关于Riemann积分的变量代换公式

关于在确定区间上的变量代换问题是积分学的中心问题之一.在一般文献中的 Rie-mann 积分(以下简称 R 积分)的变量代换公式,多见于在条件较强的情况下给出了证明.本文是在条件较弱的情况下,利用 R 积分与 Lebesgue 积分(以下简称 L 积分)的关系.得到关于 R 积分的变量代换公式.为了便于比较,我们仅列出常见的变量代换定理.而略去证明。     

关于(R-L)积分

本文提出一类Riemann型Lebesgue积分,它不同于以往的Lebesgue积分的定义,因为它在型式上非常类似于Riemann积分的定义,也不需要引进测度概念(顶多引用了开集及其长度的概念),这也许有利于在学习实变函数以前就可了解Lebesgue积分思想。但它也不同于近代Henstock积分和Mcshane积分的处理方法,因后者是局部的方法,而这里是整体处理的。     

分析学第3卷

本书是瑞士和德国两位学者撰写的分析学高级教材,全书共4卷,德文原版于2000年前后陆续问世。 本卷论述现代积分理论,包括第9—12章。9．测度论基础,给出关于线、面积、体积及高维空间中的集合的度量的一般性理论,包括可测空间、测度和外测度的概念,可测集的构造,最后建立Lebesgue测度;10．积分的系统理论,讨论了Lebesgue空间、卷积和Fourier变换,并着重研究了n维Bochner—Lebesgue积分,这是偏微分方程的现代理论必不可少的数学工具;     

可拓积分研究

在可拓集合论、可拓测度论的基础上给出了可拓积分的概念，研究了它的四个性质，并找到了可测函数的可拓积分fh（u）dp=k的一个充分必要条件。     

Riemann积分与Lebesgue积分的差别

本文指出Riemann积分与Lebesgue积分的本质区别在于空间的完备性上。区间(a,b)上所有Riemann可积函数所生成的空间R[a,b]是不完备的;而所有Lebesgue可积函数所生成的空间L[a,b]是完备的。     

广义Riemann积分中的Lebesgue方法

在实际问题和数学分析后续课程（如概率论）中,经常出现广义Riemann积分。但是我们发现,现有教科书上对此类积分的研究都是基于定积分的思想方法,要求被积函数有一定的光滑性,这大大限制了广义积分的研究范围。该文研究Lebesgue积分方法在广义Riemann积分的收敛性判别和计算以及含参量广义Riemann积分性质等问题中的应用。通过理论与实例结合,充分说明了Lebesgue方法的简便与灵活。因此,我们在学习广义Riemann积分时,不应拘泥于教科书上的现有知识和方法,应该拓宽思路,合理结合其他的课程。     

由Riesz表示定理导出R~k上Lebesgue测度的简易讲法

给出了由Riesz表示定理导出Rk上Lebesgue测度的简易方法.避免引进抽象和难懂的术语,我们利用学生们所熟悉的Riemann积分来定义Cc(X)上的正线性泛函Λ,由此从Riesz表示定理直接导出了Rk上的Lebesgue可测集和Lebesgue测度.对于我们的学生来说,这种讲法比有关教材上的叙述更容易理解.     

Lebesgue积分与广义积分的关系

利用Lebesgue积分与Riemann积分的关系，给出了Lebesgue积分与广义积分之间的关系，并且具体展示了所得结果在计算函数的Lebesgue积分值和判别函数的Lebesgue可积性两方面的实用性。     

Lebesgue测度关于平移不变性的两点应用

在中有两道题目如下:定理1设f是直线上Lebesgue可测函数。又设有常数a、b,使对一切不为零的整数l、n,有la+nb0,且则f(x)(常数).定理2设f是直线上Lebesgue可测函数,且对一切t_1 ,t_201∈R,有f(t_1+t_2)=f(t_1)+f(t_2),则必有常数a,使f(t)=at.这两个定理的证明难度较大,一般书上也未见有证明。据介绍,应用积分理论和全密点概念,可证明定理1;应用凸函数理论,可证明定理2,但亦未见到具体的证明。本文应用Lebesgue测度的平移不变性证明这两条定理。我们还应用Lebesgue测度的平移、反射不变性给出定理1及定理2的另一种证明。     

粗糙核Marcinkiewicz积分在Morrey-Adams空间上的有界性

借助Lebesgue空间上的有界性,利用函数分解方法和实变技巧,证明粗糙核Marcinkiewicz积分在Morrey-Adams空间上的有界性,并给出Lipschitz函数和BMO函数交换子的相应结果.     

