微积分——非标准分析方法

十七世纪中叶,由于生产实践需要的推动,在前人运用无穷小量进行推理的基础上,牛顿、莱布尼兹分别提出了微积分的演算方法,并成功地用来处理天文学、力学、几何学中的一系列问题。牛顿、莱布尼兹是从直觉出发,把无穷小量当作是数来进行运算的,也就是把无穷小量看作是“实无限”。虽然他们对无穷小量的本质是认识不清的,但是运用他们提出来的微积分方法所得到的结果经受了实践的检验,证明了是行之有效的。正因为这样,尽管当时的微积分方法在理论上不太完善,尽管当时唯心主义者特别是贝克莱咒骂无穷小量是“逝去的量的鬼魂”,微积分方法越来越成为研究客观世界数量关系和空间形式的有力工具。     

关于非标准分析

在微积分的创立和发展过程中,无限小量和无限小量方法起着重要的作用。长期以来,数学家和哲学家们围绕着“无限小量是什么?它们是否实在的量?实数直线上的点是否就是不可再细分的最小元素?”等问题展开争论。到十九世纪下半叶马克思和恩格斯分别在《数学手稿》和《自然辩证法》中才对这些问题给出了正确的回答。在本世纪六十年代初,数学家A.鲁宾逊利用数理逻辑的严谨方法奠定了非标准分析(这名称是相对于现在一般称做标准分析——十九世纪在极限理论基础上发展的微积分理论而取的)的基础。在这个非标准模型中,论域从一般的实数域R拓广到包含无限小量、无限大量和一般实数的域R,它既保存了无限小量又把微积分     

论“无限小量”和R模型的哲学意义

无限小量(又称无限小或无穷小)是不是实在的量?它有没有客观现实的原型?无限小方法能不能作为微积分的理论基础?这是数学家和哲学家长期争论不休的问题.从十七世纪以来,数学哲学的历史,几乎是微积分基础的历史.对这一基础的讨论,其实质都是围绕无限小量的争论进行的.从十七世纪牛顿、莱布尼兹提出微积分的一般理论到十九世纪哥西、维尔斯特拉斯的极限论,到二十世纪六十年代A·鲁宾逊的非标准分析的建立,无限小概念经历的曲折的辩证发展过程,从一个侧面展示了认识的辩证发展过程和科学发展的一般规律.恩格斯指出:“自然界是检验辩证法的试金石,而且我们必须说,现代自然科学为     

新微积分浅说

A:我给你介绍一种新的微积分方法,它的思维方法跟旧的微积分是完全不一样的。用数学上的话说:就是介绍一种新的微积分体系。 B:我很想学会它,但我初中才毕业,微积分是大学的课程,我能学会吗? A:也难怪你。微积分这个名词出现后的三百年来,一直没能在劳动人民中普及。又加     

什么是微分及其本质?——学习马克思《数学手稿》体会之二

自从微积分这门学科于十七世纪后半叶问世以来,关于它的基本概念及理论基础问题引起了长期的争论。最近几年以来,我国数学界很多人认真学习马克思的数学手稿,努力运用辩证唯物主义批判数学领域里的唯心主义和形而上学,热烈开展对微积分基本概念及理论基础问题的讨论。究竟什么是微分其及本质?什么是无穷小量、极限和导数的本质?     

SAP画皮门从白狐到超人的华丽转身

管理软件行业是个让人有点看不懂的行业，时而象个盛气凌人的巨人，时而象个嗷嗷待哺的婴儿。一个看不懂的行业忽忽悠悠在中国生存了30年。在这30年里，中国的企业有的把它当作济世良药，欲服之而解百病；有的又把它当作鸡肋，食之无味，弃之可惜。这个行业里有西服革履的万人演讲，也有灯红酒绿的暗箱操作。     

无穷小分析初阶

无穷小思想在微积分和数学分析的早期发展中起着重要作用,也是理解微积分的一个关键性概念。对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述,是现今数学领域的一个引人注意的课题。例如上世纪A．Robinson建立了“非标准分析”,被视为一个重要数学进展。     

大学物理教学中的微积分

大学物理与中学物理相比，很大的变化是微积分的分析方法已经成为解决物理问题的基本方法。微积分是分析连续过程积累的一种方法，在普通物理学中有着广泛的应用，本文分析了微积分在力学中的一些具体应用，目的是使学生理解微积分思想，能熟练地运用微积分方法来分析物理问题。     

运筹您的“时间存折”

不少人喜欢收集，他们只是把它当作一种爱好，空闲时把玩一下，或向别人展示，从中获得无限乐趣。可又有谁能由收集而导致一项发明呢？列文霍克就做到了。     

分数阶PID控制器及其数字实现

提出一种新的比例、积分、微分(PID)控制器——分数阶PID控制器(包含分数阶积分器和微分器)，把传统的PID控制器的阶次推广到分数领域，它不但适合于分数阶系统，也适用于某些整数阶系统，并能够取得一些优于整数阶PID控制器的效果．给出了分数阶PID控制器的一种数字实现形式，运用Grunwald—Letnicov分数微积分定义，取有限项作近似处理，从而可以直接在时域中运用Z变换方法来计算分数阶PID控制器．仿真结果证明了所给方法的有效性．     

一种分数阶线性系统求解方法

针对在实际情况中应用越来越广泛的分数阶微积分系统,首先介绍了分数阶微积分定义及其基本性质.由于分数阶系统的特征方程一般说来不是真正的多项式,它是一个具有复变量的分数阶指数的伪多项式,可以将其近似化成高阶的整数阶系统,然后运用整数阶系统的控制方法去研究、分析.最后提出了一种基于分数阶微积分定义分析分数阶线性系统的方法,并用具体实例验证了该方法的有效性.     

