组合和∑／k≡r（mod m）{nk}及其数论应用（Ⅲ）

设ｐ为大于５的素数，本文利用组合和给出Ｆｐ－（５／ｐ）／ｐ，ｕｐ－（２／ｐ）／ｐ与Ｆ（ｐ）／ｐｍｏｄｐ的基本结果，这时｛Ｆｎ｛，｛Ｕｎ｝，｛Ｆ（ｎ）｝是如下定义的递推序列：Ｆ０＝０，Ｆ１＝１，Ｆｎ＋１＝Ｆｎ＋Ｆｎ－１ｕ０＝０，ｕ１＝１，ｕｎ＋１＝２ｕｎ＋ｕｎ－１（ｎ＝１，２，３，…）Ｆ（０）＝１，Ｆ（１）＝０，Ｆ（２）＝２，Ｆ（ｎ＋２）＝３Ｆ（ｎ）－Ｆ（ｎ－１）。作为组合和理论的另一应用，我们还对     

矩形区域上均匀分布的一个性质

设｛Ｘｔ＝（Ｘ１ｔ，Ｘ２ｔ，…，Ｘｐｔ｝ｔ＝１，２，…，ｎ｝是矩形区域Ｄ＝｛ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｐ）│αｉ≤ｘｉ≤ｂｉ，ｉ＝１，２，…，ｐ｝上的均匀分布的样本，Ｘ（１），Ｘ（２），…，Ｘ（ｎ）是Ｘ１，Ｘ２，…，Ｘｎ的次序统计量。     

关于费尔马数为伪素数的充要条件

本文证明了任何费尔马合数都是伪素数,但都不是绝对伪素数;ｐ＞２,ｐ｜Ｆｎ的充要条件是,２关于模ｐ的次数为２ｎ＋１;素数ｐ｜Ｆｎ,则ｐｓ｜Ｆｎ的充要条件是,２ｐ－１２≡１（ｍｏｄｐＳ）．     

积分语义学中的积分相似度与伪距离

研究了积分语义学理论的相似度与伪距离，对特殊公式Ｉｎ＝ｐ１∧ｐ２∧…∧ｐｎ，Ｕｎ＝ｐ１∨ｐ２∨…∨ｐｎ的真度值进行了计算，给出了Ｆ（Ｓ）中的积分相似度和Ｆ（Ｓ）上的伪距离的一些性质。得到了：（１）在任何一个逻辑系统中τ（Ｉｎ）＝１ｎ＋１，τ（Ｕｎ）＝ｎｎ＋１；（２）在Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ逻辑系统中，对公式Ａ和正数ε，存在公式Ｂ，使得１－ε〈ξ（Ａ，Ｂ）〈１；（３）在Ｌｕｋａｓｉｅｗｉｃｚ逻辑系统     

复合数论函数s￠（n）与n的关系

本文讨论复合数论函数ｓφ（ｎ）＝ｓ（φ（ｎ））的性质。这里ｓ（ｎ）是因数和函数，φ（ｎ）是欧拉函数。证明了（ｐｉ是不同的奇素数，ｋ＝１，２，３），并猜想上述不等式对任何整数ｋ≥１都成立。如果此猜想正确，则ｓφ（ｎ）≥ｎ对任何奇数ｎ都成立。本文还求得数论方程ｓφ（ｎ）＝ｎ的５个奇数解：Ｆ０，Ｆ０Ｆ１，Ｆ０Ｆ１Ｆ２，Ｆ０Ｆ１Ｆ２Ｆ３，Ｆ０Ｆ１Ｆ２Ｆ３Ｆ４（Ｆｉ是前５个费马素数）和２个偶数解：２２μ３，２３μ２μ５（μ２＝３，μ３＝７，μ５＝３１是前３个默森素数）。     

使所有的2~n·k-1型整数为合数的k值

对任意的ｎ≥１，用计算机计算给出了使得２ｎｋ－１型整数都为合数的奇数ｋ的算法及结果．ｋ＝５０９２０３是得到的最小的ｋ值，使得对所有的ｎ≥１，２ｎｋ－１都为合数，其素因子覆盖集为｛３，５，７，１３，１７，２４１｝．在１０６以下，仅得到５个ｋ值，ｋ＝５０９２０３，７６２７０１，７７７１４９，７９０８４１，９９２０７７，使得所有的２ｎｋ－１型整数都为合数     

Wolstenholme定理的一个p-adic证明及其推广

利用ｐ－ａｄｉｃ方法给出Ｗｏｌｓｔｅｎｈｏｌｕｍｅ定理的一个新的证明，进一步给出了Ｗｏｌｓｔｅｎｈｏｌｍｅ定理的如下推广：设ｍ≥０和ｎ≥１为整数，记〈ｎ〉＝｛１，…，ｎ｝。如果ｐ１，…，ｐｎ为ｎ个不同的全大于３的素数，那么分数∑（ｐ１，…ｐｎ ｊ＝１；Ａ↓ｉ∈〈ｎ〉，（ｊ，ｐｉ）＝１１／ｍｐ１…ｐｎ＋ｊ的分子被ｐ＾２１Ｐ＾２２…ｐ＾２ｎ整除。     

