涉及重级零点的亚纯函数正规族

证明了涉及零点重数的亚纯函数的一个正规定则:设F是区域D内的一族亚纯函数,若对于F中的任意函数f,f的零点重级均≥k,k为正整数,(0,f)=(0,f(k)),且存在正数h1,使得当z∈(1,f(k))时有|(fk(z)|/1+|(fk(z)|k+1≤h,则F在D内正规.从而推广了已有的结果.     

涉及导数的亚纯函数正规族

本文的第一部分考虑亚纯函数族与其导函数族之间的正规族关系。第二部分得到了全纯函数族的Montel正规定则的一个推广。     

亚纯函数的正规族

设R为区域D上的亚纯函数族,k为至少为2的正整数,a,b,c 为相互判别的有限复数.若对R满足,f(z)-c的零点至少为k,f的极点至少为2k 3,且(E)f(a)(∪)(E)f(k)(a),(E)f(b)(∪)(E)f(k)(b),则R在D上正规.     

亚纯函数的正规族

研究了亚纯函数的正规族问题,得到了如下的结果:设F为区域D内一亚纯函数族,k,m(≥2)为两个正整数.a(≠0)是有穷复常数,若任意的函数f(z)∈F,f(z)的零点重级至少为k,且存在M>0,使得当fm(z)f(k)(z)=a时,|f(z)|≥M或|f(k)(z)|≤M,则F在D内正规.     

涉及微分多项式的亚纯函数正规族

给出了一个一般性的正规定则,设F为区域D上的一个亚纯函数族,H（不衡等于）0，a0＋a1,…am-1为区域D上的全纯函数，如果对于任意的f∈F，f的极点重数≥2，f的零点重数≥m＋2，且L（f）（z）=f^（m）（z）＋am-1（z）f（m-1）（z）＋…＋a1（z）f′（z）＋a0（z）f（z）≠h（z） z∈D 则F在区域D上正规。     

无零点的亚纯函数正规族与正规函数

设f(z)为单位圆盘△上的一个亚纯函数,a,b为互相判别的有限复数,当f≠0,并且f(z)与(f)(z)分担集合S={a,b},则f(z)为单位圆盘△上的一个正规函数     

亚纯函数的正规族

研究了亚纯函数族的正规性,在改进顾永兴、杨乐、方明亮等人的相关结果的基础上获得了亚纯函数族的几个正规定则.在涉及例外函数a(z)其中a(z)≠0的条件下,主要证明了定理1和定理2.     

涉及分担值的亚纯函数族正规族

利用分担值的思想证明了:设n(n≥3),a≠0、b是两个有穷复数,D是复平面C的一个区域,F是区域D中的一族亚纯函数,其中每个函数极点的重级至少是3,零点的重级至少是2.若对于F中的任意两个函数f、g,f’-afn与g’-agn在D内分担b,则F在D内正规.     

亚纯函数正规族的一点注记

研究了一类与Hayman猜想有关的亚纯函数族的正规问题,即函数族中任一函数满足f+a(f(k))n≠b条件下的正规问题,采用顾永兴等(正规族理论及其应用.北京:科学出版社,2007.)的方法讨论了f+a(f(k))n≠b不成立时的正规问题,得到了:设F是区域D内亚纯函数族,k,n(≥k+2)是正整数,a(≠0),b两个有限复常数,若对任意的函数f∈F,f(z)的零点重级至少为k+1,且存在M>0,使得当f+a(f(k))n=b时有|f(z)|≥M,则F在区域D内正规,并对整函数族考虑了分担值时的正规定则的问题.这些结果推广或改进了已有的相关结果.     

一亚纯函数族的正规性

设F是区域D内的亚纯函数族;a,b是2个非零有穷复数;k≥3是一个正整数,A是一个非负实数;若对于F中的任意函数f,f的零点重数至少为k,f(z)=0(→)|f(k)(z)|≤A,f(z)=a(→)f(k)(z)=b;则F在D内正规.     

