关于微分方程dy/dx=(a_1x b_1y c_1)/(a_2x b_2y c_2)的解法

讨论了微分方程dy/dx=a_1x b_1y c_1/a_2x b_2y c_2的一般解法,并给出了该微分方程的另一种解法。     

不定方程 a_1x_1 a_2x_2 … a_sx_s=n 的Frobenius问题

对于 n 和 a_1,a_2均是正整数,且(a_1,a_2)=1的二元一次不定方程 a_1x1 a_2x_2=n,能够找到仅与 a_1,a_2有关的整数 g(a_1,a_2)=a_1a_2-a_1-a_2,使得当 n>g(a_1,a_2)时,不定方程有非负整数解,而当 n=g(a_1,a_2)时,不定方程没有非负整数解。求 g(a_1,a_2)的问题就是二元一次不定方程的 Frobenius 问题。本文解决如何求仅与不定方程 a_1x_1 a_2x_2 … a_2x_2     

关于不定方程组a_2x~2-a~1y~2=a_2-a~1,a_3y~2-a_2z~2=a_3-a_2

构造性地证明了:当自然数a_1,a_2,a_3中任二数之积与1的和均为平方数时,标题所列之不定方程组常有异于平凡解x=y=z=1且合x~2≡1(mod a_1)之正整解存在.一个等价的说法是,对任给合条件“任二数之积与1之和均为平方数”的三个自然数a_1,a_2,a_3,均可觅得一自然数a_4,使得四数组(a_1,a_2,a_3,a_4)亦合前述条件.     

广义Heron平均和幂平均的不等式

定出了使下式成立的最大P和最大小q其中b_1≥b_2>0,a_1/b_1≥a_2/b_1>0.     

范式dk=a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n的解法

令d,a_1,…,a_n为非负整数,K是使(1)dk=a_1X_1+a_2X_2+…+a_nX_n,X_i≥0,i=1,…,n成立的最小正整数.(1)式叫做d关于a_1,a_2,…,a_n的范式,简称n元范式.在文[1]、文[2]中,对n=2的情形,给出了范式的解法.本文在此基础上,解决n(>2)元范式的解法.     

关于一类不等式的再次推广

1引言 文[2]对文[1]的结论作了推广和引伸,得到了如下的定理. 定理1 设a_1,a_2,b_1,b_2∈(a,b) a_1+a_2=b_1+b_2,且a_1≤b_1≤b2≤a2 若在(a,b)上f″(x)>0,则 f(b_1)+f(b_2)≤f(a_1)+f(a_2) (1)若f″(x)<0,则 f(b_1)+f(b_2)≥f(a_1)+f(a_2) (2) 本文首先指出,定理1的条件f″(x)>(<)0可放宽为f″(x)≥(≤)0,事实上,     

一类高阶非线性微分方程解的稳定性

本文对高阶非线性微分方程组x=f_1(x,y,x,y,x,y)…y=f_2(x,y,x,y,x,y)的某些特殊类型,研究了平凡解的全局渐近稳定性[1],用类比法[2]构造李雅普诺夫函数,得到了全局渐近稳定性的一些充分条件。主要结果为定理2、定理3和定理4。文中具体研究了如下三种类型的方程:和x a_1x a_2y a_3x a_4y f(x)=0…y b_1x b_2y b_3x b_4y g(y)=0x a_1x a_2y f(x) a_4y a_3x=0…y b_1x b_2y b_3x g(y) b_6y=0x f(x) a_2y a_3x a_4y a_5x=0…y b_1x g(y) b_3x b_4y b_6y=0其中ai,bi(i=1.2.…,6)均为常数,f和g具有保证解对初值唯一性的条件。     

关于环的特征与交换性

本文主要讨论了含单位元的无零因子环内特征与交换的关系,得到如下主要结果: 定理1 设R是一个含单位元且无零因子的环,|R|≥p,且~a∈R,(a+e)~p=a~p+e,则charR=p。 定理2 设R是一个含单位元且无零因子的环,存在质数p>1,p≠CharR,使得~a∈R,(a+e)~p=a~p+e,则R为一个有限域。 定理3 假设1)R是一个特征为零的、含单位元、无零因子的环; 2)~x,y∈R,存在整数a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3使得:a_1xy~2+a_2yxy+a_3x~2y+b_1xyx+b_2yx~2+b_3y~2x=0则当R为可换时,(a_1+2b_3)(2a_1+a_2)(b_2+2a_3)(2b_1+b_2)≠0 反之,当此式左端任一因子不为零时,R为一个交换环。     

续论方程ax+by+cz=n

设a,b,c为正整数,(a,b,c)=1,x,y,z为非负整数,(a,b)=d,a=a_1d,b=b_1d,u,v为非负整数,当a_1u+b_1v能够表出c时,(1) ax+by+cz所不能表出的最大整数为M=(ab)/(a,b)+c(a,b)-a-b-c. [1]在a_1u+b_1v不能表出c时,c可以表成c=a_1r-b_1s或c=b_1s-a_1r,其中 a_1r+b_1s相似文献   

