CataIan问题特例及其他

设N与P分别表示正态数集与正实数集.在本文内我们得到(1)x~y=y~x在N内的非平凡解(x≠y)只有x=4,y=2与x=2,y=4.(2)x~y=y~x在P内的一切非平凡解只能是x=t~(t/(t-1)),y=y~(1/(t-1)),t∈p,t≠1.(3)在p内不等式x~y>y~x的一切解的公式.(4)1~(?)若x>y>1,则x~y-y~x=1在N内仅有解x=3,y=2.2~(?)x~y-(x+1)~z=1在N内只有解x=2,y=2,z=1.3~(?)(x-1)~y-(x+1)~z=1在N内没有解等等.     

关于Diophantine方程(xm+1)/(x+1)=yn+1

文章证明了:方程(xm+1)/(x+1)=yn+1没有正整数解(x,y,m,n)适合x>1,y>1,m>2,n>2。     

一个函数的单调性分析

提出并证明了两个不等式(引理1和引理2),进而论证了“当λ≥1/2时,函数f(x)=(1+1/x)~(x+λ),(x>0)是单调递减函数”的结论。     

对数函数性质二的教学体会

<正>教材P95页(中等专业学校教材,工科专业通用) 对数函数的性质二有着广泛的应用 性质二的内容是: 对于底数a>1,当x>1时,loga~x>0 即:y>0当x<1时,loga~x<0 即:y<0 对于底数a<1,当x>1时,loga~x<0 即:y<0当x<1时,loga~x>0 即:y>0 学生的思维容易限制在:认为性质二只是a与1及x与1的大小关系已知时,用来确定loga~x(即y)与0的大小关系而已。 实行上,性质二告诉我们:y=loga~x(a>0,a≠1,x>0)的三个因素a、x、y与1、0之间存在相应的大小关系,只要知道其中任意两个关系即可确定第三个。     

关于方程multiply from i=1 to k(x_i~(x_i)=z~z)

P.Erdos曾经猜测方程(1)x~xy~y=z~z无x>1,y>1,z>1的整数解。柯召在1940年证明了这一猜测仅当(x,y)=1时成立。在(X,y)>1时,他给出了(1)的无穷多个解:     

一类高阶离散系统的全局渐近稳定性

研究了二元高阶离散系统xn=A+yn-q/xn-p,yn=A+xn-p/yn-q的振荡性、有界性及收敛性,由于二元系统的任一正解(xn,yn)∈S={(x,y)｜(x-A)(y-A)=1,x>0,y>0},由此得出了两个一元高阶离散系统:xn=A+A/xn-p+1yn-q(yn-p-A)在平衡点的全局渐xn-p(xn-q-A),yn=A+A/yn-q+1近稳定性.     

关于Ljunggren方程的一点注记

证明了方程(xm-1)/(x-1)=yn(x>1,y>1,m>2,n>1)没有适合x=zn+1的整数解(x,y,m,n),其中z是正整数.     

一个函数单调性的简证及引申

文[1]给出了"当λ≥1/2时,函数f(x)=(1+1/x)~(x+λ)(x>0)单调递减"这一结论及其证明,文章给出其单调性的简证及推广。     

再论一个分析不等式的推广及应用

利用分析方法建立了一个比已有结果更广泛的不等式 ;设k ,n∈N ,μ >0 ,i=0 ,1,… ,n ,且 ∑ni=0xi =1.则当n≥k+ μ- 2时有Ek(1x0- μ ,1x1- μ ,… ,1xn- μ)≥n+ 1k (n - μ+ 1) k,当x0 =… =xn =1n + 1时等式成立 并给出了几则有趣的应用 .     

具有密度制约的一类微分生态系统的定性分析

本文研究捕食者——食饵种群相互作用中的微分生态系统其中参数α、b、γ_1、γ_2、d、F、λ人均为正数.x、y分别表示食饵种群与捕食者种群的密度,F示表食饵种群的存放率.p(x、y)与Q(x、y)均定义在区域R={(x,y)|x>0,y>0}或R~*={(x、y)|x≥0,y≥0}上.1 无闭轨线存在的充分条件水平等倾线Q(x,y)=0,即x=x~*=(d/r_2)~(1/λ),y=0(x轴).铅直等倾线P(x,y)=0,即y=1/(γ_1x~λ)(αx-bx~2+F),它有两个极值点     

关于Hadamard-like不等式

给出了由林明华提出的Hadamard-like不等式问题的部分证明,用直接的方法证明了该不等式当 n＝2, 3 时不成立,当 n＝4 时成立以及对于特殊的三对角矩阵,该不等式当 n≥3 时恒成立.最后,文中给出了一种新的Hadamard-like不等式,此种不等式对于任意的Hermitian矩阵当 n≥2 成立.     

