亚纯函数唯一性问题的注记

讨论了亚纯函数的唯一性问题，推广了仪洪勋及华歆厚的有关定理，证明了下面定理：设ｆ与ｇ是非常数亚纯函数，ｎ是正整数．再设ａ与ｂ是亚纯函数，且满足Ｔ（ｒ，ａ）＋Ｔ（ｒ，ｂ）＝ｍｉｎ｛ｓ（ｒ，ｆ），ｓ（ｒ，ｇ）｝，ａ（ｎ）ｂ如果ｆ（ｎ）＝ｂｇ（ｎ）＝ｂ，δ（∞，ｆ）＝δ（∞，ｇ）＝１，且δ（ａ，ｆ）＋δ（ａ，ｇ）＞１，则ｆ≡ｇ或（ｆ（ｎ）－ａ（ｎ）·（ｇ（ｎ）－ａ（ｎ）≡（ｂ－ａ（ｎ）２．     

分担两个值的亚纯函数

该文主要证明如下的定理１ 　设ｆ 和ｇ 为非常数亚纯函数,ａ１ , …,ａｎ 为互异复数,若（ｉ） ｆ 和ｇ ＣＭ 分担ａ１ ,ａ１ ,（ｉｉ） δ（ ∞,ｆ）＝ δ（ ∞,ｇ） ＝１ ,（ｉｉｉ） ａ３ ,…,ａｎ 为ｆ 的亏值,满足ｎｊ＝３δ（ａｊ ,ｆ） ＞ ｎ － ２ｎ ,则（ａ） 当ｎ ＝ ３ 时,有ｆ ≡ｇ 或（ｆ － ａ３）（ｇ ＋ ａ３ － ａ１ － ａ２） ≡（ａ３ － ａ１）（ａ２ － ａ３）且有δ（ ａ３ , ｆ） ＝ １, δ（ａ１ ＋ ａ２ － ａ３ , ｇ） ＝ １,（ｂ） 当ｎ ＞ ３ 时,有ｆ ≡ｇ 。     

分担两个小函数的亚纯函数

设ｆ和ｇ是非常数亚纯函数,ｎ为非负整数,ａ,ｂ,ｃ,ｄ是ｆ和ｇ的小函数,其中ａ≠ｃ＾（ｎ）,ｂ≠ｄ＾（ｎ）。如果ｆ＾（ｎ）＝ａ＝ｇ＾（ｎ）＝ｂ及δ（ｄ,ｇ）＋２（∞,ｆ）〉ｎ＋５,δ（ｃ,ｆ）＋δ（ｄ,ｇ）＋２（∞,ｇ）＋（ｎ＋２）（∞,ｆ）〉ｎ＋５,则ｆ＾（ｎ）－Ｃ＾（ｎ）／ａ－ｃ＾（ｎ）＝ｇ＾（ｎ）－ｄ＾（ｎ）／ｂ－ｄ＾（ｎ）呀（ｆ＾（ｎ）－ｃ＾（ｎ）（ｇ＾（ｎ）－ｄ＾（ｎ）＝（ａ－ｃ＾（ｎ）     

关于亚纯函数的唯一性定理

本文结合导数、亏量对仪洪勋发表于中国科学（Ａ辑，１９９４．５，Ｐ．４５７－４６６）的一个结果进行研究，得到了定理：“设Ｓ１＝｛１，ω，…，ω＾ＴＲ－｝，Ｓ２＝｛∞｝，其中ω＝ｃｘｐ（２π／ｍ，ｆ和ｇ是非常数亚纯函数。如果ｍ≥４且δ（０，ｆ）＋δ（∞，ｆ）〉２，Ｅｆ（π）（Ｓｉ）＝Ｅｇ（π）（Ｓｉ）（ｉ＝１，２），其中ｎ是非负整数，那么ｆ＾ｎ≡ｇ＾ｎ或［ｆ＾（ｎ）ｇ＾（ｎ）＾１Ｒ］≡１。”例子表明此     

