在x→∞时,{π(nx)-π(mx)}÷x/logx的极限是n—m

张德馨教授证明了,在 x→∞时,{π(2x)-π(x)}÷x/logx 的极限是1。本文用张教授提出的方法,证明了:在 x→∞时,{π(nx)-π(mx)}÷x/logx 的极限是 n-m。其中,n>m,n,m 均为正整数。     

谈π(x)与ζ(s)

自从1896年Hadmard与de la Valleé Poussin证明了素数定理 π(x)～x/logx (x→∞)(式中π(x)表示不超过x的素数个数)以后,已经有不少的数学家对于π(x)作过更进一步的研究。他们的结果大致都可以纳入下列形式:     

π(x)的最佳渐近式的分段表示

本文给出π(x)的比较容易计算且与lix等价的最佳渐近式:R(X)=x/logx sum from k=0 to (log-x/e~(1/2)) k!/(logx)~k 并且给出变数有限时的指数积分,对数积分的近似计算公式。     

本原勾股数组数G(x)的渐近阶猜想的证明

丢番图方程 a2 b2 =c2 满足条件 a >0 ,b>0 ,c>0 ,(a,b) =1的整数解 (a,b,c)称为本原勾股数 .设 x为给定的正实数 ,用 G(x)表示弦 c≤ x的所有本原勾股数 (a,b,c)的组数 .在此证明了文 [1 ]提出的本原勾股数组数 G(x)的渐近阶猜想 G(x) =1πx O(x12 logx)的正确性 ,由此推得 limx→ ∞G(x)x =1π,即弦 c≤ x的所有本原勾股数 (a,b,c)的组数的平均阶为 1π.     

方程“π(x+33)-π(x)=10”有解的必要条件

当X >11时 ,方程“π(x +33) -π(x) =10”是否有解 ,这是素数分布中一个至今仍未解决的问题。本文给出了方程有解的一些必要条件     

丢番图方程a2+Db2=c2本原解组数的渐近阶(I)

设 x为给定的正实数 ,D是给定的正整数且无平方因子 ,用 G( D,x)表示丢番图方程 a2 Db2 =c2满足条件 a >0 ,b>0 ,c>0 ,( a,b) =1且 c≤ x的所有整数解 ( a,b,c)的组数 .在此考虑 D =p和 D =2 p(其中 p为奇素数 )的情形 ,得到了下面两个渐近估计式 G( p,x) =2 p( p 1 )πx O x12 logx 和 G( 2 p,x) =2 p( p 1 )πx O x12 logx .     

关于方程x~n (x 1)~n … (x h)~n=(x h 1)~n

1900年,E.B.Escott证明了方程(1)x~n (x 1)~n … (x h)~n=(x h 1)~n在2≤n≤5时,只有正整数解(A)n=2,h=1,x=3;n=3,h=2,x=3.在此前后,F.Hromadko和L.Aupry也证明了②方程在(1)在n=3的情形。本文得出了解方程(1)的一般方法,并且证明了方程(1)在:     

丢番图方程a2+Db2=c2本原解组数的渐近阶(Ⅱ)

设x为给定的正实数,D是给定的正整数且无平方因子,用G(D,x)表示丢番图方程a2 Db2=c2满足条件a>0,b>0,c>0,(a,b)=1且c≤x的所有整数解(a,b,c)的组数.在此考虑D=P和D=2P(其中P=p1p2…pk为互异的奇素数的乘积)的情形,得到渐近估计式G(P,x)=d(P)Pσ(P)πx Ox12logx和G(2P,x)=d(P)2P2σ(P)πx Ox12logx.     

小区间的Goldbach数

一引言在1951年提出如下的问题;找一个函数f(x),使对充分大的x,区间[x,x f(x)]中必有Goldback数存在。在RH假设下,证明了可取f(x)=(logx)~(8 (?))。1959年,潘承洞证明了;当ξ函数零点密度估计N(σ,T)《T~(c1 (1-σ))(logT)~c2,1/2≤σ≤1,T≥2成立时,可取f(x)=x 1-2/c1 ε1976年,Prachar在ξ函数零点密度假设     

插值多项式对函数|x|α的逼近

研究插值多项式对|x|α达到最佳逼近度的一种构造方法,证明了对n=2m,m∈N,α∈(0,1],有Fn(α)相似文献   

函数φ_x(t)的可积与级数∑λ_n/n[Sn(x)-S]的绝对求和

设S_n(x)(n=1,2,……)表示f(x)∈L(0,2π)的富理埃级数的部分和。 R·Mohanty和S·Mohapatra证明了:如果(f(x+t)+f(x-t)-2S)/t∈L(0,π),则级数∑((S_n(x)-S)/n)是|c,δ|可和,其中δ>0。在本文中,我们推广这个结果成下面的定理:令{p_n}是使得p_n≥0,P_n=p_0+…+p_n→∞且∑|△V_n|<∞,其中V_n=(n+1)p_n/P_n,的数列,同时满足 sum from k=n to ∞ 1/((k+2)P_n)=O(1/P_n), 则,当[f(x+t)+f(x-t)-2S]/∈L(t,π)时,级数∑(S_n(x)-S/n)在x点是|N,p_n|可和。     

Bπ′-特征标的单项性

设G为一个有限π-可分群,其中π为一个素数集合(其中2∈π)。在这篇文章中,我们证明了:设χ∈Bπ′(G),χ对应的表示为T且T是由n-维G-空间V产生的G的不可约表示,则T是单项的当且仅当V有基{v1,v2,…,vn},使得vix=αi(x)vσx(i),i=1,2,…,n,x∈G,其中x→σx为同态,而σx是{1,2,…,n}的置换,且αi(x)≠0是复数。     

