求解混合整数线性规划的降维搜索法

很多实际问题归结为解如下线性规划max C~TX AX=b (1) {X≥0 其中X=(x_1,…x_L,x_(L 1),…x_n)~T的x_1…x_L 为整数。降维搜索法求解这个问题,首先是从(1)的约束中除掉x_1…x_L为整数的要求,求出线性规划的最优解。此解若不为整数解,则从解的分量x_1开始取整,即令x_1=[x_1~(0)] 代入约束,在n-1维空间上求最优解。如果仍不是整数解,则继续在n-1维最优解中令分量x_2取整,求n-2维空间的最优解。若降维至n-r得一整数解,则依定理1,停止继续降维。此时的整数解为(1)的可行解。然后在此可行解的基础上在x的两边进行左右搜索,用新的更优的可行整数解代替原有的可行整数解。用定理(2)和(3)判别是否停止搜索,搜索完毕便得n-r 1维(1≤r≤L)的一个最优整数解。然后求出所有n-r 1维的最优整数解,比较所有n-r 1维的最优解,得n-r 2维的一个最优整数解,如此类推,一定可求得原问题(1)的最优整数解。降维搜索法可以完全平行地推广到求非线性规划的整数解。     

限定取正整数的定和最大积问题

我们知道,在“极大极小”问题中有一个重要定理,就是 n个正数x_1,x_2,…,x_n,其和 sum from i=1 to n(x_i)=L是一个定值,则当x_1=x_2=…=x_n=L/n时,其积multiply from i=1 to n(x_i)最大。如果限定x_1,x_2,…,x_n取正整数,结果怎样呢?就是说,n个正整数其和一定,什么时候它们的乘积最大?本文就介绍这个问题。先介绍二个符号。符号〔x〕表示不超过x的最大整数部份。例如,〔π〕=3,〔16/3〕=5,〔-2~(1/2)=-2,〔4〕=4。符号{x}表示不小于x的最小整数部份。例如,{π}=4,     

关于多元加权全最小一乘法的最优解

对给定n+1维欧氏空间R~(n+1)中的m个点x_1=(x_(11),x_(12),…,x_(1n+1)), x_2=(x_(21),x_(22),…,x_(2,n+1)),…,x_m=(x_(m1),x_(m2),…,x_(mn+1)),证明了存在最优超平面β_0+β_1x_1+…+β_(n+1)x_(n+1)=0,使这组点到此超平面的加权垂直距离和Q(β)=(∑~(n+1)_(j=1)β~2_j)~(-1/2)∑~m_(i=1)w_i|β_0+∑~(n+1)_(j=1)β_jx_(ij)|=min (w_i>0,i=1,2,…,m);提出并证明了最优超平面β_0+β_1x_1+…+β_(n+1)x_(n+1)=0应满足的3个必要条件,从而给出了求最优超平面的方法.     

奇异摄动线性系统由状态反馈实现抗干扰性的条件

本文考虑具有快、慢变模型的奇异摄动线性系统:x_1=A_(11)x_1 A_(12)x_2 B_1u D_1fεx_2=A_(21)x_1 A_(22)x_2 B_2u十D_2fY=C_1x_1 C_2x_20<ε<<1是小参数本文运用快、慢变模型的分解和非异坐标变换讨论了当快、慢变子系统能由状态反馈实现抗干扰性时,干扰对原系统输出的影响仅是O(ε)量级。     

非线性微分方程组参数估计的模式函数法

阐述模式函数法的基本原理,对非线性微分方程组x_1=a_1x_2x_3x_2=a_2x_1x_2~2x_3 a_3x_3x_3=(a_ix_2)/(x_i t)其中,a_i(i=1,2,3,4)是参数,x_i(i=1,2,3)是状态变量,给出用模式函数法进行参数估计的具体方法。     

关于凸函数中一个定理的证明

一般凸函数是由f(x_1+x_2/2)≤1/2[f(x_)1+f(x_2)]…(1)来定义的。在函数连续时也有用f(sum from n=1 to n λ_ix_i)≤sum from n=1 to n λ_if(x_i),λ_i为实数,而sum from n=1 to n λ_i=1…(2)来定义。但当函数连續时,由(1)可(?)(2)这是一个定理。现在用实数的二进位表示法和有限归纳内法来证明这个定理。     

也谈“优选法中分数法和0.618法关系的证明”

