无穷小的认识过程初探

微积分是高等数学的基本组成部分,它不仅在高等数学中占有重要地位,而且也是现代化建设和高科技发展不可缺少的有效工具。而无穷小是微积分理论的最基本概念之一,在微积分理论体系中,无穷小是一个必须要弄清楚的概念。然而,人们对无穷小的认识却经历了一个漫长的过程。直到十八世纪,仍然没有较完善的解释无穷小概念。无穷小是什么？无穷小究竟究竟能不能是零？我们怎样确切地描述它？这些问题引起了数学界乃至哲学界的争论长达一个半世纪。无穷小问题至关重要,若其不能解决,极限概念就无法建立,微积分理论就不会完善。到十九世纪二十年代,无穷小概念才有了比较合理的解释。为了更好地学习微积分理论,掌握现代化科学文化知识,我们有必要了解无穷小的历史。     

微积分教学中符号化思想的分析

符号是数学思维的载体,符号化思想是重要的数学思想方法.研究微积分教学中的符号化思想,揭示其内在规律性,是微积分教学研究的需要,也有方法论意义.研究发现,要剖析微积分教学中的符号化思想,应该从其语义、结构和辩证法等三个方面展开.     

修正微分定义统一数学分析

第二次数学危机爆发至今一直都存在不同的意见,无穷小分析这套微积分工具对问题的解决颇具启发性,但其理论基础备受质疑;而现今极限理论框架下的微积分失去了无穷小分析的简明直观性。该文修正了极限理论中微分和无穷小量的定义,根据“Bolzano连续性赋值”建立微商引理,统一了无穷小分析与极限理论;举例推证了部分微分学公式,揭示了无穷小分析和极限理论之间内在的蕴含关系,指出了L’Hospital法则、等价无穷小代换本质上就是求出函数在0/0处的值,和Euler的观点吻合。同时用纯粹数学描述Marx的数学手稿,证明其“微分为特定的0”的观点的正确性,表明可以从本质上彻底解决第二次数学危机。     

微积分在证明不等式中的应用

不等式是数学中的一个重要科目,它在数学的许多分支中有广泛应用。证明不等式是这个科目中较难且重要的一个方面,本文介绍用微积分证明不等式的方法。为行文和阅读方便,对主要引用的微积分知识都作了简明的摘录。     

无穷小量在微积分中的作用

讨论了无穷小量与微积分中几个重要概念的联系和无穷小在极限运算中的简单应用．     

微积分中蕴涵的哲学意义

微积分的诞生是数学发展的三个重要里程碑之一。微积分首创权的争夺体现了一个科学哲学问题。微积分中体现了对立统一的规律。微积分的极限概念有助于解决芝诺悖论。微积分使哲学找到了新的用以描述和论证世界的工具,同时也使哲学面临更多新的问题。     

微积分教学的几点思考

本文讨论大学本科微积分教学中的需要特别注意的几个问题,即重要极限、利用无穷小代换求极限和定积分概念等。     

教学设计:导数的概念

一、基本情况分析及理论依据1.教学内容函数的导数表示函数在一点处(瞬时)随自变量变化快慢的程度。利用它,可以直接研究函数及其图象在一点处的变化性质(例如瞬时速度,切线斜率等)。导数是微积分的一个重要的组成部分,而微积分是数学的重要分支。一方面,不但数学的许多分支以及物理、化学、计算机、机械、建筑等领域将微积分视为基本数学工具。而且,在社会、经济等领域中也得到越来越广泛的应用。另一方面,微积分所反映的数学思想也是日常生活与工作中认识问题、研究问题所难以或缺的。2.学生情况导数概念对于学生来说比较抽象,其定义方法…     

微积分合理假设的解析

解析了在用微积分解决实际问题过程中合理假设的含义,提出对同一待求量的合理假设不止一个,分析了一个错误假设的原因.     

