阶为24的有限群的分类

对于任意正整数n,决定n阶群的所有互不同构的类型的关键是解决同构问题.本文运用群的循环扩张理论,通过换位子计算,对阶为24的有限群G做了完全分类.     

关于有限群同构类的猜想

文[1]论证n阶群同构类的个数在1000以内的存在性.本文推广到2000,即设f(n)为n阶群同构类的个数,证明等式f(n)=k,(1k2000)中n的存在性.进而得到一个猜想:当有限群同构类的个数为有限数时,都是可以证明等式f(n)=k中的n的存在性.     

具有6个同构类的群的无平方因子的阶

对群计数公式的研究是有限群理论中有着重大意义的问题,设f(n)是n阶群的同构类数目,对于给定的整数k,去寻找满足f(n)=k的整数n,叫做求方程f(n)=k的解.作者利用Balass公式对具有6个同构类的群的无平方因子阶进行分析讨论,得到了方程f(n)=6的所有无平方因子解.     

计算机代数在有限群同构类计数中的设计与应用

文献[1]论证n阶群同构类的个数在1000以内的存在性。文章给出群同构类Balass计数公式运算的算法,用计算机代数语言Matlab加以实现,进而将群同构类的个数推广到3000。即设f(n)为n阶群同构类的个数,证明方程f(n)=k,(1≤k≤3000)解的存在性。     

关于给定阶的有限群

设m>1为一自然数,G(m)表示所有不同构的m阶群的个数,定义 A(n)=sum from 1 m≤n G(m)=1又定义C(n)为所有不同构的n阶C-群的个数。本文用简单的Selberg筛法得到三个定理。如改用较复杂的方法,则诸O项中的分子可以去掉。     

3r阶循环群的最小图

设α(n)是自同构群与n阶循环群C(n)同构的图的最小顶点数,该文构造出群为C(3r)的具有α(3r)个顶点的边数最少的图,并证明了这样的图是唯一的.     

Sylow q-子群循环的p~3q~n阶群的分类

设p,q是两个奇素数,且pq,n是正整数,G是Sylow q-子群循环的p~3q~n阶群,对G进行了同构分类,并确定了Sylow q-子群循环的p~3q~n阶群的全部构造.     

关于n阶循环矩阵成Abel群的讨论

主要验证了n阶循环矩阵在给定二元运算分别为普通矩阵乘法、Hadamard积和Fan积的条件下都构成Abel群,经过讨论最后得出这三个Abel群是相互同构的关系.     

有限群上几个问题的算法及复杂度分析

本文讨论有限群上几个计算问题。我们设了一个O(n~2)时间的算法去查找n阶Abel群的基底(把n阶Abel群分解为循环P群的直积)。给出了复杂度为O(n~2log_2n)的n阶Abel群的检验算法。证明了n阶Abel群的同构检验可在O(nlOg_2n)时间内完成。最后,我们讨论定义在有限群上的旅行售货员问题:证明了该问题是NP完全的,并给出了一个O(m·n~2·2~n)时间的算法求解它。     

先天八卦科学内涵初探

运用群论及其方法研究中华易经八卦,揭示了先天八卦图和太极图的一个科学内涵即其数学结构;获得了如下结果:①先天八卦图构成一个群,它与四元数群同构,太极图构成它的中心;②伏羲八卦群连同太极符号生成实数域上的一个八维非结合交错代数,它与Cayley代数同构;③由伏羲八卦群可以构造出所有的2n(n>3)卦(2n阶)群.     

一类2~4m(m为奇数)阶有限群的构造

利用数论的有关知识和群的扩张理论,解决了具有奇数 m 阶循环正规子群并且其补子群为循环群的 24m 阶有限群的构造问题.     

四元数群到一类10pn阶非交换群的同态数量

利用有限群论和初等数论确定一类10pⁿ阶非交换群的元素特征, 并构建四元数群到该类10pⁿ阶非交换群的所有同态映射. 通过计算这些同态映射的个数, 验证这两类群满足Asai和Yoshida猜想.     

四元数群到一类10pn阶非交换群的同态数量

利用有限群论和初等数论确定一类10pⁿ阶非交换群的元素特征, 并构建四元数群到该类10pⁿ阶非交换群的所有同态映射. 通过计算这些同态映射的个数, 验证这两类群满足Asai和Yoshida猜想.     

一类2~4p~2q阶群的构造

利用有限群的性质,运用群扩张和数论的有关知识,给出了具有p2q阶循环正规子群且sylow2-子群为循环群时24p2q阶群G的构造,其中p     

同阶子群个数的集合为{1,p+1}的有限群的完全分类

应用有限群论的有关知识定出了同阶子群个数的集合为{1,p+1}的有限群的完全分类.     

两类非交换群之间的同态数量

结合代数数论的知识,计算了一类 Sylow p-子群为循环群的10pⁿ阶非交换群之间的同态个数,以及这类群到四元数群的同态个数。作为应用,验证了这两类群是满足Asai和Yoshida猜想的。     

K8的弧传递循环正则覆盖

图的正则覆盖的研究是代数图论中的重要研究课题之一.利用对称图覆盖的电压赋值理论和有限群论的技巧,刻画了完全图K8的素数阶的弧传递循环正则覆盖,拓展了一些已知的结果.     

最高阶元素个数为4p~2的有限群是可解群

研究了最高阶元素个数对有限群结构的影响.运用群阶的素因子,k阶循环子群共轭类的长,以及K3-单群和K4-单群的有关结论,证明了最高阶元素个数为|M(G)|=4p2的有限群G是可解群,其中p是素数.