微分方程组(dx)/(dt)=P_3(x,y),(dy)/(dt)=Q_3(x,y)的週期解与极限环

討論题目中P_3(x,y)与Q_3(y,x)是具实系数的三次多項式时的方程組的週期解与极限环問题。設方程組至少有一指标为+1的初等奇点且可写成下列形式 dx/dt=-y+xF_1(x,y)+gy~2+hy~3,dy/dt=x+yF_2(x,y)+rx~2+sx~3其中,F_1(x,y)与F_2(x,y)均为二次多項式。当g=h=r=s=0时,在F_1(x,y)≡F_2(x,y)或F_2(x,y)≡0的假設下,就上列方程組建立了极限环的存在唯一性定理。此外,对上列方程組本身以及其他一些特殊情况分別給出了存在极限环或不存在週期解的充分性条件。     

微分方程组(dx)/(dt)=y μxF_1(x,y),(dy)/(dt)=-x μyF_2(x,y) (1)_μ极限环之研究

本文研究平面自治系统(1)_μ的极限环问题,其中μ是参数,F_i(x,y)(i=1,2)表示x,y的二次或二次以上的多项式.由文[1]不难给出基本定理。已知单参数平面定常系统     

方程(dx)/(dt)=-y-y~2 mxy dx,(dy)/(dt)=x(1 ax)的极限环的位置估计与唯一性

本文对方程(dx)/(dt)=-y-y~2 mxy dx(dy)/(dt)=x(1 ax) a<0 (1)的极限环唯一性进行探讨,得到一些初步结果。此外对方程(1)_(d=0)的分歧曲线的性质进行分析,得到此文(3)更精确的结果。     

微分方程(dx)/(dt)=h(y)-F(x),(dy)/(dt)=-g(x)存在极限环的一个充分条件

For the equations dx/dt=h(y)-f(x), dy/dt=-g(x)there are some results about the existence of limiting cycle under the monotone condition provided on h(y). In this paper, the same result without the monotone assumption is proved.     

方程(dx)/(dt)=-y+dx+lx~2+xy+ny~2,(dy)/(dt)=x的极限环的唯一性

关于方程的极限环的唯一性问题已在[1,2,3]诸文中得到一些结果。为今后讨论方便计,不失一般性,可以假设(1)中有 l+n>0,d<0。那末如图1所示,在(l,n)参数平面上唯一性问题已经得到解决的是:等四种情况。本文的目的是要证明: 定理 设在方程(1)中有1-4ln>0,则如存在极限环的话,必定是唯一的。 §1.n<0的情况. 在(1)中作变换其中是方程的正实根,则(1)变为方程(5)又变为:其中可知d'+l'是d的单调递增函数,当d从0变为负时d'+l'单调减少. 引理 当d'+l'=0时方程(7)不存在闭轨线. 证:在方程中作变换可得化为二阶方程,得到最后,化到Lienard平面,得到现…     

方程(dx)/(dt)=-y dx mxy-y~2,(dy)/(dt)=x(1 ax)的轨线的全局结构

本文就方程dx/dt=-y dx mxy-y~2,dy/dt=x(1 ax)已知不存在闭轨线和含奇点闭轨线,且d=m时的各种可能情况来分析其全局结构及在(a,m)参数半平面上分歧曲线的存在性与相对位置,同时证实了文[2]的关于分歧曲线的一点猜想:当方程d=0,m′<-a′时的(?)是一条真正的曲线,它不可能有内点,也不可能多于一条。     

环面上微分系统(dx)/(dt)=Siny,(dy)/(dt)=-Sinx μSin2y (1)_μ的定性研究

在相平面上取基本正方形,S=[-π,π]×[-π,π],在S对边相对点处确定着系统(1)_μ相同的向量,将S的对边等同看待而得到的环面记为T,从而得到环面T上的微分系统(1)_μ.     