线性群及其子群阶的一种性质

利用有限域上向量空间对于它的线性变换的循环子空间分解的性质，给出了线性群ＧＬ（ｎ，Ｆｑ）的阶与它的某个有限于群的阶之间的关系：设在Ｆｑ上不可约，ｑ＝ｐ￣ｍ，ｐ＿１（≠ｐ）是素数，如果ｐ１｜｜Ｇ｜，则ｎ≥ｐ＿１－１；如果　　　则，２≥２ｐ＿１－２。     

元素的阶除一些素数外连续的有限群

有限群Ｇ称为ＯＣ_ｎｐ－群，如果元素阶的集合πｅ（Ｇ）＝｛１，２，…，ｎ，ｐ１，ｐ２，…，ｐｓ｝．其中ｎ＋１＜ｐ１＜ｐ２＜…＜ｐｓ．ｐｉ是素数（ｉ＝１，２，…，ｓ）．ｎ为自然数．证明了ＯＣｎｐ－群的完全分类定理定理设Ｇ是ＯＣｎｐ－群，ｓ≥１，则１≤ｎ≤５或ｎ＝８，且ｓ≤２．进一步：Ⅰ．如果１≤ｎ≤２，则Ｇ是质元群且可解．Ⅱ．如果：ｎ＝３，４，５，８，则Ｇ是单群且ｎ＝３时，ｎ＝４时，ｎ＝５时，ｎ＝８时，     

一簇余维数为1的子空间划分空间

利用两簇余维数为１的子空间划分空间。设Ｆｉ是实向量空间Ｖ的子空间，Ｆｉ＝１（ｉ＝１，２，…，ｎ），Ｆｉ∩Ｆｊ＝Ｆ１∩Ｆ２（ｉ≠ｊ），ｃｏｄｉｍＦ１∩Ｆ２＝２，Ｆ＝　Ｆｉ则Ｆ把Ｖ划分成２ｎ个等价类；设Ｆ１，Ｆ２，…，Ｆｎ（ｎ≥３）是两两不等的实向量空间Ｖ的子空间，Ｆ１∩Ｆ２∩Ｆ３＝Ｆｉ，ｃｏｄｉｍＦｉ＝１（ｉ＝１，２，…，ｎ），ｃｏｄｉｍＦ１∩Ｆ２∩Ｆ３，Ｆ＝　Ｆｉ，则Ｆ把Ｖ划分成２＋ｎ（ｎ－１）个等价类。     

关于二项式系数的一个计数问题

对任意给定的素数ｐ和非负整数Ｎ，给出了边长为Ｎ的杨辉三角形所含的１／２（Ｎ＋１）（Ｎ＋２）个二项式系数（＾ｎｒ），ｎ＝０，１，…，Ｎ；ｒ＝０，１，…，ｎ中与ｐ互素者之个数ｆｐ（Ｎ）的精确计算公式，即有ｆｐ（Ｎ）＝１／２Σ＾ｋｉ＝０ａｉП＾ｋｊ＝ｉ（ａｊ＋１）Ｐ＾ｉ，其中Ｐ＝１／２ｐ（ｐ＋１），Ｎ＋１＝ａｋｐ＾ｋ＋…＋ａ１ｐ＋ａ０，０≤ａｉ〈ｐ。特别地，边长为Ｎ的杨辉三角形中所含奇数的个数恰为Σ＾ｔ     

广义Fibonacci数列与自然数方幂积和各∑k^n=K^muk

本文研究了广义Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的性质,得出与∑ｋ＾ｎ＝１＾ｍｋ有关的几个表达式,从而肯定的回答了「３」中ｐｉｅｒｏ Ｆｉｌｉｐｐｏｎｉ猜测：∑ｋ＝１＾ｎｋ＾ｍＦｋ＝ｐ１＾（ｍ）（ｎ）Ｆｎ＋１４ｐ２＾（ｍ）（ｎ）Ｆｎ＋Ｃｍ,这里Ｐ１＾（ｍ）（ｎ）和Ｐ２＾（ｍ）（ｎ）是变量为ｎ的,次数为ｍ的多项式。     

关于丢番图方程x~3±p~（3n）＝Dy~2

对丢番图方程ｘ３±ｐ３ｎ＝Ｄｙ２，ｐ为给定的奇素数，ｐ＝３或ｐ≡５（ｍｏｄ１２），ｎ为自然数，Ｄ＞０，Ｄ无平方因子且不能被６ｋ＋１形的素数整除，现得到该方程非平凡解的关于ｎ的一个递推算法；并给出了ｐ＝３或５，ｎ＝１，２，３，４的全部非平凡解     