关于亚纯函数的唯一性

研究亚纯函数的唯一性，证明了如下定理：设ｎ是一个正整数（ｎ〉２），δ＝｛ｚ：ｚ＾ｎ－１－１＝０｝，ｆ（ｚ）和ｇ（ｚ）是两个非常数的亚纯函数满足（∞，ｆ）〉ｍａｘ     

具有三个CM公共值集的亚纯函数

建立了具有三个特定类型的ＣＭ公共值集的两个亚纯函数之间的关系,得到如下结果：设判别有限复数ａ１,ａ２,ｂ１,ｂ２满足ａ１＋ａ２＝ｂ１＋ｂ２,ａ１ａ２≠ｂ１ｂ２．如非常数亚纯函数ｆ与ｇ以｛ａ１,ａ２｝,｛ｂ１,ｂ２｝,及｛∞｝为ＣＭ公共值集,则ｆ与ｇ必满足如下关系之一：（ｉ）ｆ≡ｇ;（ｉ）ｆ＋ｇ≡ｃ;（ｉｉ）ｆ－ｃ２ｇ－ｃ２≡±ａ１－ａ２２２;（ｉｖ）（ｆ－ａｊ）（ｇ－ａｋ）≡（－１）ｊ＋ｋ（ａ１－ａ２）２（ｊ,ｋ＝１,２）;（ｖ）（ｆ－ｂｊ）（ｇ－ｂｋ）≡（－１）ｊ＋ｋ（ｂ１－ｂ２）２（ｊ,ｋ＝１,２）．其中ｃ＝ａ１＋ａ２．     

关于亚纯函数与其导函数具有公共值集的唯一性

本文研究了亚纯函数与其导函数具有两个公共值集时的性质，得到了几个有趣的结果，是对亚纯函数与其导函数具有两个公共值时的性质的补充。设ｆ是一非常数亚纯函数，ｎ（≥２）是一个正整数，ａ，ｂ是两个有穷复数且ａ＾ｎ≠ｂ＾ｎ，ａ≠０，ｂ≠０；ω＝ｅｘｐ（２πｉｈ）。如果ｆ和ｆ′的集合Ｓ１＝｛ａ，ａω，…，ａω＾ｎ－１｝，Ｓ２＝｛ｂ，ｂω，…，ｂω＾ｎ－１｝为两个ＩＭ公共集值，则ｆ≡ｔｆ′，其中ｔ＾ｎ＝１。     

关于C．C．Yang的涉及亚纯函数增长性的几个问题

得到如下一些结果：（１）设ｆ是任一亚纯函数，若ｌｉｎｒ→∞Ｔ（ｒ，ｆ（ｚ＋１））／Ｔ（ｒ，ｆ（ｚ））＝∞，则级ρｆ＝∞。（２）设ｆ，ｇ１，ｇ２，皆为非常整函数，且Ｔ（ｒ，ｆ）＝Ｏ（（ｌｏｇｒ）＾），ｇ２的级为有穷，Σａ≠∞δ（α，ｇ２）＝１，Ｔ（ｒ，ｇ１）＝ｏ（Ｔ（ｒ，ｇ２））（ｒ→∞）。则Ｔ（ｒ，ｆ（ｇ１））＝ｏ（Ｔ（ｒ，ｆ（ｇ２））（ｒ→∞），其中Ｔ（ｒ，ｆ）＝Ｏ（（ｌｏｇｒ）＾α表示，当ｒ→     

一类整函数与亚纯函数的复合增长性

得到如下结果：设ｆ级为λｆ的超越亚纯函数，ｇ为超越整函数，ｇ（０）＝１且Ｔ（ｒ，ｇ）＝Ａ（ｌｏｇｒ）＾ａ（０〈Ａ〈∞，Ａ〉１均为常数）。     

具有有穷级或下级的亚纯函数

设ｆ（ｚ）和ｇ（ｚ）为非常数亚纯函数，ｆ（ｚ）的下级μ（ｆ）为有穷非整数，且ｆ（ｚ）和ｇ（ｚ）具有两个ＣＭ分担值０和∞．如果存在两个判别的有穷非零复数ａ１和ａ２，满足Ｅｋ）（ａｊ，ｆ）＝Ｅｋ）（ａｊ，ｇ），ｊ＝１，２，及Θ（０，ｆ）＋Θ（∞，ｆ）＋１ｋ＋１［δ（ａ１，ｆ）＋δ（ａ２，ｆ）］＞２ｋ＋１．则ｆ（ｚ）≡ｇ（ｚ）     

