单参数平均、对数平均和指数平均之间的一个精确的双向不等式

利用初等微分学比较了单参数平均与对数和指数平均的几何组合,发现了使得双向不等式Jp（a,b）〈Iα（a,b）L1-α（a,b）〈Jq（a,b）对α∈（0,（17~（1/2）-3）/2]和所有a,b〉0且a≠b成立的p的最大值和q的最小值,其中Jp（a,b）,L（a,b）和I（a,b）分别表示a与b的p-次单参数平均、对数平均和指数平均.     

对数平均的最佳上下界

利用初等微分学比较了对数平均与平方根平均和调和平方根平均的凸组合,发现了使得双向不等式αS（a,b）＋（1-α）H（a,b）〈L（a,b）〈βS（a,b）＋（1-β）H（a,b）对所有a,b〉0且a≠b成立的α的最大值和β的最小值,其中S（a,b）=（（a2＋b2）/2）~（1/2）,H（a,b）=2~（1/2）ab/（a2＋b2）~（1/2）和L（a,b）=（a-b）/（loga-logb）分别表示二个正数a与b的平方根平均、调和平方根平均和对数平均.     

柯西(Cauchy)不等式的一种证明方法

柯西 ( Cauchy)不等式是指 :( a1b1+a2 b2 +… +anbn) 2 ≤ ( a12 +a2 2 +… +a2n) ( b12 +b22 +…+b2n) ( ai,bi∈ R,i =1 ,2 ,… ,n) ,当且仅当 a1b1=a2b2=… =anbn时等号成立。这个不等式的证明方法很多。现利用二次型理论来证明柯西 ( Cauchy)不等式。证明 :记 f ( x1,x2 ) =( a1x1+b1x2 ) 2 +( a2 x1+b2 x2 ) 2 +… +( anx1+bnx2 ) 2　　 =( a12 +a2 2 +… +a2n) x12 +2 ( a1b1+a2 b2 +… +anbn) x1x2 +( b12 +b2 2+… +b2n) x2 2　　 =X′AX　　其中 X =x1x2　　　 A =Σni=1a2i　　Σni=1aibiΣni=1aibi　　Σni=1bi2　　显然 f …     

一个不等式的证明及推广

利用函数的积分性,给出不等式（（√a＋√b）／2）^2〈1／e[（b^b／a^a）^1/（b-a）]的证明,并推广结论．     

一道IMO试题的探源及启发

第二十届 IMO竞赛有这样一题 :设 a,b,c分别为一个三角形三边的边长 ,证明 :a2 b( a- b) + b2 c( b- c)+ c2 a( c- a)≥ 0 ,并指出等号成立的条件。此不等式的左边是轮换式 (将 a换为 b,b换为 c,c换为 a时不变 )但不是对称式 (将 a,b互换时不变 ,将 b,c互换时不变 ) ,证明方法通常有两种 ,一种是把它化为一个不带附加条件 ,b+ c>a,a+ c>b,a+ b>c的不等式 ,即可令 a=y+ z,b=z+ x,c=x+ y,( x,y,z>0 ) ,另一种是设 a为最大边 ,即可令 a=x+ y+ z,b=x+ z,c=y+ z( x,y≥ 0 ,z>0 )代入不等式左边 ,然后证明其非负 ,最简单的方法是原联邦德国选手…     

一类p~6阶群的推广

该文主要运用群的扩张理论给出了p6阶群G=〈a1,a2,b[a1,a2]=ap1=b,[b,a2]=bp=a2p3,bp2=1〉的推广,得到了一些新的群,并且给出了群G=〈a1,a2,b[a1,a2]=ap1=b,[b,a2]=bp=a2pt2,bp2=1〉,t2≥3的自同构群的阶.     

两类二面体群的三度Cayley图的比较

对4m阶拟二面体群G=〈a,b｜a2m=b2=1,ab=am＋1〉和4阶半二面体群G=〈a,b｜a2m=b2=1,ab=am-1〉且m=2r,r〉2的3度Cayley图作比图。得到两者均有一个图是正规Cayley图且同构,且A1≌Z2的结论。     

高等数学中一道不等式试题的证明

由于不等式在纯粹的数学中扮演着关键的角色,而且对不等式的证明,方法难易悬殊,使用技巧各异。文中通过一道高等数学中出现的不等式试题＂已知f＇（x）〉0,x∈R,求证：f（a＋x）＋f（a-x）≥2f（a）＂,对一些常用的不等式证明方法进行总结,运用中值定理;函数的凹凸性;泰勒公式法;函数的极值法;函数的单调性证明该不等式。     

广义四元数群的全自同构群

一个有限群Q4n称为广义四元群,若Q4n=〈a,b|a2n=1,b2＝an,ab=a-1〉,n≥3.根据广义四元群Q4n的结构和性质,利用群的扩张理论,先确定了Q4p与Q4pm的全自同构群的结构,由此归纳出一般的广义四元群Q4n的全自同构群的结构如下:设p1为n的最小素因子,n=pr11 pr22…prkk为n的素数分解,那么(a)当p1＞2时,Aut(G)=〈α〉:(〈η1〉×〈η2〉×…×〈ηk〉);(b)当p1＝2时,Aut(G)=〈α〉:(〈η2〉×…×〈ηk〉), r1＝1〈α〉:(〈γ〉×〈η2〉×…×〈ηk〉), r1＝2〈α〉:(〈μ〉×〈ν〉×〈η2〉×…×〈ηk〉), r1≥3.     

