关于图的符号边控制数的一些结论

设G=（V,E）是一个非空图,一个函数f:E→{-1,1},如果满足∑e’∈N[e ]f（e’）≥1对于每一条边e∈E（G）均成立,则称f为图G的一个符号边控制函数。图G的符号边控制数记为r’_s（G）,定义为r’_s（G）=min{∑e∈E（G） f（e） | f为图G的一个符号边控制函数}。本文对图的符号边控制函数进行了研究,得到了图的符号边控制数的一个新的下界;并且确定了圆梯P₂×C_n的符号边控制数。     

图的反符号边全K-控制数

设G=(V,E)是一个图,一个函数f:E→{-1,+1}如果∑e′∈N(e)f(e′)≤0对于至少k条边e∈E成立,则称f为图G的一个反符号边全k控制函数。一个图G的反符号边全k控制数定义为γkst(G)=max{∑e∈Ef(e)|f为图G的反符边全k控制函数}。本文主要给出了连通图G的反符号边全k控制数γkst(G)的若干上限。     

两类Mycielski图的符号圈控制数

设G=(V,E)是一个图,一个函数f∶E→{-1,1}如果对G中每一个无弦圈C均有f(E(C))≥1,则称f为图G的一个符号圈控制函数,图G的符号圈控制数定义为γ′sc(G)=min{e∈E(G)Σf(e)f为G的符号圈控制函数}.通过研究Mycielski图的符号圈控制数,确定了由路和圈构成的Mycielski图的符号圈控制数.     

一些卡方积图的符号星控制数

设G=(V,E)是一个没有孤立顶点的图,如果一个函数f:E→{+1,-1},对一切v∈V(G)满足∑e∈E(v)f(e)≥1成立,则称f为图G的一个符号星控制函数。图G的符号星控制数定义为γ’ss(G)=min{∑e∈E(v)f(e)∣f为G的符号星控制函数}。在图的符号星控制概念的基础上,确定了两类特殊图的符号星控制数。     

图的有效符号边控制数

设G=(V,E)是一个非空图,若函数f:E→{-1,1}对?e∈E(G)均有∑f(e′)=1e′∈N[e],则称f为图G的一个有效符号边控制函数.图G的有效符号边控制数记为rs′e(G),定义为rs′e(G)=min{∑f(e)|f为图Ge∈E(G)的一个有效符号边控制函数}.在本文中,我们给出了一般图的有效符号边控制数存在的必要条件和一个下界,并且证明了图Pm×Cn不存在有效符号边控制函数,最后给出了立方图的有效符号边控制数存在的充要条件.     

完全多部图的符号罗马控制数

设图G=(V,E)是一个简单无向图,若实值函数f:V→{-1,1,2}满足以下两个条件:(i)对于任意v∈V,均有∑_(u∈N[v])f(u)≥1成立;(ii)任意v∈V,若f(v)=-1,则存在一个与v相邻的顶点u∈V,满足f(u)=2,则称该函数为图G的符号罗马控制函数.定义图的符号罗马控制数为γSR(G)=min{f(V)f是图G的符号罗马控制函数}.通过对完全多部图中的顶点数进行分类,给出了当k≥3时,完全多部图K(n_1,…,n_i,…,n_k)的符号罗马控制数的准确值.     

n-C4的全符号控制数

G=(V,E)是有限简单连通图,用V(G)和E(G)分别表示G的顶点集和边集.f是一个从V(G)∪E(G)→{-1,1｝的函数.f的权重定义为w(f)=∑x∈V(G)∪E(G)f(x).图G的全符号控制函数f:V(G)∪E(G)→{-1,1}是一个对所有的x∈V(G)∪E(G),都满足f[x]≥1的函数,其中f[x]=∑y∈NT[x]f(y).G的全符号控制数γ*s(G)定义为γ*s(G)=min{w(f)│f是G的全符号控制函数｝.Cm表示m个顶点的圈,n-Cm表示恰有一条公共边的n个Cm的拷贝.本文给出了n-C4的全符号控制数.     

图的符号外边控制数

设图G=（V,E）。一个符号外边控制函数是这样的函数f：E→{-1,1},对任一e∈E（G）,有f（O（e））=∑e′∈O（e）f（e′）≥1,这里O（e）是e的闭邻域的补。f的权ω（f）定义为G的所有边的函数值的和。G的所有符号外边控制函数中最小的权定义为G的符号外边控制数,记作γ′SOE（G）。文章建立了图的符号外边控制数的一个下界,即γ′SOE（G）≥ δ-△＋1/m＋1- δ-△m,确定了几类特殊图的符号外边控制数。     

两类乘积图的符号控制数

设G=(V,E)是一个图,一个双值函数f:■,如果对任意顶点v∈V,均有■成立,则称f为图G的一个符号控制函数。图G的符号控制数定义为■为图G的一个符号控制函数}。通过列举图例验证了以往研究中的部分结果是错误的,并重新确定了两类乘积图C_n×P_3和P_n×P_3的符号控制数。     

图的反全符号控制数

设G=（V,E）是一个非空图,对于一个函数f∶V（G）∪E（G）→{-1,1},则称f的权重为w（f）=∑x∈V（G）∪E（G）f（x）。若x∈V（G）∪E（G）,定义f[x]=∑y∈NT[x]f（y）。如果对所有的x∈V（G）∪E（G）都有f[x]≤1,则称f是图G的一个反全符号控制函数。G的反全符号控制数定义为γ＊...     

