关于差分方程(组)两类问题的探讨

<正> 本文在对差分方程(组)两类问题的探讨中,给出了非定常差分方程组零解稳定性的两类反例的简捷构造法;提供了n阶常系数非齐次线性差分方程特解的简便求法。一、非定常差分方程组零解稳定性的两类反例的简捷构造法对于定常差分方程组零解的稳定性已有定论,即系数矩阵的特征根若都在单位园内,则其零解渐近稳定;若特征根在单位园内外都有,则其零解不稳定。而对于非定常差分方程组,其系数矩阵一致有界,那么非定常差分方程组是否有类似结果吗?回答是不一定的。文1]给出了反例的一种构造公式,并用公式举出了具体例子。但这种公式化的构造方法较烦,     

关于耗散型差分格式的稳定性及Kreiss定理

本文研究了常系数严格双曲型方程组(即矩阵A具有互异的特征根)的差分格式。证明逼近精度α≥2耗散阶2r(r为任意正整数)的差分格式都是稳定的。从而改进了Kreiss和Parlett的结果。通过给出的具体例子说明了如何寻求稳定的差分格式。     

关于变系数线性方程组零解的稳定性的某些反例的构造方法

考察线性常微分方程组 X=a_(11)(t)x+a_(12)(t)y,y=a_(21)(t)X+a_(22)(t)y。设a_(11)+a_(22)=p=常数,a_(11)a_(22)-a_(12)a_(21)=q=常数,本文首先在上述方程的一个特解x=ψ_1(t),y=ψ_2(t)的条件下,给出了系数a_(ij)(i,j=1,2)的公式和求通解的公式。其次,利用这些结果,给出了构造某些方程组的简便方法,这些方程组可以说明具有变系数的线性组的零解的稳定性质不依赖于方程组的特征方程的根,文内特别讨论了构造具有有界系数的方程组的方法.     

按线性近似决定的常微分方程部分变元稳定性

本文研究方程组=Px X(x)对部分变元的稳定性。假定其线性近似=Px对k个变元渐近稳定,且矩阵P的特征根一个为零其余有负实部。采用的方法是通过两次线性变换将方程组化为较简单的形式。     

离散卷积方程组的矩阵解法

对于离散卷积方程组，一般我们采用傅氏变换的方法求解，但在某些特定系数情况下，零频率丢失，或解不确定。本文首先分析了离散循环卷积的矩阵方法，然后给出离散卷积方程组的矩阵表示式，对于这种形式，可以采用求解普通方程组的方法求解。     

常系数线性非齐次差分方程的矩阵解法

采用矩阵的对角化及Jordan标准型等理论对k阶线性常系数差分方程进行求解,通过将线性常系数差分方程化为差分方程组巧妙地得出了非齐次项为f(n)=sum(gi(n)×ani) from i=1 to l的常系数线性非齐次差分方程的通项公式,推广了相应的结论.     

解多维热传导方程的网格法

当解p(p≥2)维热传导方程的第一边值问题时,古典显式和古典隐式差分格式均需要很大的计算量,因为对显式格式来说对时间步长要加上强有力的限制,而对隐式格式来说在每一层上需解一个含h-p个未知数的线代数方程组.最近对于区域Qr=[0,T](为平行六面体)的热传导方程提出了“交替方向”差分格式[1-5],这些差分格式为绝对稳定的,并且依次为一个空间变量的隐式方程组,其系数矩阵的任一行(或列)至多只含有三个非零元素,即所谓三对角线型跃阵,因此这方程组可用追赶法[6]容易地也解出,但此时这些差分格式的误差为0或00.为了提高精确度,[7]提出了“完…     

线性方程组的一种解法

全日制十年制学校高中课本《数学》、第三册介绍了用矩阵法解线性方程组。其基本方法是高斯消去法,优点是:(一)不需要计算许多行列式,因而与行列式法或加减消元法相比,大大地减少了运算量.(二)线性方程组是否有解不需要另行讨论,在矩阵进行初等变换的过程中,同时就解决了这个问题.但此法在线性方程组的系数矩阵进行初等变换时,一般只进行行初等变换.既使有时进行列调换,但与列相应的未知数必须随之而调换.这样极易产生混乱而出错.并且对 n 元线性方程组,若系数矩阵的秩为γ(r相似文献   

二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵

利用方程组系数矩阵的特征根,给出二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵的表达式,同时也给出求二元常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵的另一种方法。     