关于不定方程a_1X_1+a_2X_2+…+a_nX_n=N的非负解个数的讨论

设不定方程(1)a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=N,其中,n≥2,(a_1,…a_n)=1,N和a_i(i=1,2,…,n)均为正整数(且不妨假设a_1≤a_2≤…≤a_n)。 (1) (1)的非负整数解的个数是有限的,设为T_n(N)。记0相似文献   

两个幂等矩阵组合的群逆

运用幂等矩阵核空间的性质证明复数域上两个非零幂等矩阵P,Q的组合a_1P+b_1Q+a_2PQ+b_2QP+a_3PQP+b_3QPQ+a_4PQPQ+b_4QPQP+a_5PQPQP+b_5QPQPQ+a_6PQPQPQ(其中a_i,b_j∈C(1≤i≤6,1≤j≤5)且a_1b_1≠0)在条件(PQ)~3=(QP)~3下的秩与系数的选取无关,进而证明其群逆的存在性,并得到了组合aP+bQ+cPQ+dQP的群逆计算公式.     

无爪图是准泛连通的一个新充分条件

设3—连通无爪图 G 是无 B 图.如果对 G 的任意的同构于 Z_2的导出子图有(?)(a_1,b_1)(?)(a_1,b_2),则 G 是准泛连通的。     

两点边值问题的双向迭加法

考虑二阶线性常微分方程的两点边值问题: Lu=f(x),a≤x≤b (1) (I){ a_1u′(a)+a_2u(a)=α,b_1u′(b)+b_2u(b)=β (2) (a_1~2+a_2~2≠0,b_1~2+b_2~2≠0)不失一般性,算子L可看作 Lu=u″(x)-q(x)u(x) (3) 众所周知,方程(1)的通解具有如下迭加结构: u(x)=c_1u_1(x)+c_2u_2(x)+u_f(x) (4)其中u_1,u_2为对应(1)的齐次方程     

关于二元及三元二次多项式因式分解问题的讨论

(一)二元二次多项式可分解成一次因式的条件定理1:实系数二元二次多项式F(x,y)≡a_(11)x~2 2a_(12)xy a_(22)y~2 2b_1x 2b_2y c,在实数范围内可分解成一次因式的充要条件是:     

Robin边值问题解的存在唯一性

本文给出了Robin边值问题(其中a_(?)≥0,b_(?)≥0,a_0+a_1,b_0+b_1>0,a_0+b_0>0)在主要假设f_x≥-β,f_(?)分别在有界和某种无界情形下,有唯一解的一个充分条件。     

在限制|a_2|,|a_3|下的Bieberbach猜测

设f(z)=z sum from n=2 to ∞ a_nz~n是单位园|z|<1内的正则单叶函数,以S记其族。龚升在中证明:若|a_2|<1.635则|a_n|相似文献   

论系统(?)的V.I.Arnold问题

系统{dx=a_1x~2+b_1xy+a_2x+b_2y+c_2dt{dydt=a_1xy+b_1y~2+a_3x+b_3y+c_3是一种特殊的二次微分系统.系统(1)的V.I.Arnold问题是该问题中n=2的一种特殊情况.关于V.I.Arnold问题当n=2时的一般情况均已完全解决.(请参阅[1][2][3][4]).本文想从系统(1)右端多项式的系数中构造一个矩阵A,进而通过矩阵A的若唐(C.Jordan)法式.把系统(1)分类,从而由矩阵A的特征根、特征向量来直接确定奋点及其稳定性.     

关于两个自变量的二阶线性偏微分方程经过可逆变换后类型不变的一个证明

对于弦振动方程、热传导方程及位势方程的定解问题,带有不同的定解条件,其解的性质也不相同,并反映了不同的物理现象,在数学上归结为对方程的分类进行研究。考虑二阶线性偏微分方程: a_(11)u_(xx) 2a_(12) u_(xy) a_(22)u_(yy) b_1 u_x b_2u_y cu=f……………………………………(*) 其中系数a_(11),a_(12),a_(22),b_1,b_2,c及f均为x,y的已知函数。为了对方程(*)进行分类研究,首先要进行方程的简化工作。即:对方程(*)施行可逆的自变量变换:     

具有A-连通实现二部可图对的一个注记

设S=(a_1,…,a_m;b_1,…,b_n),其中a_1,…,a_m和b_1,…,b_n是2个非增的非负整数序列.如果存在一个简单二部图G=(X∪Y,E),使得a_1,…,a_m和b_1,…,b_n分别是X和Y中顶点的度,则称S=(a_1,…,a_m;b_1,…,b_n)为一个二部可图对.设A是一个阿贝尔群(以"0"为单位元的加法群),定义σ(A,m,n)是最小的正整数k使得每一个二部可图对S=(a_1,…,a_m;b_1,…,b_n)满足a_m,b_n≥2且σ(S)=a_1+…+a_m≥k时都有一个A-连通实现,确定了当|A|=4且m≥n≥3时,σ(A,m,n)的下界和当|A|=6且m≥n≥2时,σ(A,m,n)的下界.     

菲涅耳半波带法公式A_K=a_1/2±a_k/2中K值的范围

本文对在点光源照明情况下,用菲涅耳半波带法求考察点P合振幅的近似公式A_k=a_1/2±a_k/2中K值的适用范围进行了讨论,纠正了某些光学书籍中对K值范围加以限制的结论