几类图的负对控制数

设D V是图G=(V,E)的任意一个对控制集,如果一个函数f:V→{-1,0,1}满足条件1)对任意点v∈D,有f(v)=1,对任意点v∈V-D,有f(v)≤0,2)对任意点v∈V,均有f(N[v])≥1,则称函数f为图G的负对控制函数。负对控制函数f的重量f(V)是V中所有点的函数值之和,图G的负对控制数γp-(G)=min{f(V)|f是图G的负对控制函数}。本文研究一些图的负对控制数。     

关于图的符号团控制数

对于一个非空图G=(V,E)和一个函数f:E→{-1,+1},若SE,则记f(S)=∑_e∈Sf(e).若对于G中每个非平凡的团K均满足f(E(K))≥1,则f被称为G的一个符号团控制函数,G的符号团控制数表达为     

pq阶Cayley图的符号星控制数

设G=(V,E)是一个没有孤立顶点的图,如果一个函数f:E→{-1,1},满足f(E(v))≥1,v∈V(G),则称f为图G的一个符号星控制函数.图G的符号星控制数定义为:γss(G)=min{f(E)|f为G的反符号星控制函数},论文确定了pq(2pq,且p、q为互异的素数)阶群Q上Cayley图X(Q,M)的符号星控制数γss(X(Q,M))=(p-1)q+1,M表示群Q的极小生成集.     

图的最小符号控制函数的充要条件

在图G=（V,E）的顶点集V上定义一个二值函数f=V→{-1,1},使对任何v∈V,f(N[v])≥1,则称f是图G的一个符号控制函数。图的符号控制函数的权重定义为f(V)=∑v∈vf(V),它的最小权重称为图的符号控制数,记为γs(G）达到最小权重的符号控制函数称为图的最小符号控制函数,本文讨论最小符号控制函数的必要条件。     

关于图的减控制数

图G=（V，E），一个函数f：V（G）→{-1，0，1}称为G的减控制函数当且仅当对任意v∈V有∑u∈N[V]f （u）≥1．令f（V）=∑v∈Vf（v）为f的权．图G的减控制数γ^-（G）=min{f（V）│f是一个减控制函数}．建立了几类特殊图的减控制数的值，并对一般图讨论了γ^-（G）的界．     

关于图的负对控制数的界

设D真包含V是图G=(V，E)的任意一个对控制集。如果一个函数f：V→{-1，0，1}满足条件：(1)对任意点u∈D，有f(v)=1，对任意点v-D，有f(v)≤0；(2)对任意点v∈V，均有f(N[v])≥1；则称函数f为图G的负对控制函数。负对控制函数f的重量f(V)是v中所有点的函数值之和，图G的负对控制数γp^-(G)=min{f(V)|f是图G的负对控制函数}.本文研究了图的负对控制数的界。     

阶Cayley 图的反符号星控制数

设G(V, E)是一个没有孤立顶点的图,如果一个函数 f : E { 1,1}满足 f ( E (v )) 0对一切 v V (G )均成立,则称 f 为图G 的一个反符号星控制函数,图G 的反符号星控制数定义为rss (G ) max{ f ( E ) |f为G 的反符号星控制函数}。确定了 pq(2

     

两类图的Fractional控制数

设G=(V,E)为一个图,如果一个实值函数f∶V→[0,1],对任意u∈V(G),均有f(N[u])≥1成立,则称f为图G的一个Fractional控制函数.图G的Fractional控制数定义为γf(G)=min{f(V)|f为图G的一个Fractional控制函数}.本文给出m≥3,n≥2时乘积图Km×Pn的Fra...     

一些特定图类的严格强控制数

设图G＝(V,E),对于函数f:V→{-1,1},记f的权重f(V)＝∑v∈Vf(v),对v∈V,记f[v]＝∑u∈N[v]f(u).图G的严格强控制函数是f:V→{-1,1}使得对V中多于一半的顶点v有f[v]≥1,图G的严格强控制数是G的所有严格强控制函数的量小权重,且用smaj(G)表示.本文决定了一些特定图类的严格强控制数.     

两类联图的符号控制数

设图G=(V,E)为一个图,一个双值函数f:V→{1,-1},若S?V,则记f(S)=Σ_(v∈s) f(v).如果对任意的顶点v∈V,均有f(N[v])≥1成立,则称f为图G的一个符号控制函数.图G的符号控制数定义为γ_S(G)=min{f(V) f是图G的一个符号控制函数}.联图G=■∨H是空图■的每个顶点都与图H的每个顶点相连接而成的图.本文主要利用讨论图中-1顶点个数的方法得到下界和用标号法得到上界,从而确定两类联图的符号控制数的精确值,即确定了γ_S(■∨Kn)和γ_S(■∨W_(1·n)).