分担依赖于函数的常数亚纯函数正规族

研究关于分担值的亚纯函数族的正规性,证明了如下结果:设k,n(≥k+3)是两个正整数,F为单位圆盘Δ内的一族亚纯函数,如果对于每一个f∈F,f的零点重级≥k,且存在仅依赖于f的非零有穷复数bf,cf满足:bf/cf是一个常数;min{σ(0,bf),σ(0,cf),σ(bf,cf)}≥m,这里m0;对于每一对f,g∈F,有f(k)-1/bfn-1fn=cfg(k)-1/bgn-1gn=cg,那么F在Δ内正规.     

涉及例外函数的亚纯函数的正规定则

应用正规族理论及Zalcman引理,得到涉及例外函数的亚纯函数的一个正规定则,改进了已有的一些结果。     

关于亚纯函数的正规性

设F是区域D上的一族亚纯函数,a(z)在区域D上解析且a(z)≠0(z∈D),k是一个不小于3的正整数,A,B是两个正实数,a0(z),a1(z),…,ak-1(z)在区域上D解析.如果(A)f∈F,f的零点重数至少为k,且对z∈D,满足(1°)当f(k)(z) ak-1(z)f(k-1)(z) …a1(z)f'(z) a0(z)f(z)=a(z)时,|f(z)|≥A;(2°)当f(z)=0时,0＜|f(k)(z)|≤B,则F在D上正规.     

涉及分担值的两个亚纯函数族的正规定则

讨论2个亚纯函数族涉及分担值的正规性,证明如下结论:设F和G为区域D上的2个亚纯函数族,a1,a2,a3为3个互不相同的复数,k≥1,l≥0为整数.若亚纯函数族G正规,且对G的任意子列gn(z),有gn→g,且g■∞;若对任意的f∈F,零点重数大于等于k+1,且存在g∈G,使得f(k)(z)和g(l)(z)分担a1,a2,a3,则F在D上正规.     

与微分多项式相关的亚纯函数的正规族

设R为区域D上的一族亚纯函数,n,k（n≥k＋1）均为正整数,b为一有限非零复数,a0（z）,a1（z）,……,ak-1（z）为D上的全纯函数,若对R中的任意函数f,f在D内的零点重数至少为n,f的极点重数至少为2,且L∽=b＝〉f=b,其中L∽（z）=f^（k）（z）＋k-1∑i=0ai（z）f^（i）（z）,则R在D内正规．     

涉及复合亚纯函数和不动点的亚纯函数的正规族

假设f是一个超越整函数,G是定义在区域DC上的全纯函数族. 如果对G中每个元素g,f(g)-α₁在区域D上的每个零点重数≥2,f(g)-α₂和g-α₂在区域D上IM分担0, 这里α₁和α₂是2个判别的有穷复数,则G在区域D上是正规的,该结果推广了Bergweiler 2004年的一个结果.同时还证明了: 假设R 是一个次数满足deg R≥2(deg R≥3,并且R在在复平面上有3个判别的有限的不动点)的有理函数,F是一个定义在区域DC上的全纯函数(亚纯函数),并且对F中每个元素f,Rf(z)-z 和f(z)-z在区域D上IM分担0,则F是区域D上的正规族, 该结果推广了方明亮与袁文俊2000年的一个结果, 也推广了常建明、方明亮与L.Zalcman 2005年的一个结果, 并举例说明本文结果从某种意义上来讲是最佳的.     

亚纯函数的正规族

设为F区域D上亚纯函数簇,k∈Z^＋（k≥2）,m∈Z^＋,a≠0,b为两有穷复数,c（z）≠0为D上解析函数,Vf∈F,f（z）的零点之级≥m,并且f（z）在区域D上的极点总个数（计算重数）至多为m,f（z）=a→f＇（z）=b,f（z）=0→0→f＇（z）=c（z）,f＇（z）=c（z）→｜f^（k）（z）｜≤h,那么F在区域D内正规．     

零点位于直线上的亚纯函数的正规定则

讨论了亚纯函数的零点分布在直线上的亚纯函数的正规性,得到:设F是定义在单位圆盘D上的亚纯函数族,若存在M≥0,使得对于F中任意的亚纯函数f满足f的零点分布在一直线上,其极点重级m≥3(m∈Z~+),且f′(z)不取1,当f取值0时,f′(x)的模不大于M,则F在区域D内是正规的.