关于商高数2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1

已知①商高数2％+l,2n(n+1),2n(n+1)+l在％季0,8(mOd 12)或2n+1含有质因子力季I(rood 8)时;疹 (1)(2祀+1)。+(2竹(铊+1))”=(2犯(记+1)+1)。只有鬈一∥=2=2这一组正整数解. 我们将证明下面的 定理. 除开 + —,.^.,、,(2) n-----O,24,80,104,120,144,200,224(rood 240),(3)而且2彻+】只含有质因子矽三l(rood 16),铊兰48,96,128,176(rood 240), ‘而且2即+1只含有质因子P--1(rood 32)这两种情形外, 。‘√㈣‘_～^-,v_～,、(4) ,(1)式只有茹=Y—z一2这一组正整数解。 ,…帅●……-…J--,州…,’,州.。j蹙孳{譬l‘÷ 。” . ·10、。 +0=¨ …     

关于商高数2n+1,2n(n+1),2n(n+1)+1(Ⅱ)

Jesmanowicz曾经猜测方程(a~2-b~2)~x+2ab~y=(a~2+b~2)~z的正整数解仅有x=y=z=2.对于这一猜测,其中最引人注意的是a=n+1,b=n的情形,即方程     

关于数论函数不等式δ(ψ(1)+ψ(2)+…+ψ(n))≥n(n+1)

对于正整数k,设δ(k)和ψ(k)分别是k的约数和函数和Dedekind函数,其中前者与完全数问题有关[1],后者则是另一类常用的数论函数———Euler函数的对偶形式[2].对于正整数n,设nf(n)=∑k=1ψ(k)(1)对此,Bencze[3]曾经提出:当n≥2时,必有(δf(n))≥n(n 1)(2)这是一个迄今尚未解决的     

关于丢番都方程(2n+1)~x+(2n(n+1))~v=(2n(n+1)+1)~2的一点注记

Jesmanowicz提出了一个这样的猜测:对于正整数x,y,z,a,b,c.如果有 那末,并且证明了,     

关于方程(n+3)=(n)+2

方程(A)(n+k)=(n)+(k)其中(n)为Eulerb函数,在k3(mod6)时,已经知道有解存在,在k3(mod6)时,只证明了对于部分的k,方程(A)有解;而在k=3时,方程(A)是否有解,这是一个尚未解决的问题。此时,方(A)化为     

关于同余式φ(n)σ(n)+1≡0(modn~2)

1974年M. V. Subbaro在[1]中讨论了同余式φ(n)σ_0(n)+2三0(modn).(1)他指出当n为素数时是(1)的解,但对成为(1)的解的合数n,只给出了一些条件。本文将讨论下面两个同余式:     

关于(n~k+n~(k-1)+…+n+1)~(1/k)的十分位数

对如何确定x(n,k),以及当n充分大时,x(n,k)等于1/k的十分位数的问题进行了分析,通过假设k是大于1的正整数,n为任何正整数,求出了(nk+nk-1+…+n+1)1/k的十分位数.     

不等式(x~n+y~n)~(1/n)>(x~(n+1)+y~(n+1))~(1/(n+1))(x≥1,y≥1,n≥1)的证明

考察函数y=(ax+bx)1/x,x为变量,a、b为常量(a≥1,b≥1,x≥1)两边取自然对数得:lny=ln(ax+bx)/x,对y求x的导数得:     