一般优选法资料中,都是用连分数理论,证明分数法数列:x_1=1/2, x_n=1/(1+x_(n-1))(n=2,3,…) (1)的极限lim(x_n)=5~(1/2)-1/2=0.618033…≈0.618 (2)这是分数法和0.618法的关系。程汉晋为方便学习,给出了(2)的另一个证明。本文给出了四个简短的证明,这不仅有利于读者,还有利于优选法的改编。同时,(2)的证明,可作为大学一年级或中学数学课的例题。     

关于丢番图方程x~4-Dy~2=1

定理1.如果D≡3(mod 8),且当x~2-Dy~2=1的基本解ε=x_0 y_0D~(1/2)满足2|x_(?)时,则(1)无正整数解。不难证明适合定理1的条件且非素数的D有无限多个,例如在[1]中我们证明了D≡3(mod 8),对于D的任一对因子 m>1,n>1,D≡mn,均适合(m/n)=-1,这里(m/n)是Jacobi符号,(2)     

康托定理的另一证明

数学分析中康托(G.Cantor)定理的证明有多种,现讨论另一直接证明.为清楚起见,先叙述一下定义.设f(x)是区间X上的连续函数,X_0为X内一点.对ε>0,由于f(x)在X_0点连续,所以有δ=δ(ε,x_0)>0,当|x-x_0|<δ时,恒有|f(x)-f(x_0)|<ε,这里的δ是“ε和x_0的函数”.当ε>0给定后,固定点X_0换为X内的另一点时,正数δ也会发生变化的.对每个给定的点X_0,都相应地有一个δ(ε,x_0)>0,当x_0遍取X内的一切点时,便得无穷多个δ.在这无穷多个δ中,是否有一个可公用的δ(即大于零的下界)对所讨论的区间都适用?如果有的话,我们就说f(x)在X是一致连续的.因此有     

链式法则的一个证明

复合函数求导的链武法则是:设函数 u=(?)(x)在点 x_0处可导,y=f(u)在点 u_0(u_0=(?)(x_0))可导,则复合函数 f_0(?)(x)在点 x_0可导,且(f_0(?))′(x_0)=f′(u_0)(?)′(x_0)。对于这个法则,我们给出一个新的证明。为此先引入两个引理。定义设 E(?)R。f在 E 上有定义,x_0。∈(?)((?)是 E 的闭包),如果存在常数 l,对于任给ε>0,存在δ>0,当x∈(x_0-δ,x_0+δ)∩E-{x_0}时,恒有 f(x)∈(l-ε,l+ε),则称 f 在x_0关于 E 有极限 l。记作 l=(?)f(x)。     

一个丢番图不等式

在本文中,我们得到如下定理:定理设λ_1,…,λ_5是非零实数,不具有相同符号,且不全是有理比,那么,任给ε>0,丢番图不等式|λ_1x_1~2+…+λ_5x_5~2|<(■x_i)~(-2/9+ε)有无限组正整数解(x_1,…,x_5).     

黄金分割法最优性证明

通过实践的摸索,并根据文[1]的提示,我们应用数论的方法,在选点方法、试验次数、初始试验点不事先知道的情况下证明黄金分割法的最优性。§1 基本概念和定义定义1 若函数y(x)在区间[a,b]上只有一个最大值点x,在点x左侧函数严格增加,在最大值点的右侧,函数严格减少,则称函数y(x)在区间[a,b]上为单峰的。不失一般性,今后只研究具有最大值的单峰函数。单峰函数有如下性质:y=y(x)是[a,b]上的单峰函数,x_1和x_2(x_1相似文献   

关于方程x~m-y~n=1,|x-y|≤250400.

在1842年,Catalan提出了两个连续数除8,9外不能同时都是自然数的大于1次的乘幂的猜测。不久以前,R.Cestari曾经给出了了个证明。但是这个证明是错误的。例如他在204页从x_1~(t‘)·x_2~(t‘‘)=x~t和x_2~(t‘‘)-x_1~(t‘)=2得出x_1=x_2=2是没有根据的,因为他漏掉了x_1=2x_3~t,x_2=2~(lt-1)x_4~t,t‘=t‘‘=1,(x_3,x_4)=1的这一可能的情形;又在207页他用了“两个不相等的无理数的乘积不能等于一个自然数”这样一个不真确的命题等等。所以他并没有得出什么结果。即使三个连续数能否都是自然数的大于1次的乘幂问题,亦迄今还未解决。     

