群的阶方程

本文引入有限群的阶方程的概念,讨论了阶方程的一些性质,证明了下面的结果:若G_1与G_2是n阶可换群,则G_1≌G_2(?)G_1与G_2有相同的阶方程。 定理1.设群G含有r个d阶元素,K_d个d阶循环子群,则r=k_dφ(d)。 证 由于d阶循环子群恰有φ(d)个生成元,而不同的d阶循环子群有不同的生成元,因此G的d阶元素的个数为k_dφ(d)。证毕。 定理2.设G是n阶群,则有n=>k_dφ(d),其中k_d为G的d阶循环子群的个数、k_dφ(d)是G的d阶元素的个数,并且有:1)k_1=1;2)若p是质数,且p|n,则k_p>0;3)若k_d>0,又d'|d,则k_d'>0;4)若G可换,且k_(d_1)>0,k_(d_s)>0,d_3=[d_1,d_2],则k_(d_3)>0。     

对称群Sn（n≤15）的一个新刻画

本文首先通过计算给出了对称群Sn(n≤15)的阶|Sn|，最高阶元的阶k1(Sn)，次高阶元的阶k2(Sn)及第三高阶元的阶k3(Sn)。然后利用有限单群分类定理证明了Sn(n=1,2,…,9,11,13,14)可由|Sn|和 k1(Sn)刻画，即有限群G同构于Sn当且仅当|G| = |Sn|且k1(G) = k1(Sn)。最后对Sn(n=10,12,15)证明了它们可由|Sn|和 k1(Sn)， k2(Sn)及 k3(Sn)刻画，即G同构于Sn当且仅当|G| = |Sn|且k1(G) = k1(Sn)， k2(G) = k2(Sn)及 k3(G) = k3(Sn)。
     

关于一些交错单群的新刻画

设πe(G)表示群G中元素阶的集合,k1(G),k2(G)分别表示G中最高阶元素的阶和次高阶元素的阶。V.D.Mazurov等人2009年证明了用元素阶集合πe(G)和群的阶G刻画有限单群。本文试图用更少的数量刻画交错单群,并证明了:1)设G为有限群,M为交错单群An(n=5,6,7,9,10,11,13),则G≌M当且仅当|G|=|M|,且k1(G)=k1(M);2)设G为有限群,M为交错单群An(n=8,12),则G≌M当且仅当|G|=|M|,且ki(G)=ki(M),i=1,2。     

Dλ——圈的一个充分条件

设G是n阶K连通图 ,若存在t≤R ,且对G中任何t 1个相互独立的λ阶子图H0 ,H1,… ,Ht (记H =∪ti=0 Hi) ,有 ti=0 |N (H/Hi) |>t (n -λ) ,则G有Dλ—圈 .     

若干型实二次域的类群

设实二次域K=Q(m~(1/2)),m=s~2 r.若r|4s,则K称为ERD型。本文研究了r|6s或r|8s的情形,给出了K的类群H(m)和类数h(m)若干结果。例如若m=(8n 5)~2 8,则(2,(1 m~(1/2))/2)是主理想,h(m)=1的可能较大;若m=s~2 8t,s/t∈z-2z,则A=(2,(1 m~(1/2))/2)在H(m)中阶为1,2,或4,若类A~2≠1则4|h(m);若m=(3·z~n t-3)~2/4 3t,t|z~n-1,则在一定条件下H(m)含n阶循环子群。证明方法与作者在ERD型的若干工作类似。     

可解完全线性群的阶

证明了可解群阶的定理:令V≠0是有限拟本原G 模,|V|=qn,素数q>0,G为完全线性群GL(V)的一可解完全可约子群,则a)|G|≤|V|α/λ,b)若2 |G|,且q≠2,则|G|≤|V|3/2/241/3。除非qn=23、26、28、29、32、34或54,或者G≌(Γ(22)wrZ2)F、Γ(24)F或(S3wrZ2)F,F是25阶超特殊群。常数4α=6(3)1/2,即1.68<α<1.69,且常数λ=31/2。     

有限超可解群的一些充要条件Ⅱ

主要证明了如下的结果假设M是有限群G的任意极大子群,则下列命题是等价的(1)G是超可解群;(2)M补于G的某个素数阶主因子;(3)有H(△)G使M∩H为H的正规的极大子群;(4)M/MG为幂指数整除p-1的Abel群且|G∶M|为素数p的幂;(在下面的(5)～(8)中假设G之所有含于F(G)和Φ(G)之间的主因子在G中的中心化子之交是可解群.)(5)Φ(G)=H0＜H1＜…＜Hr=F(G)为G的一个主列片段,其中每个主因子Hi+1/Hi是素数阶的;(6)若F(G)≤(△＼)M,则M补于G的素数阶主因子;(7)若F(G)≤(△＼)M,则M/MG是幂指数整除p-1的Abel群且|G∶M|为素数p的幂;(8)若F(G)≤(△＼)M,则M∩F(G)为F(G)的极大子群.     