一个实数不等式在矩阵论中的推广

本文将实数不等式a2/b+b2/a≥a+b(ab,∈R+)推广到矩阵迹不等式及Hilbert-Schmidt范数不等式。     

仅有三个非正规子群的有限群

本文研究仅有三个非正规子群的有限群,证明这类群有同态像〈a,b｜a^3^a＋1=b^3=1,b^-1 ab=a^1＋3^n-2〉,n≥3.     

关于■f(x_n)=f(x_0)时,有■x_n=x_0的充分条件及应用

一般分析书都介绍的有下列:定理1:设f(x)定义在〈a,b〉上,f(x)在点x_0∈〈a,b〉连续的充要条件是:对(?)x_n∈〈a,b〉,当x_n→x_0(n→ ∞)时.有f(x_n)→f(x_0)(n→ ∞)其中〈a、b〉可是开区间,半开半闭区间,无穷区间.由上述定理而引导我们考虑下列命题是否成立.     

利用Fisher函数解约束优化问题的广义梯度投影算法

通过引入一个辅助优化问题,将广义投影与罚函数技巧和F isher函数(a,b)=a2 b2-(a b),a,b∈En的特殊性质:a2 b2-(a b)=0 a≥0,b≥0,ab=0结合起来,给出处理非线性等式、不等式约束问题的广义梯度投影算法,并证明该算法是全局收敛的.该算法不仅保持文献[6]的优点,而且还扩大了初始点的选择范围.     

一组重要不等式的微分证明

一组重要的平均值不等式：构造辅助函数f（x）=2x2－2（a＋b）x＋2（a2＋b2－ab）可证明不等式，受此启发，本文采用构造辅助函数，以微分为工具，来证明这组重要不等式。这里用高等数学方法证明初等数学问题，可能对师范院校学生和中学数学教师均有所启示。先证明不等式为函数的极小值点。下面用数学归纳法证明函数f（x）≥0（X＞0）n。l时，f（）一x’一Zalx＋ZaZ－aZ一（x－al）’＞0假设n一及时，f（）＞0，即有：将x—a。。；代入上式得由（2）式知当n—k＋1时，函数的最小值为非负数，故n—k＋l时，f（）＞0所以．对一切自然数n均有…     

Heron均值的一个严格一参数均值界

运用极限的思想以及函数的泰勒展开证明不等式Jp(a,b)＜H(a,b)＜Jq(a,b)成立.找到使得双向不等式Jp(a,b)＜(H)(a,b)＜Jq(a,b)对于所有的a,b＞0以及a≠b都成立的最大值p和最小值q,这里Jp(a,b)和(H)(a,b)分别定义为两个正整数a和b的阶为p的一参数均值和Heron均值.     

巧用基本不等式及其变形式解IMO题

数学竞赛题是课本基础知识和技能技巧的结晶．大家熟知的基本不等式是：当a、b∈ER+，则：①（a－b）2由它们可以推出如下变形式：等，其中当且仅当a=b时取等号．巧用这些基本不等式及其变形式，结合均值不等式等中学课本的其它知识及技能，也能使一些IMO题获解，现特举如下几例，供参考．例1设X1，X2，…，Xx为两两不相等的正整数，求证：所以由上面两式即得原不等式成立．例2在ABC中，三边长分别是IMO）．证明：令，代人求证式中，展开共整理后换为证明，即要证，其证法如下：证法一：由已知不等式③得：证法二：由不等式④得证法三…     

一类特殊有限p-群的自同构群的阶

设p为奇素数,p5阶群G=〈a0,a1,a2,b0,b1|[a1,a0]=b0,[a2,a0]=b1,a0p=a1p=a2p=b0p=b1p=1〉,推广了群G的定义关系,并给出了其中一些群的自同构群的阶,进而验证了它们是LA-群.     

关于函数的黎曼可积性

讨论有界函数是否在有限闭区间上（常义）黎曼可积时,文献[1]的可积准则为“,即文献[2]的可积准则为某个分割T,使得由于所用可积准则不同,在证明下述两个基本定理：定理1若函数f（x）在闭区间[a,b]有界,且有有限个间断点,则函数f（x）在[a,b]可积．定理2若函数f（x）在区间[a,c]与[c,b]可积,则函数f（x）在[a,b]也可积．时所采用的证明方法也就不同,而文献[2]的证明显得简单明了．本文不同于文献[2]的方法,将介绍一个振幅和不等式在证明函数黎曼可积方面的应用（下文所用符号的含义及可积准则与[1]相同）．一个振幅和不等式…     

4p阶内2-闭群的m-DCI-性

C ay ley图的C I性是研究其同构问题的重要性质。考察一类内2-闭群G=〈a,b a2α=bp=1,-a 1ba=-b 1〉当α=2时的(弱)m-(D)C I-性,并证明G是3-DC I-群和弱5-C I-群。     

奇异Dirichlet问题解的最佳逼近

在区间I =[0 ,b]与球域Ω ={x∈RN,N〉 1:|x |〈b}上 ,对a〉 1,构造出奇异问题-△u =λua ,u〉 0 ,x∈Ω ,u| Ω=0的精细逼近解 .其中在区间上的逼近解为最佳 ,即当a =3时 ,精确解是u =[λb2 ]1a +1[x(b -x) ]2a +1;而在球域上的逼近解是几乎最优的 .这里λ〉 0为参数 .