一个最优设计问题

设试验点集是X={x(t)=kt b:t∈[0,1],|k|≤B_1,|b|≤B_2},其中B_1>0,B_2>0都是已知数,参数空间={θ:θ∈L_2[0,1]}。被观察的随机过程为 Y(x,t)=∫_0~tθ(u)x(u)du N(t),t∈[0,1]其中{N(t),t∈[0,1]}是Weiner过程。本文得到关于线性泛函脉θ_0~*(θ)=∫_0~1θ(u)du的线性估计的最优设计为ξ_0=(x_1,x_2 α, 1-α)其中x_1=-B_1t-B_2,x_2=B_1t B_2,α满足0≤α<1。在得到这个设计时用到了Spruill[2]的一个定理。发现Spruill[2]中(16)式的证明是错的,因为他的叙述“因是对称的且凸的,对充分小的ε>0,(β-ε)θ~*∈”是错的,本文已将这个错误订正。     

临界点附近轨线的拓扑结构

我们考虑二阶自治系统 x′_1=P(x_1,x_2),x′_2=Q(X_1,x_2) (1)其中P、Q是(x_1,x_2)平面E_2上某开集D中x_1x_2的实连续函数,D内系统(1)的任意解设为x_1=x_1(t) x_2=x_2(t),在最大区间α相似文献   

一类回归模型的M—估计的相合性

设有回归模型y_1=θ_1x_1r θ_2x_2 … θ_1x_p ε,t=1,2,…,N.(1)其中x_1,…,x是(非随机)自变量;ε是随机残差变量;y为因变量;θ_1,…,θ为回归参数。     

相对极值超曲面的Bernstein性质

设x:M→A~(n+1)是一个局部严格凸的超曲面,由Ω(<)A~n上的凸函数x_(n+1)=f(x_1,…,x_n)定义.考虑M上的相对度量G~α=p~(α+1)∑δ~2f/x_ix_jdx_idx_j,其中P=(det(δ~2f/δx_iδx_j))-1/n+2,α为常数.作者对由一个四阶偏微分方程的凸解所给出的局部严格凸超曲面进行了研究,给出了这个非线性偏微分方程凸解的Bernstein性质的证明.     

长白山红松阔叶林林下灌草生物量模型构建

采用全收获法调查长白山红松阔叶林林下灌草生物量,通过逐步回归分析法构建长白山红松阔叶林林下灌木、草本生物与林分和立地条件生物量模型.得到的最优灌木生物量模型为S=-0.784-0.217x_1+0.003x_2+0.003x_3(S、x_1、x_2、x_3分别为灌木生物量、坡向、海拔和样地乔木蓄积量),模型拟合优度R~2为0.641,各参数在Sig.≤0.05时达到显著水平,因子间不存在共线性,总相对误差RS24.2%、平均相对误差RMA6.54%;最优草本生物量模型为H=0.159+0.017x_1+0.015x_2-0.076x_3(H、x_1、x_2、x_3分别为草本生物量、乔木平均胸径、坡度、坡位),模型拟合优度R~2为0.150,各参数在Sig.≤0.20时呈现显著水平,因子间不存在共线性,总相对误差RS31.5%、平均相对误差RMA10.5%.     

连续凸函数一个性质的新证明

我们知道连续凸函数具有这样一个性质: 定理设f(x)是R~n上的实值连续函数,若对于任意的x_1,x_2∈R~n,都有 f(1/2x_2 1/2x_2)≤1/2f(x_1) 1/2f(x_2) (1)则f(x)必为凸函数。一般函数论教材,在论证这一性质时,大都采用哥西的巧妙证法,下面我们用反证法证明这一结论。证明:若f(x)不是凸函数,根据凸函数的定义,则至少存在两个点x_1、x_2∈R及0≤a_0≤1     

用幂法求方阵特征值的一个注记

用幂法求方阵的近似特征值和近似特征向量的主要作法如下:设A为给定的方阵,任取初始向量x_0,作向量序列x_k+1=Ax_k,(k=1,2,…)。若x_(k+1)和x_k的对应分量近似成比例,则这个比例系数就是A的特征值的近似值,而x_(k+1)就是相应的近似特征向量。在许多计算方法的教科书中,上面的幂法被称做求按模最大的特征值的一个方法。的确,在一定条件下,当k充分大时,x_(k+1)和x_k近似成比例,且其比例系数趋向于A