关于Diophantine方程nx+(n+1)=(n+2)z

证明了方程n^x＋（n＋1）=（n＋2）^z没有正整数解（x,z）,其中n是大于1的正整数．     

关于色等价类｛｛W_(n+1),Q_k,W_(m+1)｝,2｛K_2｝｝

设ｍ ,ｎ 是偶数（ｍ ,ｎ≥４）,Ｗｎ＋ １和Ｗｍ ＋ １是顶点数分别为ｎ＋ １ 和ｍ ＋ １ 的轮,Ｑｋ 是顶点数为ｋ＋ ２ 的一棵２树⒀证明了,如果Ｇ与｛｛Ｗｎ＋ １,Ｑｋ,Ｗｍ ＋ １｝,２｛Ｋ２｝｝色等价,则Ｇ含两个轮Ｃ１＋ ｖ１ 和Ｃ２＋ ｖ２⒀并且当δ（Ｇ）≥３,（Ｃ１＋ ｖ１）∩（Ｃ２＋ ｖ２）＝ 时,Ｇ∈｛｛Ｗｎ＋ １,Ｑｋ,Ｗｍ ＋ １｝,２｛Ｋ２｝｝     

关于指数Diophantine方程(n+1)x+(n+1)y=nz

设n是正整数，本文运用初等方法证明了：方程（n＋1）^x＋（n＋1）^y=n^z没有适合x〉1的正整数解（x，y，x）．     

不动点集为RP_1(2n+1)∪RP_2(2n+1)∪RP(2m)的对合

设(Mr,T)是一个具有对合T的r(r2m+2n)维光滑闭流形,它的不动点集为F.给出了F=RP1(2n+1)∪RP2(2n+1)∪RP(2m)(m≥1)时对合的所有协边类,其中RP表示实射影空间.     

GI(1)+GI(2)+…+GI(N)/G/1排队模型

文献[1]引入了一类具有广泛应用前景的随机过程－－Markov骨架过程。本文借助这类随机过程的方法研究了GI^(1) GI^(2) … GI^(N)/G/1排队模型，求出了此模型到达过程等待时间及队长的概率分布。     

关于指数Diophantine方程nx+(n+2)y=(n+1)z

设n是正整数.运用Gel’fond-Baker方法证明了当n>3·10¹⁵时,方程n^x+(n+2)^y=(n+1)^z无正整数解(x,y,z).     

关于丢番图方程(x+1)2+(x+2)2+…+(x+n)2=y2

利用数论方法得到了丢番图(x 1)2 (x 2)2 … (x n)2=y2有正整数解的必要充分条件,证明了当n=25时,无正整数解,当n=49时,仅有正整数解(x,y)=(24,357),当n=121时仅有正整数解(x,y)=(243,3366),同时证明了n=2,11时必有无穷多组正整数解,并给出了无穷多解的通解公式.     

关于方程x~n+x~(n-1)+…+x+1=y~k

方程(1)x~n+x~(n-1)+…+x+1=y~k.Greone证明了方程(1)在n=3,k=2时,除开x=7,y=±20外,无其他|x|>1的整数解。E.Landau证明了n≡2(mod3),(n+1)/3的所有奇素因子皆6h-1型时,     

形如1/2(a2n+1)的孤立数

设a是正整数,13≤a≤31,证明了1/2(a2n+1)(2(|)a)都是孤立数,这里n是任意的正整数.     

关于(nk+nk-1+…+n+1)1/k的十分位数

对如何确定x(n,k),以及当n充分大时,x(n,k)等于1/k的十分位数的问题进行了分析,通过假设k是大于1的正整数,n为任何正整数,求出了(nk nk-1 … n 1)1/k的十分位数.     

关于(3n+1)一问题的起因

初等数论与初等图论之间,有着许多联系。其中有一种联系是:使数论函数f(n)与向图相结合。取整数n=1,2,3,…作为图的顶点,从n到f(n)画一个箭头(或者在n下面写上f(n)。或者与箭头一道写在下面)。1928年—1933年。在我学习期间。由于受到EdmundLandau,Oscar Perron,Issai schur a.o.讲课的启发,使得自己在数论函数、图论及其它课题方面产生了兴趣。画了关于数论函数的图,作了如下分类:     

齿轮图G_(2n+1)的协调性

所谓齿轮图 G_(2n+1)是将轮图 W_(n+1)轮缘的每一条边上再加上一个点所得到的图,在本文中我们证明了齿轮图G_2n+1是协调图。