“数学疯病”集合论

自从17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分理论体系之后,在近一二百年的时间里,微积分理论一直缺乏一个严格的逻辑基础。它的一些基本概念的表述,还有某些混乱和自相矛盾之处。从19世纪开始,柯西、魏尔斯特拉斯等人进行了微积分理论严格化的工作。他们建立了极限理论,并把极限理论的基础归结为实数理论。那么,实数理     

极限与无穷小辨析

极限与无穷小是微积分中的基本概念,是整个微积分学的理论基础.极限是运动与静止的统一;极限可以被看作是函数变换器;极限是连接有限与无限的桥梁.极限与无穷小有着密切的关系,借助于极限,可以深刻地理解无穷小的本质.反过来,无穷小思想也是对极限思想的补充.深刻地理解极限和无穷小的实质,对学习微积分是十分必要的.     

超实数系

一、引言现行的传统的微积分中,“ε—δ”定义长期以来人们不容易理解,成为教学上的难点。并且无穷小这个基本概念有含糊不清、逻辑上有不够合理之处(见[2])。为了解决这个矛盾,A.Robinsn构造了包括无穷小、无穷大在内的超实数系,建立了一个公理体系证明了这个超实数系统是无矛盾的。一些数学家建立在超实数系上来讲微积分以及其它分析学,使其微积分的概念和理论几乎全部改观,从而另建立了一套微积分理论体系。近几年来,用这种非标准分析的方法来讲微积分在欧美一些国家盛行,并编有象[1]这样很成熟的教科书在大学使用。据报导,在教学上比起“ε—δ”方法较直观,学生容易接受。由于国内介绍这方面内容的文章较少,且都是迁涉许多的数理逻辑知识。本文的目的:仅将超实数系作一简要的通俗易懂的介绍。不妥之处,敬请指出。     

《数学手稿》讲座(初稿) 第四讲 导函数(下)

第三章马克思关于导函数的论述的重要意义《手稿》的写作年代距现在已经一个世纪了。在这一个世纪中,数学特别是数学分析又有了飞速的发展。如果我们从微积分体系的演变过程来看,那么从微积分的诞生开始直到现在大致可以分成为四个阶段。一、十七世纪后期。微积分作为一门科学在牛顿和莱布尼茨的手上大体宣告完成。这个时期,莱布尼茨的无穷小方法占据统治地位,最早的微积分讲义和公开出版的教科书就是     

无穷小的认识过程初探

微积分是高等数学的基本组成部分,它不仅在高等数学中占有重要地位,而且也是现代化建设和高科技发展不可缺少的有效工具。而无穷小是微积分理论的最基本概念之一,在微积分理论体系中,无穷小是一个必须要弄清楚的概念。然而,人们对无穷小的认识却经历了一个漫长的过程。直到十八世纪,仍然没有较完善的解释无穷小概念。无穷小是什么？无穷小究竟究竟能不能是零？我们怎样确切地描述它？这些问题引起了数学界乃至哲学界的争论长达一个半世纪。无穷小问题至关重要,若其不能解决,极限概念就无法建立,微积分理论就不会完善。到十九世纪二十年代,无穷小概念才有了比较合理的解释。为了更好地学习微积分理论,掌握现代化科学文化知识,我们有必要了解无穷小的历史。     

修正微分定义统一数学分析

第二次数学危机爆发至今一直都存在不同的意见,无穷小分析这套微积分工具对问题的解决颇具启发性,但其理论基础备受质疑;而现今极限理论框架下的微积分失去了无穷小分析的简明直观性。该文修正了极限理论中微分和无穷小量的定义,根据“Bolzano连续性赋值”建立微商引理,统一了无穷小分析与极限理论;举例推证了部分微分学公式,揭示了无穷小分析和极限理论之间内在的蕴含关系,指出了L’Hospital法则、等价无穷小代换本质上就是求出函数在0/0处的值,和Euler的观点吻合。同时用纯粹数学描述Marx的数学手稿,证明其“微分为特定的0”的观点的正确性,表明可以从本质上彻底解决第二次数学危机。     

实数的戴德金(Dedekind)构造

前言在数学系的《数学分析》这门主要基础课程中,如何讲授实数理论,以及如何使得学生加深对于极限理论的理解和掌握,是一个值得研究和讨论的问题。各种教科书对这部分内容的处理是很不相同的。本文介绍了一种讲法的提纲,它可以作为《数学分析》的“分析基础”部分的基本内容,安排在“一元微积分学”之后进行讲授,约需24学时。我们知道,实数的戴德金构造,因为它立论严谨、叙述简明且具有较强的直观性,     

关于非标准分析

在微积分的创立和发展过程中,无限小量和无限小量方法起着重要的作用。长期以来,数学家和哲学家们围绕着“无限小量是什么?它们是否实在的量?实数直线上的点是否就是不可再细分的最小元素?”等问题展开争论。到十九世纪下半叶马克思和恩格斯分别在《数学手稿》和《自然辩证法》中才对这些问题给出了正确的回答。在本世纪六十年代初,数学家A.鲁宾逊利用数理逻辑的严谨方法奠定了非标准分析(这名称是相对于现在一般称做标准分析——十九世纪在极限理论基础上发展的微积分理论而取的)的基础。在这个非标准模型中,论域从一般的实数域R拓广到包含无限小量、无限大量和一般实数的域R,它既保存了无限小量又把微积分     

从距离空间完备性角度探讨实数完备性理论

关于分析理论中完备性的相关理论,一般比较熟悉的是实数集完备性定理,但"数学分析"课程中实数集完备性定理的证明比较复杂,学生不太容易理解.为此,从"泛函分析"课程中的距离空间完备性的角度来阐述实数集完备性定理,把实数集看作为一个特殊的距离空间,得到实数完备性理论实际上是距离空间完备性理论的特殊情况的结论,从而帮助学生对实数的完备性理论有更加深入的理解.     

