的公式。通过无K3的Hosoya指标Z(G)与A(G)的关系,A(G)和F1之间的计算公式移动到图G的Hosoya指标Z(G)上。最后推导得出,Hosoya指标Z(G)的一些特殊的例子,Fibonacci数的图论应用得到体现。由于Hosoya指标,S(n)-因子计数理论及其应用有十分有价值和本质性的进展。     

数论函数方程φ(ab)=11φ2(a)+13φ2(b)的可解性

令数论函数φ(n)为Euler函数,数论函数φ_e(n)为广义Euler函数,基于Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_e(n)混合的不定方程的可解性,提出了方程φ(ab)=11φ_2(a)+13φ_2(b)的整数解的求解问题,利用函数φ(n)与φ_2(n)的有关性质,采用分类分段的讨论方式,得到了该方程有21组正整数解.     

包含广义Euler函数φ3(n)和Smarandache函数S(n)的一方程的解

令φ_e(n)为广义Euler函数,S(n)为Smarandache函数,其中e为正整数。探讨包含广义Euler函数φ_3(n)和Smarandache函数S(n)的方程φ_3(n)=S(n~8)的可解性问题,利用这2个数论函数的有关性质,给出了这一方程在φ_3(n)=3~(-1)φ(n)条件下无正整数解的结论。     

关于正整数幂的多重卷积公式

若k个正整数的和为n,那么这k个正整数积的r次幂的多重和就是正整数的r次幂的k重卷积.使用生成函数方法首先得到了一次幂和二次幂的k重卷积的求和公式,然后借助于导数算子和第二类Stirling数给出了一般的r次幂的k重卷积的求和公式.     

关于级数求和公式的注记

本文利用残数定理推出几个求级数和的公式并将[1]中公式作为推论3的特例.定理设 R(z)为有理函数,且满足条件:1)整数 z=n 不为极点;2)当 z→∞时,R(z)=O(|z|~(-2))时,则有sum from n=-∞ to +∞ R(n)e~(INnζ)=-sum from Res(R(z)(2πie~(izNζ))/(e~(2niz)-1);ζ)     

A(n,k)精确公式的一般形式

设k为任一确定非负整数,A(n,k)为不定方程∑ki=1ixi=n的非负整数解的个数,作者给出了递推公式A(n,k)=A(n,k-1)+A(n-k,k)的通解的一般形式为A(n,k)=∑km=1∑mr=1∑[k/m]-1j=0t(k)m,r,j×nj×s(r,m)×ζnrm,其中ζm=e2πi/m,s(r,m)=1,gcd(r,m)=1,0,其他.     

P5∪P9的Turán 数

极值图论是组合数学的一个分支,主要研究对于给定的一类图,确定其中某些参数的极值,所讨论的Turán数属于图论中的极值问题.图H的Turán数是指不包含H作为子图的n阶图的最大边数,记作ex(n,H).确定了 ex(n,P5∪P9)=max{[n,14,5],5n-14},其中[n,14,5]=117+3n+r(r-4)...