R积分和L积分

<正> 数学分析中的黎曼(Riemann)积分(以下简称R积分)的理论比较严谨,应用也相当广泛,然而R积分存在着很大的缺陷:首先是R积分与极限可交换的条件过严;积分运算不完全是微分运算的逆运算。实变函数论中的勒贝格(Lebesgue)积分(以下简称L积分)就是为了克服R积分的上述缺陷而建立起来的。 R积分与L积分的关系,在实变函数论中,一般只讨论到L积分是R积分的拓广。上述两种积分差别从表面上看是由于采用了不同的分割方法而引起的。本文就R积分与L积分的本质     

Riemann积分与Lebesgue积分的本质区别

指出Riemann积分与Lebesgue积分的本质区别在于：区间[a,b]上所有Riemann可积函数所生成的空间是不完备的，而所有Lebesgue可积函数所生成的空间是完备的。     

关于积分的权限定理的应用

1有关定理及其应用［周定理1（Lebesgue逐项积分定理）|fn(X)|是可测集E上的非负可测函数列，定理2（Lebesgue控制收敛定理）设（1）F(x)在E可积；（2）|fn(X)|是E上的可测函数列；（3）人（）＜F（X）（v；；）；（4）八（）＝＞fi）于E。则：fi）在E可积b土II＼工）11＝1fliT、L工）TTJE’。一”JEF卜）有时称为控制函数，F（X）与自然数n无关。将条4．改为人（x）、八x）a．e于E，定理结论仍成立。推论（Lebesgue有界收敛定理）设（l）mE＜＋co（2）g人（x）g是E上可测函数’列，且【入（X）＜K（V，／3）fn卜）一f（）于E…     

Henstock积分的若干结果

<正> 众知,1902年在测度理论基础上建立了Lebesgue 积分,1957年建立了完全Riemann 型的Henstock 积分。文[1] 已论述了它们之间的关系。本文将进一步论及两个问题。第一,从测度论观点阐述H~-可积函数与可测函数类之间的关系,并给出简捷证明,该证明比文[2] 简单;第二,有着广泛应用的Henstock 积分的收敛理论至今还不甚完善,本人着     

类比建构在测度论教学中的应用

测度论是现代分析必不可少的理论基础。通过类比构建帮助学生系统掌握一般测度积分理论，注意测度论一般理论与概率统计以及数学分析中相关知识的联系与区别。     

抽象Lebesgue积分的等价定义

抽象测度空间（Ω,F,μ）上可测函数的Lebesgue积分通常是由以下程序确定的：先定义简单可测函数的积分,再一义非负可测函数的积分,最后定义一般可测函数的积分,但有的文献不是这样定义的。在此,证明了三种不同定义的等价性。     

测度的介值定理及其应用

利用连续函数的介值性和Lebesgue测度的单调性得到了Lebesgue测度具有介值性质，并利用所得结果证明了Lebesgue积分的绝对连续性的逆命题也是成立的。     

利用复积分计算一种特殊类型的定积分

众所周知,我们在复变函数中曾利用留数讨论了形如：∫0^2πR（cosθ,sinθ）dθ,∫-∞^＋∞R（x）dx,∫-∞^＋∞R（x）eiaxdx（a〉0）（当满足一定条件）这三种类型定积分的计算问题。但在实际问题当中我们还经常遇到∫0^＋∞,cosx^2dx,∫0^＋∞sinx^2dx这种类型的积分（如在光学中经常遇到）,本文则利用构造函数法和复积分的计算法,给出了这种类型积分的一种有效计算方法。     

极大变指标Herz空间上的参数型粗糙核Littlewood-Paley算子

借助变指标Lebesgue空间上的有界性,利用函数分层分解和实变技巧,得到了参数型粗糙核Marcinkiewicz积分、面积积分和 Littlewood-Paley g^*_λ函数在极大变指标Herz空间上的有界性。同时也证明了面积积分和Littlewood-Paley g^*_λ函数高阶交换子的有界性。     

Lebesgue积分三种定义的等价性

实变函数的中心问题是建立 Lebesgue 积分的理论,我们在这里对于它的三种常被采用的定义的等价性予以证明,目的在于说明 Lebesgue 积分的本质特点。一、Lebesgue 积分的三种定义这里,我们总假定 E 是一个 Iebesgue 可测点集,且 mE< ∞.