关于可数无限个无穷小量的和与积

本文引进了无穷小序列的概念,编拟了近20个例子,用以说明无限个无穷小量的和与积的各种可能性态,并且给出了无限个无穷小量的乘积是无穷小量的一个充分条件.     

方框在微积分教学中的运用

微积分是高等教育中非常重要的一门平台基础课,其教学质量的提高具有重要意义。本文通过教学的亲身体会总结了方框在微积分教学中的运用。运用方框法能快速学好微积分中的极限、导数等知识点,同时运用方框方法可以快速解决微积分中积分方法—凑微分法。运用方框方法可以让数学基础薄弱的同学快速掌握微积分的内容。     

无穷小量在微积分中的作用

讨论了无穷小量与微积分中几个重要概念的联系和无穷小在极限运算中的简单应用．     

微积分在移动液体作功问题中的应用例析

微积分的方法（元素法）作为一种分析问题的数学方法,在普通物理中得到广泛而重要的应用。该文通过分析微积分在移动液体作功问题中的应用,使学生进一步理解微积分思想,熟练运用微积分的方法分析物理问题。     

微积分的几种思维定势

微积分是高等数学中非常重要的一部分,如何求解函数的微积分便是解决高等数学中若干问题的出发点。本文给出了在求解微积分时的四种思维定势,它为我们解决相关问题提供了一个重要的方法和依据。     

非标准分析中的微积分

通常所说的《数学分析》是属于柯西体系的微积分理论,它是在实数连续统的基础上,运用极限方法即ε—δ方法建立起来的.这种理论比十七、十八世纪牛顿、莱布尼兹等人的微积分理论前进了一大步.一百多年来,柯西的这一套体系已成为微积分基本理论的唯一体系,人们一提到微积分,自然就以这套体系为标准,所以通常称柯西体系的《数学分析》为“标准分析”.标准分析是在实数域R上讨论的,无穷小、无穷大作为变量的极限.无穷小作为以零为极限的一种特殊变量,这种概念导致了不可避免的自相矛盾:如若无穷小的距离大于零,那么若干个距离势必拥有有效长度,然而在标准分析中不管     

极限思想的发展与微积分的建立

极限思想的发展与微积分的建立紧密相关．在微积分的创立过程中，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功地运用无穷小、无限过程进行运算，他们的努力和成就为极限思想的进一步发展和完善奠定了坚实的基础．而多方面的怀疑和批评，促使数学家们掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动，进而使极限理论得到了完善．     

非标准实数系*R的结构简介

非标准分析,是本世纪六十年代才创立起来的数学分支。众所周知,运用极限方法(即通常所律ε—δ方法)在实数体R上建立起来的数学分析,我们称为标准分析。而在非标准分析里引进了一种新的实数系~·R,它是原有实数系R的一个特殊的扩充。利用无穷小量方法建立在~·R上的数学分析,我们称为非标准分析。非标准分析的特点之一,是运用新实数系~·R,去研究客观现实世界中的数量关系和空间形式。~·R包含了通常的实数系(R中的数称为标准实数),同时它还包含非标准实数,其中无穷小量和无穷大量两种非标准实数特别重要。它们和标准实数比较呈现出质的差异性。~·R中的数同R中的标准实数一样,对它们能施行加,减,乘,除等运算,并且像标准实数一样,按照数的大小顺序排列在数轴上,从而形成一条“非标准的实直线”,如下图所示:     

科学不拒绝想象

人们往往认为,抽象思维和形象思维是科学家和艺术家各自使用的两种独特思维方式。其实,这两种思维方式并非互不相容。形象思维也是创造性思维,它与抽象思维相辅相成,在科学研究中起着不可替代的重要作用。科学理论的建立往往是逻辑思维和非逻辑思维(主要是形象思维)结合的产物,而想象作为形象思维的重要部分又在其中占有特殊的地位。科学的想象力在某些时刻比知识本身还重要。没有想象,牛顿就不可能创立微积分,因为"无限"是不可能脱离想象的;以实验为基础,富兰克林把电想象成一种流体,卢瑟福把原子想象成一个微型太阳,都促进了各自理论体系的建立;伽利略研究自由落体运动、爱因斯坦创立相对论所运用的理想实验,更是高水平的想象。作为一种特殊的想象,数学猜想对数学发展的巨大意义早已得到公认。数学发展的动力正在于猜想而不在于推理,因为数学定理、公式的发现及证明思路、推演方法往往源于猜想。素数定理的