圆内亚纯函数的Julia型奇异点

对单位圆内的亚纯函数提出了一种与正规族理论中著名的Ｍａｒｔｙ定则相对应的奇异点－－Ｍａｒｔｙ点的概念，首先讨论了Ｍａｒｔｙ点存在的条件，并由证明了如下结论：如果ｌｉｍＴ（ｒ，ｆ）／１（ｌｏｇ１／１－ｒ）＝＋∞，则存在点ｅ＾ｉθ，使得对任意有穷非零复数ａ，任意正数ε和任意正整数ｎ有ｌｉｍ（→１ｎ（Ω（θ－ε，θ＋ε，ｒ），ｆ＾ｎｆ‘＝ａ）＋∞。     

亚纯函数涉及亏函数的相对亏量

该文研究了整函数和亚纯函数涉及亏函数的相对亏量，将Ｓｉｎｇｈ关于亚纯函数相对亏量的结果推广到亏函数的情况，主要得到了下面的一些关系式：（１）Ｈｒ＾（ｋ）（Ａ（Ｚ），ｆ）≤２－｛δ（０，ｆ）＋Ｈ（∞，ｆ）｝Ａ（Ｚ）≠０，∞；（２）δ＾（ｋ）ｒ（∞，ｆ）≤３／２－１／２｛δ（０，ｆ）δ（Ａ（Ｚ），ｆ）｝，Ａ（Ｚ）≠０，∞；（３）如果δ（０，ｆ）＝δ（∞，ｆ）＝１，则Ｈ＾（ｋ）ｒ（Ａ（Ｚ），ｆ）＝０。     

关于一类微分单项式的值分布

该文建立了一个基本不等式，其中超越亚纯函数ｆ（ｚ）的特征函数由Ｎ（ｒ，１／ｆ）和Ｎ（的特函数由／（ψ－ψ））所界囿。ψ＝ｆ＾ｎ０（ｆ‘）＾ｎ１…（ｆ（ｋ））ｎｋ，ψ是满足Ｔ（ｒ，ψ）＝ｓ（ｒ，ｆ）的非零亚纯函数。     

关于第二积分中值定理中的渐进性

讨论了第二积分中值定理∫＾（ｂ,ａ）ｆ（ｘ）ｇ９ｘ）ｄｘ＝ｇ（ａ）∫（ξ,α）ｆ（ｘ）ｄｘ＋ｇ（ｂ）∫（ｂ,ξ）ｆ（ｘ）ｄｘ的中值点ξ的渐近性。即当（１）ｆ（α）＝ｆ‘（α）＝…＝ｆ＾（ｎ－２）（α）＝０,ｆ＾（ｎ－１）（α）≠０．;）２）ｇ’（α）＝…＝ｇ＾（ｍ－１）（α）＝０,ｇ＾（ｍ）（α）≠０时,在一定条件下,我们有ｌｉｍｂ→α＋ξ－α／ｂ－α＝ｍ／ｍ＋）＾１／ｎ。     

关于Hennekemper的一个基本不等式

用与Ｈｅｎｎｅｋｅｍｐｅｒ不同的方法研究了（ｆ＾ｋ＋１）＾（ｋ）的值分布，将Ｈｅｎｎｅｋｅｍｐｅｒ所得的基本不等式推广至小函数情形，得到了如下定理：设ｆ为超越亚纯函数，Ｆ＝（ｆ＾ｋ＋１）＾（ｋ），ｋ∈Ｎ，ψ为非零的小函数，则Ｔ（ｘ，ｆ）≤（１＋２ｋ＋１／４ｋ＾２＋２ｋ－１）Ｎ（ｒ，１／ｆ）＋４ｋ＋２／４ｋ＾２＋２ｋ－１Ｎ↑－（ｒ，１／Ｆ－ψ）＋Ｓ（ｒ，ｆ）。     