随机右删失下核光滑乘积限估计的大样本性质

讨论了随机右删失下乘积限估计Ｆｎ（ｔ）与核光滑乘积限估计Ｆｎ（ｔ）之差（Ｆｎ－Ｆｎ）（ｔ）的大样本性质，得出了Ｆｎ（ｔ）的一般大样本性质，特别是ｎ＾１／２（Ｆ（ｔ）－Ｆ（ｔ）＝γｎ（ｔ）→Ｇｐ（ｔ）的充分与必要条件。     

关于方程≡0（modl）的解个数

设ｄ＿１……，ｄ＿ｎ是ｎ个正整数．熟知，不定方程，１≤ｘ＿ｉ≤ｄ＿ｉ－（ｉ＝１，…，ｎ）的解的个数在有限域Ｆ＿ｑ上对角方程的研究中起重要作用．作者分别给出了此方程恰有２组解和恰有３组解的充分必要条件．     

一类Fibonacci数的求和

一类Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的求和程龙海（数学系）摘要给出　的求和公式。关键词Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数，Ｌｕｃａｓ数，比内公式Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列有着许多重要的、有趣的性质，其应用也越来越广泛，引起了数学家们的普遍关注。最近，文［１］对此做了比较深入的研究，作者用较长的篇幅部分地解决了的求和问题。本文将通过其他途径，给出的一个求和公式，为此，先给出下面的定义和引理。定义１Ｆ１＝１，Ｆ２＝１，Ｆ（ｎ＋１）＝Ｆｎ＋Ｆ（ｎ－１）（ｎ≥２），称数列｛Ｆｎ｝为Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列。定义２Ｌ１＝１，Ｌ２＝３，Ｌ…     

pk元域F的单超越扩域E上的方程yn=D与Ay2n+Byn+C=0

设Ｆ是ｐ＾ｋ元域，Ｅ是Ｆ的单超越扩域，给出Ｅ上的方程ｙ＾ｎ＝Ｄ与Ａｙ２ｎ＋Ｂｙ＾ｎ＋Ｃ＝０有Ｅ中有限或没有根的条件。若方程有限，则同时给出根的个数。     

计算二维数字卷积的二维重叠保留法

设ｈｋ２,ｋ２代表滤波器的系数（ｋ１＝０,１,…,ｌ２－１,ｋ２＝０,１,…,ｍ２－１）,ｘｎ１,ｎ２和ｎ１,ｎ２（ｎ１＝０,１,…,ｌ１－１,ｎ２＝０,１,…,ｍ１－１）分别代表滤波器的输入和输出,本文给出了计算ｙｎ１,ｎ２（它是ｘｎ１,ｎ２和ｈｎ１,ｎ２的线性卷积）的二维重叠保留法,这是一维重叠保留法的推广和发展．在许多应用中,输入和输出的长度很长,相比之下,滤波器的系数长度较短．如果用直接的方法计算ｙｎ１,ｎ２,其乘法运算的个数将很大．本文指出在数字信号处理领域中用重叠保留法计算ｙｎ１,ｎ２是有效的．这一方法通过计算一系列长为Ｎ和Ｍ的循环卷积来计算ｙｎ１,ｎ２（ｎ１＝０,１,…,ｌ１－１,ｎ２＝０,１,…,ｍ１－１）,这里Ｎ＝２ｄ,Ｍ＝２ｄ′,Ｎ＝Ｎ′＋ｌ２－１＜ｌ１,Ｍ＝Ｍ′＋ｍ２－１＜ｍ１．所以能够用快速数论变换（ＦＮＴＴ）或快速付里叶变换（ＦＦＴ）计算循环卷积．这有可能使我们用这一方法处理一个无限输入序列ｘｎ１,ｎ２和有限滤波器系数ｈｋ１,ｋ２的卷积     

关于Bernoulli数与Bowen猜想

获得了等幂和与Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ数的同余关系,利用所得到的结果对Ｂｏｗｅｎ猜想进行了讨论,得：若方程Ｓｍ（ｎ）＝（ｎ＋１）＾ｍ有ｍ〉１,则ｍ≥２８为偶数,６ｎＢｍ＝６（ｍｎ＋１）（ｍｏｄ ｎ＾２）,ｎ＝２ｐ１ｐ２．．．．ｐｓ,ｐｉ－１│ｍ,ｎ／ｐｉ＝ｍ（ｐｉ－１）！＋ｐｉ＋１）－ｐｉ－１（ｍｏｄ ｐｉ＾２）。     

三星体R_（n－p，n，n＋p）（P＝1，2）是强优美树

引入强优美树概念，证明了三星体Ｒ＿［（ｎ－ｐ），ｎ，ｎ＋ｐ］（ｎ为自然数；ｐ＝１．２）是强优美树，从而得到四星体Ｒ＿［（ｎ－ｐ），ｎ，ｎ＋ｐ，ｍ］（ｍ，ｎ为自然数；ｐ＝１，２）是优美树的结果。