微分系统里dx/dt=P(x,y),dy/dt=Q(x,y)极限环的存在性

本文使用文[1],[4]的方法研究了非线性二次系统(1)的极限环的存在性,得到了(1)存在极限环的充分条件,并推广了文[1],[4]中相应的结果     

(Ⅱ)类方程的分歧曲线(二)——方程(dx)/(dt)=-y+dx+mxy-y~2,(dy)/(dt)=x(1+ax)的分歧曲线的趋向及其唯一性

本文对文[1]中讨论的方程:dx/dt=-y dx mxy-y~2,dy/dt=x(1 ax)(d=m)作了进一步的研究,利用文[3]的结果证明了C_2的唯一性;研究并且确定了分歧曲线C_1的趋向,对文[1]的定理7作了修改,用此严格证明了C_2~*的存在性和唯一性。     

关于变系数线性系统(dx)/(dt)=A(t)x与(dy)/(dt)=[A(t) B(t)]y的渐近等价性

对于线性系统(H)和(NH),当系数矩阵A(t)=A 为常数阵时,文[2]建立了它们之间的渐近等价关系.本文的定理针对A(t)是变系数矩阵的情况,得到系统(H)和(NH)的渐近等价性。     

求方程组(dy)/(dx)=Ay+P_m(x)~(e~(x))特解的矩阵解法

本文讨论方程组dy/dx=Ay+Pm(x)e~(αx)(1)的矩阵解法,其中A为n阶常系数矩阵,Pm(x)为m次矩阵多项式,α为常数.通常书中所给出的求这类方程特解的待定系数法只能在具体方程给出后由手工计算求解,无法在计算机上实现.关于齐次方程组dy/dx=Ay(2)的基解的一般递推公式已有人给出.本文用矩阵导出求(1)的特解的一组递推公式,与[2]中公式相结合形成了求(1)的通解的完整算法。这一算法易于编制程序,完全实现了用计算机解方程组(1)的目的.     

方程 (dy)/(dx)=((r_2x~γ-d)y)/(ax-r_1x~γy E)极限环的存在性

本文研究一类微分生态系统,并证明了极限环的存在性及唯一性定理.     

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0的所有积分因子

本文从积分因子和微分方程的通解之间的关系入手,以具有z(x,y)=c形式的通解为媒介,讨论一阶微分P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0方程的所有积分因子,找到其所有积分因子的抽象表达式。     

(dx)/(dt)=AX 系统解的形式及其稳定性定理研究

给出了具有非均衡行为的经济系统解的形式,并且对于其稳定性的理论以及近似迭代的可行性进行了证明。     

系统=-( F)/( y),■=( F)/( x)+(ax+by+c)F(x,y)的代数极限环

文[1]最早提出并全面、深入地研究了二次系统的二次代数极限环。文[2]对形如 =- F/ y(ax+by+c),■= F/ x(ax+by+c)+F(x,y)的代数极限环进行过研究。这里F(x,y)=0是n次代数曲线。本文就另一种形式的系统     

微分方程dy/dx=(a_1x b_1y c_1)/(a_2x b_2y c_2)

1.引言对于这类方程的传统处理,是就系数比a_1/了_1与a_2/b_2相等和不等的情况而分为两支进行独立研究。当a_1/b_1≠a_2/b_2时,先化成齐次式     

一类动力系统dy/dx=x_1/P_3(x,y)的全局结构

本文考察了以抛物线ｙ＝ａｘ２＋β为特解的一类三次系统的全局结构。首先得出其等价系统，然后通过对其奇点的分析及应用Ｄｕｌａｃ—函数证明了这一系统在全平面上无极限环。     

关于方程组■=h(y)-F(x),■=-g(x)存在极限环的条件

本文考虑类似Li毛nard方程 方二夕一F(劣),夕二一g(大)而又比它广泛的方程组 方一儿(y)一F(大),少=一g(工).(,) 议下总假设h(y),F(幻及g(幻均在(一oo,+、)上连续,且有工g(幻>o(,、。),‘(士oo)一+co,G(*)一{:g(‘)d‘.在。”几HnnoB变换“’下,(,)变为念==g,(么)(h(y)一F‘(么)),二二一g;(么)(1)及其中 含井g:(:)(h(y)一F:(么)),夕=一92(么),2》0,召2仁么)》0,92(才)《0.定理1.假如(2),g(劣)>0,劣今。,G(士co)二+oo,夕h(y)>o,y今。,反孙严格单增,G(:)一{:g(“,“,hC卜。)=十co,h(一二)一一oo;劣F(,)雀。,但F(%)等o,当}劣l<<1;存在J>o,…     

关于微分方程dy/dx=(a_1x b_1y c_1)/(a_2x b_2y c_2)的解法

讨论了微分方程dy/dx=a_1x b_1y c_1/a_2x b_2y c_2的一般解法,并给出了该微分方程的另一种解法。