p-级数散敛性的2种简易证明方法

p-级数是数项级数中一类特别重要的正项级数,通常被作为比较级数,结合级数散敛性的比较判别法及比较判别法的极限形式来证明其它正项级数的散敛性.关于p-级数散敛性的证明已有很多种方法,如比值审敛法、定积分证明法、柯西审敛法、比较审敛法和级数收敛定义法等.利用李海涛教授1984年证明的关于正项级数散敛性判定的一个公式,给出证明p-级数散敛性的2种简易证明方法.通过这些证明,能激发学生对级数的学习和研究的兴趣,该方法也可用来证明其它级数的散敛性.     

p一级数敛散性的几何解法

p—级数是一种重要的级数。在考察正项级数的敛散性时,我们常将它与p—级数作比较,从而利用比较审敛法可判断其它正项级数的敛散性。本文利用定积分的几何意义,数形结合给出了判断p—级数敛散性的一种简便、直观的解法。     

级数敛散性的两个新判别法

判别级数∝∑（ｎ＝１）μｎ的绝对收敛性，主要归结为判别正项级数∝∑（ｎ＝１）│μｎ│的敛散性。正项级数敛散性判别法有各种各样的形式本给出利用一阶导数判别级数敛散性的两种新方法。     

交错级数敛散性的一个新判别准则

交错级数是数学分析重要内容之一,对交错级数敛散性的判别方法目前并不多.关于交错级数的敛散性,给出一个新的判别准则,利用这个准则不仅能够判定一个交错级数的敛散性,而且能够判定交错级数是绝对收敛还是条件收敛.选择实例对给出的判别准则的可行性进行了检验.     

正项级数敛散性判别法的进一步探讨

考察了几类正项级数的特点，得到三种简单方便的判别法，据此，对于某些正项级数敛散性的研究可以更为方便、更为精确。     

一类交错级数的敛散性判定

级数的敛散性判定本质上是函数极限的计算.基于高等数学中级数敛散性判别的多种方法,并利用特殊函数的极限,给出了一类交错级数的敛散性.     

有关级数敛散性的几个结果

本文利用构造性的方法，讨论了一个级数的加权级数的敛散性问题，并把所得的结果推广到广义积分上。     

Riemann重排定理的推广

关于实数级数的重排,Riemann给出了一个令人难以置信的结果:任何条件收敛级数都可以重排而得到发散级数。现在反过来问:是否存在这样的发散级数,经过适当重排后可以得到收敛级数呢?本文通过对发散级数重排后敛散性的讨论,对上述问题作出了回答。     

正项级数敛散性的“跃项比值”判别法再探

本文是对本人前作《正项级数敛散性的“跃项比值”判别法》的再探,给出了正项级数敛散性的“跃项比值”比较判别法,进而将“跃项比值”判别法无限精细化。     

正项级数敛散性的“跃项比值”判别法

本文利用“跃项比值”,给出了一类(各项单调减少的)正项级数敛散性的“跃项比值”判别法及其极限形式.据此,又得到了一些具体的判别法,用于判断此类正项级数的敛散性.     

正项级数审敛法探究

借助级数∞∑n=21/1(lnn)~r(r≥1)利用比较原则,推出了判别正项级数敛散性的一个新方法,并在此基础上得到了通项递减的正项级数的一个审敛法.所给结论强于双比值判别法,且利用所得结论判断p-级数∞∑n1/n~p的敛散性比以往判断方法均简单.     

柯西积分判别法与比较原理的应用

分析了数学分析课程中的一类级数敛散性题型,其中部分题目选自研究生入学考试试题.基于柯西积分判别法和比较原理,证明了某些正项级数的敛散性,并将这些结果推广到更一般的情形.实践表明,这些措施有利于学生理解柯西积分判别法和比较原理的应用.     

一类级数敛散性的判定问题

通过建立一组离散型不等式(1/2√n)p≤[(2n-1)!!/(2n)!!]p≤(1/√2n)p(p>0)和(1/2√n)p≥[(2n-1)!!/(2n)!!]p≥(1/√2n)p(p<0),讨论了级数∞∑ n=1[(2n-1)!!/(2n)!!]p(p∈R)及其由它衍生的相关类型级数的敛散性问题,并给出了一些相应的实...     

判别常数项级数敛散性的思路分析

文章对判别常数项级数敛散性的方法进行了归纳总结，得到一般的思路规范。     

利用和函数判断数项级数收敛问题的解法

直接利用级数收敛的定义判断级数的敛散性时,要先求出和函数(前n项和sn)的表达式,然后判断当n?$时,前n项和sn的极限是否存在.对于具有特殊形式的数项级数,给出快速求出和函数的若干方法,进而判断级数是否收敛.     

正项级数敛散性判别法的推广

以正项级数∑1lnn(lnlnn)~β(β>0)为标准建立了比Gauss判别法更为精细的两种判别法,并推广到一般情况,从而得到了正项级数敛散性判别法的推广形式.     

矩阵的秩和非零特征值个数关系的进一步讨论

本文给出了矩阵的秩和非零特征值个数的差的等式与不等式,并讨论这个不等式的上下界等式成立的多角度的等价描述.     

一个极限公式在判别级数敛散性中的应用

利用积分法求数列极限在瑕积分中的推广,得到一个常用的极限公式,可以在数项级数敛散性判别中有广泛的应用.利用这种方法可以极大地提高学生的解题能力.     

正项级数比较判别法极限形式的探析

大部分高等数学教材都是从极限义出发,给出正项级数比较判别法极限形式的证明方法.从函数极限义的一个等价条件出发,利用无穷小的思路,给出正项级数比较判别法极限形式新的证明方法,对原来的理进行完善,同时给出具体实例说明该理的几种特殊情况.这些结论对正项级数敛散性的判有一的理论意义.     

N.H.Abel定理的推广

本文详尽讨论了级数∑nan/Sn^αS^n-1β(α,β≥0）的敛散性，式中n=∑k=1^nak(ak≥0)→＋∞（n→∞）从中得到一些有价值的结果，N.H.Abel定理则是文中命题2（当β＝0，α＝1＋ρ，ρ＞0时）之特例。