一类非线性微分方程组的临界稳定问题

本文讨论了一类非线性微分方程组,当其一次近似组的特征方程以零为m重根时零解的稳定问题。给出了判断该系统零解稳定或不稳定的准则。     

常系数线性微分方程组的一种解法

给出了常系数齐次线性微分方程组的初值问题的一个求解公式,并由此推出常系数齐次线性差分方程组在给定的初始条件下的一个求解公式。     

常系数线性微分方程组的一种新解法

本文给出常系数线性微分方程组一种新的求解方法。要点是;求出系数矩阵A的特征值所对应的广义特征向量链,将A化为若当标准型,并计算方程组的基解矩阵。     

含单位元环中线性差分方程的解

给出含单位元环中线性差分方程R(t n)=∑=1^nriR(t n-i) G(t)的定义，利用准Frobenius矩阵求得它的解R(t 1)=∑i=1^nfli(t 1)Ri-1 ∑j=1^t 1f1n(t-j)G(j)．不同类型、不同背景的线性差分方程的解均可以统一于该文结果．通常的常系数(非)齐次线性差分方程解的显式表示问题，可视为该文结果的特例．线性差分方程组、线性矩阵迭代方程甚至变系数线性差分方程、灰色线性差分方程的求解，均可以用该文结果给予解决．     

关于多维振动问题的差分解法

在这篇短文里研究多维的四阶杆振动方程的解法问题,提出两种交替方向的差分格式。第一种格式是先把它化为等价方程组,然后构造绝对稳定的差分格式,它需要解ｍ阶的三对角线型的‘矩阵方程’组,可用矩阵追赶法解之。第二种格式是利用因式分解的思想构造绝对稳定的差分格式,它在每一个方向上需要法语解ｍ阶的五对角线型的线代数方程组。     

求方程组(dy)/(dx)=Ay+P_m(x)~(e~(x))特解的矩阵解法

本文讨论方程组dy/dx=Ay+Pm(x)e~(αx)(1)的矩阵解法,其中A为n阶常系数矩阵,Pm(x)为m次矩阵多项式,α为常数.通常书中所给出的求这类方程特解的待定系数法只能在具体方程给出后由手工计算求解,无法在计算机上实现.关于齐次方程组dy/dx=Ay(2)的基解的一般递推公式已有人给出.本文用矩阵导出求(1)的特解的一组递推公式,与[2]中公式相结合形成了求(1)的通解的完整算法。这一算法易于编制程序,完全实现了用计算机解方程组(1)的目的.     

位移反分析的求解方法

对于位移反分析对应的线性代数方程组，本文说明了其解可能出现不稳定；根据线性方程组系数矩阵的奇异程度，介绍了合适的求解方法，最后，提出了一种有效的确定任意矩阵奇异值的迭代方法。     

某类广义Schr dinger型方程组第三边值问题差分格式解的存在唯一性

本文证明如下微分方程组(*)第三边值问题差分格式解的存在唯一性.由于系数矩阵及非线性项均依赖变量t,因而推广了已有结果.     

大系统在稳定性理论中的分解问题(Ⅰ)

本文应用李雅普诺夫函数方法研究了微分差分方程组所描述的大系统在稳定性理论中的分解问题,同时给出了滞后界限与分解系数的公式△。在滞后τ为零时,得到微分方程组所描述的大系统的分解及分解系数的估计公式。     

二阶方阵n次幂的普适公式及应用

二阶方阵的n次幂的研究一直没有给出完整的通用公式.采用矩阵变换及复数变换等研究方法,给出了二阶方阵n次幂的通用公式,给出了分式差分方程、二阶线性差分方程及差分方程组的完全解,应用该公式得到了二端梯形电阻网络等效电阻的通用公式.所得结果可使相关问题中的计算得到简化.     

关于平稳时间序列中Yule——Walker方程的求解

在用平稳时间序列作预报中,离不开求Yule—Walker方程[1]的解。这个方程的系数矩阵是平稳时间序列一段的协方差矩阵,它一般是非负定的。在资料[2][3]中曾给出过求解Yule—Walker方程的递推公式,但此公式只适用于系数矩阵是正定的情况,而对非负定的情况,可以举出反例,说明这个公式不适用。本文的目的是用分块矩阵方法证明在系数矩阵正定时确有[2]中递推公式,论证方法不涉及Hilbert空间及其投影定理,结论按多维平稳时间序列形式叙述,而当系数行列式为零时,给出另一个求解的递推公式,这个公式及其证明似未曾见有。沿用资料[4]中记号,所谓优维平稳时间序列的Yule—Walker方程是指下面的矩阵方程: