关于方程x~2-1=y~n

1.设n是一个大于1的整数,显然方程(1)x~2-1=y~n有平凡解x=±1,y=0,而且在n为奇数时,还存在另一平凡解x=0,y=-1。如果有整数x≠0,y≠0能够适合方程(1),我们把他叫做(1)的非平凡解。已知在n=2时,方程(1)没有非平凡解;在n=3时只有一组非平凡解;x=3.y=y;在n=5,时,也没有非平凡解。一般的猜测是方程(1)的非平凡解只有上面所说的这一组。如果我们能够证明对于任何大于5的质数,(1)式都没有非平凡解存在,这个猜测就是正确的,在本文中,我们将用初等方法证明:     

一类不定方程解存在的充要条件及其应用

探究了不定方程x2+5y2=n(n∈Z)存在整数解的充分必要条件.运用Euler判别法与Gauss二次互反律等数论的基础知识,先从n为素数p的情况着手讨论,再拓展到n为一般正整数的情况,给出了2个主要结论:不定方程x2+5y2=p(p是素数)存在整数解的充要条件与不定方程x2+5y2=n(n∈Z)存在整数解的充要条件,并利用这2个结果证明了整环Z[槡-5]中不可约元的结构定理.     

关于不定方程x3+64=21y2

利用递归数列、同余式和平方剩余几种初等方法,证明了不定方程x3 64=21y2仅有整数解(x,y)=(-4,0),(5,±3);给出了x3 64=21y2的全部整数解.     

关于不定方程组7x~2－5y~2＝2，24y~2－7z~2＝17正整数解的上界

运用Baker法得到不定方程组7x~2-5y~2=2,24y~2-7z~2=17正整数解的上界,其中y的上界为12~(18)~(393)。     

关于不定方程x~3±27=37y~2的整数解

主要讨论了不定方程x~3±27=37y~2的整数解。证明了不定方程x3+27=37y2仅有整数解(x,y)=(-3,0);不定方程x3-27=37y2仅有整数解(x,y)=(3,0),(30,±27),(4,±1)。     

关于方程x~2-1=y~5

我们已知方程x~2-1=y~3在xy≠0时只有一组整数解x=3,y=2.在本文中,我们将证明方程x~2-1=y~5设有xy≠0的整数解。     

关于不定方程x~2-6y~2=1与y~2-Dz~2=4的公解

利用递归序列、Pell方程的解的性质、Maple小程序等,证明了D=2~n(n∈Z+)时,不定方程x~2-6y~2=1与y~2-Dz~2=4:(i)n=1时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±140),(±5,±2,0);(ii)n=3时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±70),(±5,±2,0);(iii)n=5时,有整数解(x,y,z)=(±485,±198,±35),(±5,±2,0);(iv)n≠1,3,5时,只有平凡解(x,y,z)=(±5,±2,0).     

关于不定方程x^3＋1=266y^2和x^3＋8=133y^2

利用同余式、递归数列的方法证明了不定方程x3+1=266y2仅有整数解(x,y)=(-1,0),x3+8=133y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(5,±1).     

不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=37y(y+1)(y+2)(y+3)的整数解的研究

用初等方法,证明了不定方程x(x+1)(x+2)(x+3)=37y(y+1)(y+2)(y+3)无正整数解,并得到了其全部整数解.同时证明了不定方程(x2+3x+1)2-37y2=-36仅有整数解(x,±y)=(0,1),(-1,1),(-3,1),(-2,1).     

关于不定方程 x3±8＝19 y2

通过运用Pell方程、递归序列、同余式、平方剩余和雅克比符号等初等数论的方法,证明了:不定方程x3+8=19y2仅有整数解(x,y)=(-2,0),(62,±112);不定方程x3-8=19y2仅有整数解(x,y)=(2,0),(3,±1),(14,±12).证明过程中,纠正了不定方程x3-1=38y2的整数解只有(x,y)=(1,0)的结论,给出不定方程x3-1=38y2的全部整数解仅有(x,y)=(1,0),(7,±3).     

关于不定方程组6x2-4y2＝2，20y2-6z2＝14

运用Baker方法得到了不定方程组6x2-4y2=2,20y2-6z2=14的正整数解的上界。其中y的上界为1018382。     

关于不定方程χ~3+1=201y~2

利用Pell方程、递归数列的方法证明了不定方程χ~3+1=201y~2的整数解只有(-1,0),(440,651),(440,-651).     

关于不定方程x3-1=19y2

利用两种初等的方法,即对方程取某个正整数M>1为模来制造矛盾的同余法和递归序列法,证明了不定方程x3 -1=19y2 仅有整数解(x,y)=(1,0),从而进一步的证明了方程x2 -19y2 =-13无整数解;方程x2 -3r2 =-3仅有整数解(1.0).     

关于不定方程x~3-27=7y~2

利用递归数列、同余式和平方剩余证明不定方程x~3-27=7y~2仅有整数解(x,y)= (3,0)．     

三维有限射影几何空间上二阶曲面x_1x_2-x_3~2-x_4~2=0的元素数目

首先研究了有限域GF(p~r)上不定方程x~2+y~2=0解的情况:(1)当p=2时,有p~r—1组非零解;(2)当4|p~r—1时,有2(p~r—1)组非零解;(3)当户为奇数且4p~r—1时,只有零解。在此基础上给出了三维有限射影空间S_(3,q)(q=p~r)上二阶曲面x_1x_2—x_3~2—x_4~2=0点的个数:(1)p=2时,二阶曲面由q~2+2q+1个点组成;(2)当4|q—1时,二阶曲面由q~2+2q+1个点组成;(3)当q为奇数且4q—1时,二阶曲面由q~2+1个点组成。     

关于联立Pell方程组x2-4D1y2=1和y2-D2z2=1

设D1是正整数。本文证明了如果4D1=r^2-1,其中r是正整数,则至多有1个奇D2数D2可使联立Pell方程组x^2-4D1y^2=1和y^2-D^2z^2=1有正整数解。     

几个不定方程在Q(√-3)中的解

应用Femat下降法,证明了不定方程x~4-y~4=z~2与x~4+4y~4=~z2在Q(√-3)没有非平凡解,它表明Fermat方程当n=4时在此域中仍然没有非平凡解.     

关于三维波动方程(~2u/t~2)=a~2((~2u/x~2)+(~2u/y~2)+(~2u/z~2))

本文利用球面平均法u(r,t)=(1/4πr2)∫∫ SrM0u(M,t)ds=(1/4π)∫∫SrM0u(M,t)dΩ将三维波动方程(~2u/t~2)=a~2((~2u/x~2)+(~2u/y~2)+(~2u/z~2))化为关于平均值-u(r,t)的一维方程(2/t2)[ru-(r,t]=a2(2/r2)[ru-(r,t]     

一类三次系统两个中心共存的条件

对于一类平面三次系统dx/dt=y a1x^2 (a2 2b1)xy (a3-a1)y^2 xf(x,y),dy/dt=-x b1x^2 (b2-2a1)xy-b1y^2 yf(x,y),其中f(x,y)=a1x^2 a5xy (a6-a1)y^2.N.G.Lloyd,C.J.Christopher等研究了系统(1)的原点是中心的充要条件．除原点O(0，0)之外，如果系统(1)还存在另一奇点，它是中心或焦点型的(即在奇点处一次近似系统为中心)，本文讨论系统(1)的两个中心共存的条件．