Nevanlinna第二基本定理的推广

本文我们得到以下结果：定理设ｆ（ｚ），ａｊ（ｚ）是复平面Ｃ上的亚纯函数，若ａ１，…，ａｑ各自满足Ｔ（γ，ａｊ（ｚ）＝Ｓ（γ，ｆ）（ｊ＝１，…ｑ）则对于任何正数ε＞０，我们有ｍ（γ，ｆ）＋Σ＾ｑｊ＝１ｍ（γ，１／ｆ－αｊ）≤（２＋ε）Ｔ（γ，ｆ）－１／ｎＮ（γ，１／Ｗ）－１／ｎｍ（γ，（Ｌ（ｆ）＾ｎ／Ｗ＋Ｓ（γ，ｆ）这里Ｌ（ｆ）和Ｗ是由如下两个朗斯基行列式所定义。Ｌ（ｆ）＝Ｗ（ａ１，…ａｑ，ｆ）Ｗ＝     

关于Szasz算子的Woronovskaja—型定理

设ｆ（ｘ）是［０，＋∞）上的二次连续可微函数，且ｆ（ｘ）＝０（ｘ＾ａｘ）（ａ＞０，ｘ→∞，对Ｓｚａｓａ算子Ｓｎｐ（ｆ（ｔ），ｘ）＝∞／∑ｋ－０ｅ＾－（ｎ＋ｐ）ｘｆ（ｋ／ｎ）（ｎ＋ｐ）＾ｋｘ＾ｋ／Ｋ！，     

亚纯函数与亚纯代数体函数的Julia点

讨论定义于│ｚ│〈１内的ｖ－值亚纯代数体函数ｗ＝Ｗ（ｚ）（ｖ＝１时，Ｗ（ｚ）就是亚纯函数）。证明了定理 如果Ｗ（ｚ）满足条件ｌｉｍ↑－↓ｒ→１Ｔ（ｒ）／ｌｏｇ１／１－ｒ＝∞则存在一个Ｊｕｌｉａ点ｅ＾ｉθ０（０≤θ０≤２π），使得对于任意给定的数δ（０〈δ〈π／２），在扇形域Δ（θ０，δ）＝｛ｚ││ａｒｇｚ－θ０│〈δ，│ｚ│〈１｝内，对任何复数值ａ，总有ｌｉｍ↑－↓ｒ→１ｎ（ｒ，（θ０，δ），ａ）     

单位圆内亚纯函数的特征函数的单调性定理

亚纯函数的特征函数Ｔ（ｒ）（０≤ｒ〈１），若在单位圆内满足ｌｉｎ＾ｌｏｇ＾＋Ｔ（ｒ）／ｌｏｇ＾１／１－ｒ＝ρ，（０〈ρ〈＋∞）则对任意取定的数λ和λ１（０〈λ〈λ１≤１）必定存在序列（Ｒｎ），使得ｌｉｎ＾ｌｏｇ＾＋Ｔ（Ｒｎ）／ｌｏｇ＾１／１－Ｒｎ＝ρ，（０〈ρ〈＋∞）以及Ｔ（Ｒ＾λｎ）≤（１／λλ１）＾ρＴ（Ｒｎ（１＋０（１））（ｎ→∞）Ｔ（Ｒ）≤（１／λ、１）则对任意取定的数λ（０〈λ〈１）必定     

关于单位圆内全纯函数的奇异点

本文讨论在一定条件下的单位圆内全纯函数，相应于整函数的奇异方向［１］的奇异点的存在性，由此得到如下结果：若单位圆｜Ｚ｜＜１内全纯函数ｆ（Ｚ）满足ｌｉｍｒ→１－０Ｔ（ｒ，ｆ）ｌｏｇ１１－ｒ＝＋∞，则存在奇异点ｅｉθ０（０≤θ０＜２π），使得对任意正数ε，任何正整数和非零复数ｂ≠０，恒有ｌｉｍｒ→１－０ｎ（ｒ，θ０，ε，ｆ′ｆｎ＝ｂ）＝＋∞