微积分在大学数学学习和生活中的应用

微积分是函数的微分和积分的数学分支,是建立在函数、实数以及极限的基础上的.微积分是解决变量的瞬时变化的,在大学数学当中主要研究的是变量在函数当中的作用,在物理方面是解决人们关于速度以及加速度的问题,所以,微积分对于我们解决问题有很大的应用.本文主要介绍了微积分的应用.     

极限思想的发展与微积分的建立

极限思想的发展与微积分的建立紧密相关．在微积分的创立过程中，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功地运用无穷小、无限过程进行运算，他们的努力和成就为极限思想的进一步发展和完善奠定了坚实的基础．而多方面的怀疑和批评，促使数学家们掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动，进而使极限理论得到了完善．     

非标准实数系*R的结构简介

非标准分析,是本世纪六十年代才创立起来的数学分支。众所周知,运用极限方法(即通常所律ε—δ方法)在实数体R上建立起来的数学分析,我们称为标准分析。而在非标准分析里引进了一种新的实数系~·R,它是原有实数系R的一个特殊的扩充。利用无穷小量方法建立在~·R上的数学分析,我们称为非标准分析。非标准分析的特点之一,是运用新实数系~·R,去研究客观现实世界中的数量关系和空间形式。~·R包含了通常的实数系(R中的数称为标准实数),同时它还包含非标准实数,其中无穷小量和无穷大量两种非标准实数特别重要。它们和标准实数比较呈现出质的差异性。~·R中的数同R中的标准实数一样,对它们能施行加,减,乘,除等运算,并且像标准实数一样,按照数的大小顺序排列在数轴上,从而形成一条“非标准的实直线”,如下图所示:     

Dirac δ—函数与无穷小分析

1926年以来,物理界和数学界,都认为 Dirac δ-函数,不是通常意义下的点函数,而是一个算符。1975年,Lightstone 和 Wong 应用“非标准分析”把 Dirac δ-函数定义为通常意义下的点函数。然而[4]的定义比较复杂,由此定义导出的筛取性质和物理界通常所用的不一样。本文不用数理逻辑,而是以由实数序列和超滤集建立的非标准实数系R 为基础,先研究函数在核子α(0)上的微积分,然后用无穷小分析中的点函数定义了Dirac δ-函数,并由这定义推出了δ-函数最重要的筛取性质。这些结果和物理界通常所用的δ-函数符合。于是δ-函数从此可以表示为无穷小分析中通常意义下的点函数。     

浅谈数学分析中的数学思想

数学分析的基础是实数理论。实数系最重要的特征是连续性,有了实数的连续性,才能讨论极限,连续,微分和积分。正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中,人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系。本文对数学分析内容中体现的函数思想、极限思想、连续思想、导数思想、微分思想、积分思想、级数思想的认识与应用进行一般性的分析和探讨。     

两种变换法在不同课程中的应用及其比较

极限运算中等价无穷小相互代换和在积分运算中用微元法求总量是两个重要的变换方法,文中对两种变换法在《高等数学》和《数学分析》两门课程中不同的应用进行了比较分析。     

关于极限概念

数学分析(微积分)是近代自然科学与工程技术的一种基本数学工具,是大学理工科必修的一门基础课。而数学分析的理论基础是极限论,微积分中几乎所有基本概念的定义都涉及到极限,并且极限概念的发展对近代数学有深刻的影响,起着重要的作用。所以正确掌握、深刻理解极限概念就是非常必要的了。     

谈谈数列极限的理论基础——无穷小

微积分是高等数学的主要基础,而极限——数列极限、函数极限又是微积分的理论基础。要搞好四个现代化,必须提高各级各类学校的教学质量,其中在高中阶段教好数列极限这一内容是重要的环节之一。为此就数列极限的基础——无穷小,谈谈看法,以便引起争论,深入探讨,为高中提高这一部分内容的教学质量创造条件。     

《微积分教程》

该书原名为《高等数学基本教程》,是清华大学理工科各系已使用多年的《微积分》课程的讲义 ,自 1991年起已经 3次修改重印 ,清华大学应用数学系先后有近十位教师参加过这部教材的编写工作。现在这部教材是在原教材的基础上再次进行较大的修改而成的。该书在体系上并没有作重大改动 ,但其内容、要求、语言和思想都有很大变化 ,从一个侧面反映了近年来清华大学《微积分》课程的基本教学思想和要求。该书已成为清华大学《微积分》课程的主要教材之一。《微积分教程》分上、下两册 ,各 3 0多万字。上册包括实数与函数、极限理论与连续函数、一元…     

实数构造理论的阐述

19世纪,数学分析理论的奠基工作,由于本身逻辑基础的不严密,在前进中已日益觉得步履艰难.必然要求建立严格的实数理论.因为没有无理数的严格定义,没有实数的完备性质,就不可能有严格的极限理论.19世纪下半叶,不少数学家从事于无理数的理论及实数完备性的研究,并最后完成了完备实数域的构造.这方面以康托尔和戴得金的实数构造理论为标志.     

改革“数学分析”教材理论体系的几点意见

这里讲三点意见:一、以“实数理论”作为开宗明义第一章;二、用“无穷小说法”的极限定义代替ε—δ说法的极限定义;三、采用“广义数判别法”作为普遍适用的正项级数判别法。请读者尽可能对下述两方面提出宝贵意见:1.从科学性看是否正确,是否有所简化和发展;2.从教学上看是否简便易懂,是否值得推广使用。