猜想σ((n))/n≥1/2

本文证明了当k≤7,a1 >a2 > >ak>1,且ai+1 (i=1,2, ,k)是素数时,σ ∏ki=1ai ≥∏ki =1(ai+1 )成立,进而证明了当n素因子个数不超过 7时,猜想σ( (n))/n≥1/2成立     

关于Diophantine方程x~(d(n))+y~(φ(n))=z~(σ(n))

对于正整数n=2tpa11pa22…pakk,这里pi是奇素数,mi是正整数,i=1,2,…,k,2p1p2…pk,t是非负整数.设d(n),φ(n),σ(n)分别表示n的约数函数,Eu ler函数和约数和函数.给出了:n=2和3时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)正整数解的一般公式;并证明了ai(i=1,2,…,k)中至少有两个为奇数或存在i及奇素数p,使pi≡1(modp)且ai≡-1(modp)两种情形时,方程xd(n)+yφ(n)=zσ(n)没有正整数解.     

关于n进制中数字之和函数均值的计算

设 N =a1nk1 + a2 nk2 +… + asnks( 1≤ ai k2 >… >ks≥ 0 ) ,a( m,n) =a1+ a2 +… + as,Ak( N ,n) =∑m相似文献   

无爪图中具有指定长度的路因子

在无爪图G中,设σ2(G)表示不相邻顶点度和的最小值. 令|V(G)|=n=∑ki=1ai,ai6,1ik,并且σ2(G)n+k-1,证明了对于图G中任意的k个顶点v1,v2,…vk, 都存在点不相交的路P1,P2,…Pk，使得对于1ik，都有|V(Pi)|=ai并且vi是路Pi的一个端点.     

闭区间[nk,(n+1)k]内的几何数列

对于正整数n和k,设F(n,k)是闭区间[nk,(n 1)k]内所有正整数的集合,又设a1,a2,…,ak 1.是F(n,k)中适合a1＜a2＜…＜ak 1的k 1个数.证明了:当且仅当ai=nk-i 1(n 1)i-1(i=1,2,…,k 1)时,a1,a2,…,ak 1构成几何数列.     

尖点形式L函数的零点密度估计(Ⅱ)

设k为一正偶数,T是充分大的正数,s=σ+it,3≤Q=T,q为一正整数,χ是模q的特征,f(z)=∞∑n=1a(n)e2πinz为Γ=SL2(z)的权为k的全纯尖点形式.设Nf(σ0,T,χ)表示函数Lf(s,χ)=∞∑n=1χ(n)a(n)n-s在带形区域k/2+(l/(log(Q2T))≤σ0≤σ≤((k+1)/2),|t|≤T内的零点个数.当k/2+1/3≤σ0≤((k+1)/2)时,由Dirichlet多项式理论得出了∑q≤Q∑χmodqNf(σ0,T,χ)的一个上界.     

一个包含有F.Smarandache LCM函数SL(n)的混合均值

F.Smarandache LCM函数SL(n)定义为使得n|[1,2,3,…,k]整除1,2,3,…,k的最小公倍数的最小正整数k.主要利用SL(n)的性质及Mangoldt函数∧(n)的定义研究了∧(n)·SL(n)的均值性质,并得到了渐近公式∑n≤x∧(n)SL(n))=X2∑ki=1Ci/㏑i-1x+O(x2/㏑kx).     

含对称平均的不等式及其应用

用降维法建立了含九个正实数a1,a2,…,an的第一k次对称平均∑n^k（a）=[（k^n）^-1 1≤il＜…＜ik≤nj=1 ∑ ∏^k aij]^1/k,第二k次对称平均σn^k（a）=（k^n）^-1 1≤il＜…＜ik≤n ∑ （ai1 ai2…aik）^1/k,第三k次对称平均∏n^k（a）=（1≤il＜…＜ik≤n ∏ ai1＋ai2＋…＋aik/k）^（n^k）^-1的一个不等式链∏n^k（a）≥∑n^n＋1-k（a）≥σn^n＋1-k（a）（1＜k＜n）,并将此结果用于正定矩阵及单形．     

一个关于自然数数码平方和问题的推广

设f(x)为定义在{0,1,2,…,o}取值为非负整数的函数,对于任意自然数n,设n的十进制表示为n=a1a2…at,定义F(n)=∑i=1^tf(a1）,记F^(1)(n)=F(n),F^(2)（n）=F(F^(1)（n）),…,则总存在自然数k,使得F^(k)（n）落入有限个循环圈{a11,a12,…,a1r1},…,{am1,am2,…,amrm}内,其中{ai1,ai2,…,airi}满足F(ai1）=ai2,F(ai2)=ai3…,F(air1)=ai1(i=1,2,…,m）。     

关于数论函数δ(n)的一个不等式

对于正整数n，设δ（ｎ）是n的不同约数之和.证明了：存在无穷多个正整数n，可使δ（ｎ）／ｎ＞（ｄ（ａ０）＋ｄ（ａ１）＋…＋ｄ（ａｋ））／（ｋ＋１），其中ai(i=0,1,…,k)是n的十进制表示中的所有数位上的数字，d(ai)(i=0,1,…,k)是ai的除数函数.     

