E_π~n-群的子群

设G是有限群,π是若干素数组成的集合.若G含有Hallπ-子群,则称G为E_π-群;若G是E_π-群,并且其所有Hallπ-子群均共轭,则称G为C_π-群;若G是C_π-群,并且G的任意π-子群均含在某Hall π-子群,则称G为D_π-群.此外,如果G含有幂零Hallπ-子群,称 G为E_π~n-群.有例子表明:E_π~n-群的子群不必为E_π~n-群,如G=PSL(2,31),π={3,5},这时G为E_π~n-群,但G含有同构于A_5的子群H,而H不是E_π~n-群.     

单群的一种数量特征

本文只讨论有限群,文中记号是标准的.设G是有限群,用π(G)表|G|的素数因子的集合.用[x]表示不超过x的最大整数.用纯数量来刻划群历来被群论工作者重视,并有许多好结果(见文献[1]).这种研究可分成几个方面,其中一个重要的方面是用极大子群的阶或指数来刻划群的特性.例如,Huppert关于超可解群的著名定理:有限群G超可解(?)G的极大子群的指数都是素数.Guralnick给出了有素数幂指数的极大子群的单群,并证明极大子群的指数都是素数幂的群G可解或G/S(G)(?)PSL(2,7).王殿军用极大子群的阶的集合刻划了SL(2,q).作者从极大子群的指数的因子情况和类数等不同的角度来研究群的结构,获得了一些结果.通过这些研究可以看到极大子群的指数集合或阶的集合对群的结构有很大的影响.我们猜想这两个集合能够用来刻划群特别是单群.本文已获得下列定理:     

关于Mukhin的一个问题

在文献[1]中Mukhin提出了如下公开问题:是否存在有限非交换单群,使得它的全部sylow子群的正规化子均有奇指数?在本文里,我们利用有限单群分类定理证明了如下定理。定理如果有限群G的全部sylow子群的正规化子均有奇指数,那么G为2-幂零群。这样,我们完全解决了Mukhin问题。以下假定所讨论的群均为有限群,所用术语和符号同文献[2]。证设群G为极小阶反例。我们首先证明G为非交换单群。实际上,容易证明定理的     

形如Np的子群系可补的局部群系

本文中所有群为有限群。定义和符号参见文献[1～3]。这里给出本文常用的一些概念与符号。一个群类称为群系,如果它关于同态像和次直积是封闭的。非空群系(?)称为局部的,如果由可推得一个群类(?)称为Fitting类,如果满足以下两个条件:1)若N为G的次正规子群,则若N_1,…,N_t为G的次正规子群且N_i∈(?),i=1,…,t,则。一个群系的局部子群系如果同时是一个Fitting类,则称之为局部Fitting子群系。设(?)为某一群的集合。我们用form(?)表示由群集合(?)生成的群系,用lform(?)表示由(?)生成的局部群系,π(G)表示群G的阶的素因数的集合,表示所有幂零群的群系,N_π表示所有幂零π-群的群系,(1)表示单位元群系。群系(?)的子群系(?)_1称为在(?)中可补的,如果(?)_1在(?)的子群系格里可补,即存在(?)的子群系(?)_2,使得且.     

Eπn-群的子群

<正>设G是有限群,π是若干素数组成的集合.若G含有Hallπ-子群,则称G为E_π-群;若G是E_π-群,并且其所有Hallπ-子群均共轭,则称G为C_π-群;若G是C_π-群,并且G的任意π-子群均含在某Hall π-子群,则称G为D_π-群.此外,如果G含有幂零Hallπ-子群,称 G为E_π~n-群.有例子表明:E_πⁿ-群的子群不必为E_πⁿ-群,如G=PSL(2,31),π={3,5},这时G为E_π~n-群,但G含有同构于A₅的子群H,而H不是E_πⁿ-群.     

关于具有给定西洛子群正规化子的有限群

近年来一系列工作用于研究具有给定西洛子群正规化子性质的有限群.文献[1]证明了,如果有限群G的任意非单位西洛子群的正规化子幂零,则G本身幂零.在文献[2]中指出,所有超可解有限群的群系U不具有这种性质.换句话说,如果有限群G的任意非单位西洛子群的正规化子超可解,那么G可能非超可解.有限幂零群的群系是继承的局部(?)-群系,而U不是(?)-群系.由此产生一个问题:哪些继承局部(?)-群系具有如上所指的性质?本文在可解群类中完全解决了这个问题.此问题由教授提供.     