关于Hadamard-like不等式（英文）

给出了由林明华提出的Hadamard-like不等式问题的部分证明,用直接的方法证明了该不等式当n=2,3时不成立,当n=4时成立以及对于特殊的三对角矩阵,该不等式当n≥3时恒成立.最后,文中给出了一种新的Hadamard-like不等式,此种不等式对于任意的Hermitian矩阵当n≥2成立.     

关于Catalan问题

E.Catalan在1844年猜测两个连续数除8,9外不能同时都是自然数的大于1次的乘幂。设p,q为质数,这一猜测是说(1)x~p=y~q+1 x>1,y>1除x=3,y=2,p=2,q=3外,没有其他整数解。己知(1)除上述一解外,在p=q;p≤3;q≤3时无整数解。故仅需讨论p>q≥5或q>p≥5的情形。在本文中,我们将证明此时有:     

关于Diophantine方程x3+1=Dyn

设D是不能被形如6k+1的素数整除的正整数,文章证明了:方程X3+1=Dyn仅当D=20时 有正整数解(x,y,n)=(19,7,3)适合x>1以及n>2。     

琴生(Jensen)不等式的应用

通过对凸函数的描述 ,凸函数与不等式的关系 ,得到了琴生 (Jensen)不等式 .利用凸函数或微积分中二阶导数符号可以直接给出一连串不等式 .如由 (0 ,π)内 (sinx )″<0得到在 ΔABC中有 sin A +sin B +sin C≤3 32 ;0 ,π2 内 (tgx )″>0得到在锐角 ΔABC中有 tg A +tg B +tg C≥ 3 3 .从而说明凸函数或函数在某区间上二阶导数符号不变时应用琴生不等式可得到一系列不等式 ,为数学竞赛和初等数学构造一些不等式问题提供了理论依据 .     

一致凸Banach空间Ishikawa迭代序列收敛性

利用一致凸Banach空间中凸性模的大小与其特征不等式的等价关系 ,即当 p≥ 2时 ,Banach空间X是一致凸的 ,并且 ,当且仅当X中的范数满足不等式‖ (1-t)x +ty‖ p+cw(t)‖x - y‖ p≤ (1-t)‖x‖ p+t‖y‖ p 时 ,其凸性模δX(ε)≥cεp(0 <ε <2 ,0 相似文献   

欧拉不等式的一个分隔链

欧拉曾提出如下著名不等式R≥2r其中 R、r 分别为三角形的外接圆半径和内切圆半径,等号当且仅当三角形等过时成立(下同).本文给出它的一个分隔链.命题1 在△ABC 中(2(ab+bc+ca)-(a~2+b~2+c~2))/(3~(1/2)(a+b+c))≥2 <1>     

关于高次幂和的一个注记

高次幂和是指不定方程x~n=sum from i=1 to k(x_i~n),k>1,x>0,x>0,i=1,…,k, (1)当n=k=2时,即为商高数,例如5~2=4~2+3~2.n=3时,有6~3=5~3+4~3+3~3,这是Euler给出的.n=4,5,6时,分别有解     

关于数列｛（1＋1／n）^n｝收敛性的证明

为了完成这个证明,我们先建立一个不等式。 设x>0,m是自然数,则 f(x,m)~xm一mx+m一1)0(1) 证明(i)当x=1或m=1时,(1)式等号成立。 (11)假定x护1,m并l f(x,m)一xm一mx+m一1 =xm一l一mx十m =(x一1)(xm一,+xm一2十…+1)一m(x一l) 一(x一1)(xm一‘十xm一“十…十1一m) 显然,无论是O1,均有f(x,m)>0 综合(i)、(11)可知,(1)式成立。下面我们来证数列即要证 1、。Ll十,,~)‘- Il严格增 1、。二1_气1」一--下.万,‘”J‘> fi州卜1 1、,火1,卜—)’(2)(2)式可变形为(哗)·+1>碑土2)· n州卜In(3)(3)式可变形为产nZ+Zn、。、:、七丁.一下…     

围长大于n+1的图的边数

对任正数C及整数n≥2,是否可以找到充分大的整数v_0=v_0(c,n),使得当v≥v_0时,不含圈C_3,C_4,…,C_(n+1)的v顶图的最大边数ex(v,C_3,C_4,…,C_(n+1))>Cv? 本文证明了其中2≤n≤v—1,从而给予问题T以肯定之回答。