刚性Volterra泛函微分方程算法理论及高效算法

首先介绍刚性Volterra泛函微分方程的稳定性理论及其数值方法的B理论。这项工作为刚性延迟微分方程、刚性积分微分方程以及其它各种类型的刚性泛函微分方程的研究提供了统一的理论基础。其次以该理论为指针推荐高效算法，其中包括向后Euler方法、二阶BDF方法、并行多值混合方法及实特征值多步Runge—Kutta法。     

刚性延迟微分方程数值仿真的两步连续Rosenbrock方法

在科学、工程领域的研究和应用中,常常会遇到刚性延迟微分方程系统,对它们进行数值仿真时,通常需要稳定性较好计算复杂性小的方法。为了数值仿真刚性延迟微分方程系统,构造了一类用于求解刚性延迟微分方程的两步连续Rosenbrock方法,讨论了方法的构造,方法的阶条件,证明了方法的收敛性,分析了方法的稳定性。这种方法具有GP-稳定性,数值试验表明方法是有效的。     

分段连续型泛函多延迟微分方程θ-方法数值稳定性

针对自变量分段连续型泛函多延迟微分方程给出了相对于任意参数t,(0,)t ィ馕鼋饨ソ榷ǖ奶跫2⑻致哿擞τ孟咝詑-方法和单腿q-方法在该条件下渐近稳定的充分必要条件和q-方法的收敛阶。     

奇异摄动滞时微分方程的一致收敛数值方法

提出了求解线性奇异摄动滞时微分方程基于指数拟合技术的一致收敛和最佳一致收敛的数值方法，并证明了方法的一致收敛性。利用线性化的思想，并结合Newton-Raphson迭代，构造了求解非线性奇异摄动滞时微分方程相应的一致收敛的算法．数值例子验证上述理论结论的正确性。     

奇异延迟微分方程数值仿真的两步连续Runge-Kutta方法

提出在当前的积分步内计算级值时，放松延迟对计算的影响的思想，构造了一类奇异延迟微分方程数值仿真的两步连续Runge-Kutta方法(TSCRK)，讨论了方法的构造，方法阶条件，证明了方法的收敛性，分析了方法的稳定性。这类方法具有优良的稳定性和较高的阶级，并保持了显式的求解过程。数值试验表明方法是有效的。     

求解延迟微分方程的ROSENBROCK方法的渐近稳定性

数值求解延迟微分方程的Rumge-kutta方法和θ－方法已经有了较深入的研究。本文适当改造求解微分方程的Rosenbrock方法，构造了一类求解延迟微分方程的Rosenbrock方法，证明了这类方法是GP－稳定的，而且这类方法的GP－稳定性与求解常微分方程的Rosenbrock方法的A－稳定性等价，数值试验表明这类方法是有效的。     

RadauII方法对比例迟微分方程的渐近稳定性

研究RadauIIa方法用于求解比例延迟微分方程时的渐近稳定性，近年来比例延迟微分方程数值解的性质已被数位数学家所研究，他们使用的步长都是定步长，一般情况下将推导出较难分析的递推关系，在本文中出于理论和计算两方面的原因，我们研究强制变步长计算方案，这种解法得到不变阶差分方程。我们证明了RaudauIIA方法是渐近稳定的。     

非线性随机延迟微分方程Euler-Maruyama方法的收敛性

首先利用附近已有节点上的值通过插值对延迟项进行数值逼近,这是一种崭新的尝试;然后针对较一般情形下的一类非线性随机延迟微分方程初值问题,得到了带线性插值的Euler-Maruyama方法在均方意义下是收敛的理论结果,它部分推广了已有文献中的相关结论。     

非线性中立型延迟微分方程Runge-Kutta方法的稳定性

对Rα,β类非线性中立型延迟微分方程给出了稳定及渐近稳定的充分条件,对于Runge-Kutta方法应用于上述问题得到的数值方法，获得了其稳定及渐近稳定的条件。     

一类刚性大系统实时数值仿真的并行组合方法

本文提出了一类分解的刚性大系统数值仿真的实时并行组合方法。利用系统并行化与方法并行化相结合,分别应用并行Ｒｏｓｅｎｂｒｏｃｋ方法和并行ＲＫ方法并行计算机上并行求解刚性和非刚性子系统。讨论了该并行组合方法的构造、收敛性、数值稳定性,并进行了数值仿真试验。     

改进的向后微分公式

采用增加方法步数的办法构造了两类求解刚性微分方程的改进的向后微分公式IBDF1及IBDF2。理论分析和数值试验表明,这两类新方法在较大地改善了BDF的稳定性的同时保持了BDF原有的主要优点。     

L-稳定块格式及其在隐式微分方程中的实现

以指数函数的Padé逼近作为块格式的稳定函数,使用精度条件的理论--精度p的格式能精确求解解为不超过p次多项式的微分方程,以解的Taylor展式为基础,构造出L-稳定的块格式.并针对隐式微分方程进行实现,与常用的几种求解器进行了比较,结果表明构造的格式及其实现在效率上是优秀的.     

一种基于量子化状态系统的刚性ODE求解方法

量子化状态系统(Quantized State System,QSS)在求解一般常微分方程(Ordinary Differential Equation,ODE)系统时,比传统基于时间离散的积分方法更具优势,但QSS方法不适合求解刚性ODE系统,为此提出一种基于量子化状态系统的步进校正优化算法(Step-correction Optimization Algorithm Based on QSS,SCOA based-on QSS),它结合QSS方法及隐式算法中梯形积分法的思想,以有效提高刚性ODE系统的求解精度和效率。通过对3个典型刚性ODE算例的仿真求解,结果表明,SCOA based-on QSS算法总体上比其他算法更具优势,同时在适当减小量子大小时能显著提高仿真精度。     

非线性随机延迟微分方程MILSTEIN方法的均方稳定性

在一维情形下,研究了一类非线性随机延迟微分方程初值问题,证明了如果问题本身满足零解是均方渐近稳定的充分条件,那么当漂移项满足一定的限制条件时,Milstein方法是MS-稳定的与带线性插值的Milstein方法是GMS-稳定的理论结果.