关于σ(n)和φ(n)的一个整除式

设φ(n)表示n的欧拉函数,σ(n)表示n的所有正因子和,ω(n)表示n的不同素因子的个数.对于整除关系φ(n)|σ(n),其中n是正整数,当n为素数时只对n=2,3成立.讨论了当n至多有3个不同的素因子时,n为哪些合数时才能使该整除式成立,其中解2α(2α 2-1)(其中2α 2-1为素数,α∈N)与偶完全数2n-1(2n-1)(其中2n-1为素数且n∈N)类似.     

关于n长路的(a,b;n)-优美标号

证明了a=4时,Gvozdjak猜想成立.即路Pn存在一个(a,b;n)-优美标号,当且仅当整数a,b,n满足:(1)b-a与n(n+1)/2有相同的奇偶性;(2)0<|b-a|≤(n+1)/2;(3)n/2≤a+b≤3n/2.在a=4时,成立.     

关于n长路的(a,b;n)-优美猜想

Gvozdjak提出如下猜想:Pn存在一个(a,b;n)-优美标号,当且仅当整数a,b,n满足:1)b-a与n(n+1)/2有相同的奇偶性;2)0|b-a|≤(n+1)/2≤a+b≤3n/2.该猜想的解决推动了Oberwolfach问题的解决.证明了当a=1,2时该猜想成立.     

一类图(C)2n的优美性

给出了图(C)2n的定义,并对其优美标号进行研究,得到了当n=4k+1(k≥1)时,图(C)2n是优美图的结论.     

Carleman不等式的新加强

运用一些分析技巧,对有限项Carleman不等式进行非严格化,给出了无限项Carleman不等式的2个新的加强式,得到了e∑nk=1kk+1αak-∑nk=1(∏ki=1ai)1/k≥Ane∑nk=11k-∑nk=1(k+1)α/k(k!)1/k;∑∞k=1(∏ki=1ai)1/k≤e∑∞k=1kk+1αak;∑∞k=1((k+1)α∏ki=1ai)1/k≤e∑∞k=1ak.其中,α=1ln 2-1≈0.442 695…,ak>0,k=1,2,…,An=min1≤k≤nkα+1(k+1)αak.     

与一类n元对称函数有关的几个恒等式以及一个对称不等式的初等证明

设n∈N+,r∈N,a1,a2,…,an∈C,令E(r)n=E(r)n(a1,a2,…,an)=Σi1+i2+…+in=r ai11ai22…ainn,其中求和遍历使i1+i2+…+in=r的所有n元非负整数组(i1+i2+…+in).本文用初等方法给出了与有关的几个恒等式和不等式,并给出了一个对称不等式的初等证明.     

丢番图方程(a n -1) (b n -1) = χ2的解

利用二次剩余的方法,研究了丢番图方程(a n -1) (b n -1) = χ2 在(a,b) = (13 k1 +5,13 k2 +8),以及(a,b) = (17 k1 +6,17 k2 +7)时的解,完全解决了当k1,k2满足某些条件的这两类丢番图方程.     

关于若干整数分拆问题

Y．Alavi,A．J．Boals,G．Chartrand,P．ErdSs和O．R．Oellermann提出下面的猜想：已知整数a1,a2,…,ak,满足n≤ai≤2n-2,1≤i≤k,且a1＋a2＋…＋ak=rt（n＋1）／2,则S=（1,2,…,n）包含有k个互不相交子集S1,S2,…,Sk,满足ai=∑（Si）,1≤i≤k。推广该猜想,得到下面的定理：已知整数a1,a2,…,ak,满足ai≥n,1≤i≤k,且a1＋a2＋…＋a4≤n（n＋1）／2,则S={1,2,…,n）包含有k个互不相交子集．S1,S2,…,Sk,满足ai=∑（Si）,1≤i≤k。由此定理易推出K．Ando,S．Gervacio和M．Kano证明的一个主要定理。参考文献中的一个错误同时被更正。     

关于数论函数不等式δ(ψ(1)+ψ(2)+…+ψ(n))≥n(n+1)

对于正整数k,设δ(k)和ψ(k)分别是k的约数和函数和Dedekind函数,其中前者与完全数问题有关[1],后者则是另一类常用的数论函数———Euler函数的对偶形式[2].对于正整数n,设nf(n)=∑k=1ψ(k)(1)对此,Bencze[3]曾经提出:当n≥2时,必有(δf(n))≥n(n 1)(2)这是一个迄今尚未解决的     

一个包含Euler函数φ(n)的方程的解

针对Euler函数φ(n)与函数ω(n)混合的形如φ(n)=2~(ω(n))q_1~(ω(n)q2ω(n))…q_k~(ω(n))的方程的可解性,其中q_1,q_2,…,q_k为互异的奇素数,提出了方程φ(n)=2~(ω(n)5ω(n))的可解问题,利用Euler函数φ(n)与函数ω(n)的有关性质以及初等方法,得到了该方程的全部13组整数解n=1,11,202,250,2 222,2 510,2 750,3 012,3 750,27 610,37 650,41 250,414 150.