对不定方程x3+y3+z3=3的研究

不定方程x^3＋y^3＋z^3=3的整数解问题是一个较古老且未得到完全解决的问题,在已找到的整数解中可发现,均有两个未知数的解相等.对于在两个未知数相等的情况下有无整数解进行一定的研究和推进,并且证明了x^3＋y^3＋z^3=3的解存在的形式.     

关于不定方程x~3-6x-3=3y~2

利用代数数论的方法,在三次域中证明了不定方程x3-6x-3=3y2无整数解.     

关于丢番图方程x~3±3~3=3pqy~2

主要利用递归数列、同余式、平方剩余以及Pell方程解的性质证明了当p≡1(mod 12),q≡12s2+1时,丢番图方程x3-33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(3,0);当p≡1(mod 24),q≡12s2+1时,丢番图方程x3+33=3pqy2仅有整数解(x,y)=(-3,0).     

不定方程x~3+y~3+z~3-3xyz=n有非负整数解的充要条件

给出不定方程x3+y3+z3-3xyz=n的非负整数解的一个判定准则.主要结果为:如果正整数n有标准分解式n=2rpr11…prkk,其中p1,p2,…,pk是适合p1相似文献   

关于不定方程x3-6x-3=3y2

利用代数数论的方法,在三次域中证明了不定方程x3-6x-3=3y2。无整数解．     

两类不定方程x~3-y~3=Dz~2(D∈Z)的解

给出当D为两类不同偶数形式时不定方程x~3-y~3=Dz~2(D∈Z)整数特解形式,然后,给出D为某些奇数时,不定方程x~3-y~3=Dz~2(D∈Z)整数特解求法,最后根据定理1给出一些不定方程x~3-y~3=Dz~2(D∈Z)整数特解.     

丢番图方程x~3+64=3y~2的整数解

丢番图方程x~3+64=3y~2的整数解至今未解决,利用奇偶数的性质、同余的性质等证明了丢番图方程x~3+64=3y~2仅有整数解(x,y)=(-4,0).     

关于不定方程1+3~a=7~b+3~c

本文将证明不定方程〔‘〕 1+3。=7b+3c的整数解只能是下列两种情形之一: i)(2,1,1); 11)(a,o,a),a为任意整数. 容易看出i)与ii)都是(l)的解,下面只需证明除开i)与ii)外,整数解。 以下所说的解,均指整数解。 引理1若(a,b,。)为(1)的解,则a,b,。不能同为负数。 证明:若a(0,b(0,cO(下 1 .11十一飞沪=b,十一刁3 73于是 a,e,3一3一飞,万了-1万 一 J土a,+el由此得a,e,3一3 3a,+e,因33“‘,3a“c,均为整数,所以一与一也应为整数,由(“,7=1,这是不可能引理2若(a,b,e)为(i)的解,且a<…     

关于丢番图方程2x-2y·3z-4·3w=3·9k+1

用初等方法给出了丢番图方程2x-2y·3z-4·3w=3·9k 1, x>0,y>0,z≥0,w≥0,k>0的全部整数解,利用这一结果,推出与和完全数有关的一类不定方程仅有一组整数解.     

关于不定方程 x3±8＝19 y2

通过运用Pell方程、递归序列、同余式、平方剩余和雅克比符号等初等数论的方法,证明了:不定方程x3+8=19y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(62,±112);不定方程x3-8=19y2仅有整数解(x,y)=(2,0),(3,±1),(14,±12).证明过程中,纠正了不定方程x3-1=38y2的整数解只有(x,y)=(1,0)的结论,给出不定方程x3-1=38y2的全部整数解仅有(x,y)=(1,0),(7,±3).     

关于不定方程x3-1=19y2

利用两种初等的方法,即对方程取某个正整数M>1为模来制造矛盾的同余法和递归序列法,证明了不定方程x3 -1=19y2 仅有整数解(x,y)=(1,0),从而进一步的证明了方程x2 -19y2 =-13无整数解;方程x2 -3r2 =-3仅有整数解(1.0).     

关于不定方程x3±8=35y2

利用同余式、递归序列的方法证明了不定方程x3 8=35y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(3±1);x3-8=35y2仅有整数解(x,y)=(2,0).     

关于Diophantine方程x~3±1=2py~2

设p是奇素数,证明了当p=6(4s+1)+1,其中s是非负整数时,方程x3-1=2py2仅有整数解(x,y)=(1,0);当p=6(4s+2)+1,其中s是非负整数时,方程x3+1=2py2仅有整数解(x,y)=(-1,0).     

关于不定方程x^3＋1=266y^2和x^3＋8=133y^2

利用同余式、递归数列的方法证明了不定方程x3+1=266y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),x3+8=133y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(5,±1).     

关于不定方程x3+64=21y2

利用递归数列、同余式和平方剩余几种初等方法,证明了不定方程x3 64=21y2仅有整数解(x,y)=(-4,0),(5,±3);给出了x3 64=21y2的全部整数解.     

关于不定方程x~3±27=37y~2的整数解

主要讨论了不定方程x~3±27=37y~2的整数解。证明了不定方程x3+27=37y2仅有整数解(x,y)=(-3,0);不定方程x3-27=37y2仅有整数解(x,y)=(3,0),(30,±27),(4,±1)。     

关于不定方程x^3＋64=21y^2

利用递归数列、同余式和平方剩余几种初等方法,证明了不定方程x^3＋64=21y^2仅有整数解（x,y）=（-4,0）,（5,±3）;给出了x^3＋64=21y^2的全部整数解．     

关于不定方程x3±8=35y2

利用同余武、递归序列的方法证明了不定方程x~3 8=35y~2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(3,±1);x~3-8= 35y~2仅有整数解(x,y)=(2,0)。     

关于丢番图方程｜3x-2y｜=p解的非唯一性问题

设p为素数.2005年周科证明了p=41,43,53,59,67,71时,方程|3x-2y|=p无非负整数解.2007年周科证明了p=83,87,97时,方程|3x-2y|=p无非负整数解.该文证明当p=5,7,13,23时,方程有超过一组的整数解,并给出所有整数解.     

不定方程x3-8=13y2的整数解

研究了不定方程x3-8=13y2的整数解问题.利用奇偶分析、同余性质、Pell方程解的性质以及递归序列等初等方法,得到了不定方程x3-8=13y2的所有整数解.从而丰富了形如x3-8=Dy2(其中D为素数,且D≡1(mod 6))的不定方程整数解的研究内容.