БЕРНШТЕИН第一求和算子的逼近阶的估计

对于БЕРНшТЕИН[1]提出的逼近连续周期函数的求和算子Un(f;x)=1/(2n+1) sum from k=0 to 2n f(x_k)〔sin2/2(x-x_k)/sin(x-x_k)/2 〕~2,HATAHCOH[2]证明了它的收敛性.至于误差估计,本文得到:1)若f∈C2π,则|Un(f;x)-f(x)|≤(5+3/2π)ω(f,lnn/n)(n≥3),2)若f∈C2π且f∈Lipiα(0<π<1),则|Un(f;x)-f(x)|≤〔7/4+3/(1-α)〕(2π/2n+1)~α,3)若f∈C2π且f∈Lipil,|Un(f;x)-f(x)|≤15·ln(2n+1)/2n+1。     

强π-交换群和π-拟幂零群

本文引进了强π-交换群(其π-Hall 子群包含在中心里面的有限群)的概念,讨论了这类群的结构和性质,证明了强π-交换群类是子群承继的型.本文还引进了π-拟换位子群、π-中心、上、下π-中心列和π-中心列等新概念;得到了π-拟幂零群的新刻划:有限群G 的下列四个性质等价:(1)G 是π-拟幂零群;(2)G 有上π-中心列;(3)G 有下π-中心列;(4)G 有π-中心列.并且π-拟幂零群的上π-中心列长=下π-中心列长,任一π-中心列的长不小于上、下π-中心列的公共长.最后,从这个角度进一步探讨了π-拟幂零群的结构和性质.     

N型硅压阻系数π_(11)与π_(12)之间关系的理论推导

本文应用能带结构的多谷模型,对N型硅在[100]方向的压阻效应进行了理论分析。当沿N型硅晶体的[100]轴施加压力并分别在[100]和[010]方向加电场时所引起的电导率变化的主要原因是:电子在能谷之间转移时,电子的迁移率发生变化。由此推导出N型硅的纵向压阻系数π_(11)与横向阻压系π_(12)之间的关系是: π_(12)=-1/2π_(11)且π_(12)的符号是“正”,π_(11)的符号是“负”。这一结果与C.S.Smith的实验测量数据吻合。     

渐近估计式(sum form n≤x) φ(n)=(3/π~2)x~2+O(xlogx)的推广

设φ(n)是 Euler函数 ,本文将渐近估计式 ∑n≤ xφ(n) =3π2 x2 +O(xlogx) (x >2 )进行了一系列推广 ,给出了∑n≤ xnαφ(n) ,∑n≤ x(-1 ) n- 1 nαφ(n) ,∑n≤ xp | nnαφ(n) ,∑n≤ xp | nnαφ(n)等和式的渐近估计式     

小区间上某种三角和的定量估计

目的对小区间上素变线性三角和问题进行研究,为解析数论中的很多重要问题提供依据。方法利用Vaughan恒等式中的分拆方法。结果得到了在满足一定条件下这类三角和的一个定量上界估计。结论设实数α=a/q+θ/q~2满足(a,q)=1,|θ|≤1,整数x,y满足3≤y≤x/logx。令r=logx,e(αn)=e~(2πiαn),S(α)=∑x-yn≤xΛ(n)e(αn),Λ(n)为Mangoldt函数,则有|S(α)|≤0.28x~(1/2)y~(1/2)q~(-1/2)r~2+3.6x~(3/5)y~(1/5)r~(1.4)+0.085x~(1/2)q~(1/2)r~(2.5)。     

关于形变张量场π(y)x-g(x,y)p

本文首先将L.Nicolescu在文[3]中的定理2,3和定理4中(ii)与(iii)的等价性推广到满足如下条件的两个线性联络(?)和(?)间的形变代数:其中(?)(M)是黎曼流形M上所有C~∞问量场的集合,π是一次微分形式,P是由下式给定的问量场g(X,P)=π(X)然后本文讨论了M上半对称度量联络(?)的曲率张量R与Weyl的共形曲率张量C之间的关系,得出了一个C=0的较一般的充分条件,使得[1],[2]中的有关结论只是它的特例.同时进一步指出了[2]中命题3当R≠0时,只有Levi-Civita联络能满足命题的条件,但R=0时,命题3就包含在[1]的定理1中.     

关于积分integral from n=+0 to π [f(x+t)+f(x-t)-2f(x)]/tdt

设f(x)∈L_p[0,2π](1≤p≤∞),下列事实是已知的:存在一个以2π为周期的连续函数,积分 integral from n=+0 to π(f(x+t)+f(x-t)-2f(x))/t dt (1)处处发散。本文的目的是讨论积分(1)收敛的充要条件。如同我们在[1,2]中讨论的方法一样,我们需要(L~*)求和法。定义设R是一个巴拿赫空间,以‖u‖表示R中元素u的模.设u=∑u_n是R中一个级数,称     

插值多项式对函数|x|α的逼近

研究插值多项式对|x|α达到最佳逼近度的一种构造方法,证明了对n=2m,m∈N,α∈(0,1],有Fn(α)＜Cα/(n+2)α,其中F2m(α)=-max -1≤x≤1|x|α-Q2m(x)|,Q2m(x)是以第二类Chebyshev多项式的零点xj=cos jπ/(2m+2)(j=1,2,…2m+1)为插值结点的对|x|α的Lagrange插值多项式,Cα是与α有关的常数.