关于Zassenhaus猜想

一、问题的提出 在文献[1]中,Thompson用Glauberman关于特征K-函子的结论解决了Zassenhaus提出的一个著名的猜想,即证明了如下定理: 设G为有限群,对G之每一Sylow子群P,有N_G(P)=P,那么|G|为一素数的幂(文献[1]X.8.15)。     

关于有限单群的阶

研究有限单群的阶历史上有著名的Brauer纲领。文献[1]的作者证明了:若G是有限偶阶群,|G|>2,则G中含真子群H,满足|G|≦|H|~3。由于奇阶群可解,上述定理中偶阶的条件显然可去掉。在研究有限单群的过程中,用群阶与单性为条件来刻划单群有不少零星的结果,如见文献[2]。本文受上述工作的启发,用单群分类定理从两个方面来研究有限单群的阶,从而推广了上述结论。我们的研究表明,除少数例外情形外,几乎所有的有限单群均可用群阶与单性加以刻划。本文所讨论的群恒为有限,所用的符号都是标准的。     

关于有限群的相关正规补子群

本文所论群均为有限群,π为素数之集合,π′为其余集,π(G)表示群G的阶的素因数集合。     

K_4单群的分类定理

称群阶的相异素因子恰为n的有限单群为K_n单群。利用单群的分类定理本文证明了: 定理1 设G为K_4单群,则G同构于下述群之一: (Ⅰ)L_2(2~4),L_2(2~r),r≥5,2~r-1是Mersenne素数,是一素数的方幂。     

关于具有T.I Sylow p子群的有限群的p可解性

Feit曾利用抽象群论的方法,巧妙地证明了下面的定理。 定理1 设G是任意有限群,G的Sylow p子群P是循环的。若G有正规子群N使得P|(|N|,|G/N|),则G是p可解的。 此定理在讨论具有循环Sylow P子群的有限群的理论中占有十分重要的地位,Brauer在文献[1]中还曾利用模表示论的方法再次给出定理1一个精彩证明。1985年Blau证明了     

有限群的正规π补

文章中出现的群都是有限的,C是一个群,H是它的一个子群,如果(|H|,(G:H))=1,则称H为G的Hall子群。如果G的正规子群X满足KH=G,K∩H=1,则称K是一个H的汇规补子群。 令π为一个素数集,它关于素数的补集合记为     

n循环与n超可解群

R. Baer等曾讨论了n可换,n可解与n幂零群并得出一系列结果。但尚未见有文献提出n循环与n超可解群。本文给出n循环与n超可解群的定义及其若干结果。以下用符号G(n)表示群G的子集{x~n|x∈G},n—G表示群C的子集{x|x~n~i=e,i为某非负整数,e为G的单位元},P_a—G表示群G的子集{x|(o(x),n)=1},其中o(x)表示x的阶。若G=n—G,则称G为n群。若G=P_n—G,则称G     

允许素数阶互素自同构的有限解

本文中涉及的群都是指有限群。文中使用的一切符号的意义遵循文献[1]。 首先作一说明。设群G允许素数r阶自同构α,且r|G|。令A=<α>,那末C_G(α)=C_G(A),且G的“A不变子群”与“α不变子群”等同,所以在涉及此情形时,我们可应用文献[1]定理6.2.2.     

关于有限单群的若干结果

Ⅰ.关于有限单群的阶 定理 有限单群G的阶不为k(≥3)次幂。G的阶为平方的充要条件是,G为Lic型单群B_2(p),其中p为满足下式的素数:     

一类特殊的有限群

本文研究元的阶除1和一个数m外均为质数的有限群(简称为有限拟m质元群),得到如下结论: 定理1 设G为可解拟m质元群,则下述情形之一成立: Ⅰ.G是方次数为p或p~2的P群。     

极大子群同阶类类数不大于2的有限群

S.Adnan曾证明如下定理: 设G是有限群,G中极大子群的共轭类类数为2,则G可解。 我们将极大子群共轭类推广到同构类,     

关于满足置换化条件的有限群

设G是任一有限群,H是G的一个子群。我们把P_G(H)=H=H>称为H在G中的置换化子。若对G的任何真子群H,有H(?)P_G(H),则称G为满足置换化条件的群,我们简称之为PC群。在文献[1]中对可解PC群已有了一些研究。例如,超可解群是PC群,奇阶PC群是超可解的等。但是容易验证,S_4即四个文字上的对称群是可解PC群,它不是超可解的。因此,一般地说,偶阶PC群不一定超可解。本文对PC群的性质进行了研究,给出了可解PC群为超可解的充分且必要的条件,即下面的定理1。     

有限单群的一种新刻划

在本世纪70,80年代,Kwok Marcel等和Adilson等人证明了PSL(2,2~m),G_2(q),J_1可由其特征标表唯一决定.本文将证明如下:主要定理 设G是有限群,M是单群,G和M有相同的特征标表,则G(?)M.我们的证明思路是这样:由文献[5]知,要证明主要定理只需证明B_n(q)和C_n(q),q为奇质数幂,不能有相同的特征标表.我们下面去证B_n(q)和C_n(q)的共轭类长度之集合不同.     

幂零几何轨道数据的抛物诱导

本文恒假定G是复连通约化代数群,P=LU_p为G的抛物子群,其中L,U_p分别为Levi子群与幂零根基,(?),(?),(?),(?)_p分别为它们的Lie代数。 Dixmier映射是Lie群表示论中一个重要课题,除SL(n,C)外,仅余伴随轨道不足以实现Dixmier映射。于是Vogan提出轨道数据的概念。同时,给出了轨道数据的抛物子群诱导法。抛物诱导法是表示论中十分有效的方法。然而只有其与抛物子群选取无关时,才有理