极限思想的发展与微积分的建立

极限思想的发展与微积分的建立紧密相关．在微积分的创立过程中，牛顿、莱布尼兹以无穷思想为据，成功地运用无穷小、无限过程进行运算，他们的努力和成就为极限思想的进一步发展和完善奠定了坚实的基础．而多方面的怀疑和批评，促使数学家们掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动，进而使极限理论得到了完善．     

李善兰微积分思想研究

基于李善兰传统数学著作和成果的研究,发现李善兰也在微积分理论方面,在数学思想上与近代西方微积分理论是保持一致的。李善兰得到了一些关于积分的数学表达式,这些数学公式与近代西方微积分中的公式是一致的,但是没有形成统一的理论。虽然如此,但是这一理论对晚清数学的应用和发展都起到了重要的作用,对近代西方微积分理论传入我国并且得以接受和传播都起了一定的作用。     

自组织理论下微积分课程教学研究

微积分课程教学是一个复杂的系统，自组织理论为微积分课程教学实践提供了新的思路.首先探究微积分课程教学系统的开放性、远离平衡态、非线性作用和随机涨落等自组织特征；其次基于自组织理论，给出微积分课程教学案例设计，来提高学生的数学思维能力、合作探究能力；最后基于自组织理论，构建微积分课程教学评价体系.     

日常生活中的概率与统计健康、选举、赌博和战争

与19世纪相比，20世纪后半叶到21世纪，我们生活在一个更具有不确定性的时代。数学的基础教育也反映出这种现象。过去读完高中数学自然去读微积分，现在则是概率论及统计数学远为重要，也更有用。各种程度的概率论及统计学的书的数量远超过微积分和数学分析。     

试析如何做好高校的微积分教学工作

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支,它是数学的一个基础学科。结合工作实际,重点阐述做好微积分的教学与改革工作。     

独立学院微积分课堂教学改革的探讨

微积分是独立学院经管类学生必修的一门重要基础课,在微积分课堂教学中,学生数学基础弱,兴趣不高是面临的难题之一。文章就独立学院微积分的课堂教学的改革从实施教学民主平等、使用＂启发式＂教学法、使用＂讲练结合＂教学法、在教学过程中渗透数学建模思想等方面,就培养大学生数学素质进行探讨。     

微积分--数学发展的里程碑

本文论述了天才科学家莱布尼茨是怎样创立微积分的。微积分的创立，大大促进了数学甚至自然科学的发展，从而成为数学发展的一个里程碑。     

微积分课程教学中培养学生数学审美能力的探讨

微积分是大学课程里一门重要的必修课程，本文从微积分中蕴含的美学思想出发，对如何在微积分教学中培养学生的数学审美素养做了一些探讨。     

高中微积分教学中融入数学文化的初步研究

微积分作为变量数学中的最重要的组成部分,它的创立在数学进化史上具有里程碑的意义,微积分蕴含着哪些数学文化以及怎样在高中数学微积分教学中渗透数学文化,使学生能够很好地领悟到微积分的思想及其价值,是本文研究的主要课题.     

《数学手稿》讲座(初稿) 第四讲 导函数(下)

第三章马克思关于导函数的论述的重要意义《手稿》的写作年代距现在已经一个世纪了。在这一个世纪中,数学特别是数学分析又有了飞速的发展。如果我们从微积分体系的演变过程来看,那么从微积分的诞生开始直到现在大致可以分成为四个阶段。一、十七世纪后期。微积分作为一门科学在牛顿和莱布尼茨的手上大体宣告完成。这个时期,莱布尼茨的无穷小方法占据统治地位,最早的微积分讲义和公开出版的教科书就是     

极限与无穷小辨析

极限与无穷小是微积分中的基本概念,是整个微积分学的理论基础.极限是运动与静止的统一;极限可以被看作是函数变换器;极限是连接有限与无限的桥梁.极限与无穷小有着密切的关系,借助于极限,可以深刻地理解无穷小的本质.反过来,无穷小思想也是对极限思想的补充.深刻地理解极限和无穷小的实质,对学习微积分是十分必要的.