Irr(G|N)的一些性质

在给定了Irr(G|N)的某些条件下,讨论了导长dl(N)与|cd(G|N)|的关系,并给出了群N的一些结构,即定理1若NG且N可解,则dl(N)≤|Irr(G|N)|.定理2若NG,Irr(G|N)中所有特征标单项,则dl(N)≤|cd(G|N)|且N可解.定理3若NG,Irr(G|N)中每特征标维数不同且G可解,则下列情形之一成立(i)N有特征子群序列N=N0＞N1＞…＞Nk-1＞Nk=1使Ni+1为Ni的正规pi补;(ii)N为Abel群;(iii)N为超特殊2群;(iv)N为2可迁Frobenius群,且Frobenius补循环;(v)N为72阶2可迁Frobenius群,且Frobenius补为四元数群;在(ii)-(iv)中,N为偶阶群或N=1.     

关于一些对称群的新刻画

设G为有限群,k1(G)表示群G中最高阶元素的阶.证明了:对称群Sn可以由其阶|Sn|与最高阶元素的阶k1(Sn)唯一刻画,其中n=5,6,7.     

一些笛卡尔乘积图的限制连通度

子集S(∩)V(G)称为限制割,若任何点v∈V(G)的邻点集NG(v)都不是S的子集且G-S不连通.若G中存在限制割,则定义限制连通度κ1(G)=min{| S|S是G的一个限制割}.考虑了笛卡尔乘积图,证明了设G=G1×G2×…×Gn,若Gi是满足某些给定条件的ki连通ki正则且围长至少为5的图,其中i=1,2,…,n,则κ1(G)=2n∑i=1ki-2.     

一类整数距离图的点荫度

整数距离图以全体整数作为顶点集，顶点u、υ相邻当且仅当｜u-υ｜∈D，其中D是一个正整数集．对于m〉3，令Dm=[1,m]／[1,3]．本研究得到了G（Dm）的点荫度．     

对称群Sn（n≤15）的一个新刻画

本文首先通过计算给出了对称群Sn（n≤15）的阶｜Sn｜,最高阶元的阶k1（Sn）,次高阶元的阶k2（Sn）及第三高阶元的阶k3（Sn）。然后利用有限单群分类定理证明了Sn（n=1,2,…,9,11,13,14）可由｜Sn｜和k1（Sn）刻画,即有限群G同构于Sn当且仅当｜G｜=｜Sn｜且k1（G）=k1（Sn）。最后对Sn（n=10,12,15）证明了它们可由｜Sn｜和k1（Sn）,k2（Sn）及k3（Sn）刻画,即G 同构于Sn当且仅当｜G｜=｜Sn｜且k1（G）=k1（Sn）,k2（G）=k2（Sn）及k3（G）=k3（Sn）。     

单群A11的一个特征性质

设G是一群.πe（G）表示群G的元素阶的集合,mi：=｜{g∈G｜g的阶为i}｜表示群G中i阶元个数,nse（G）={mi｜i∈πe（G）}表示群G中同阶元的长度的集合.本文对单群A11给出了新的刻画,即证明了：GA11,当且仅当下面条件成立：（1）｜G｜=｜A11｜,（2）nse（G）=nse（A11）.     

关于群的幂自同态的一个注记

设f：G→G是群G的自同态,满足f（x）＝xn（？x∈G）,证明了G是交换群当且仅当n＝-1或2;设M＝｛n｜f：G→G是群G的自同态,满足f（ x）＝xn ,？x∈G｝,证明了G是交换群当且仅当n遍历M中所有元时,所有形如n（ n-1）元的最大公因数为2．     

树的k-分支限制控制数的一个下界

设G=(V,E)是一个图。集合S■V称为一个k-分支限制控制集,如果S是一个限制控制集且G[S]最多有k个分支。G的k-分支限制控制数是G的最小k-分支限制控制集的基数,记作γkr(G)。证明了若树T有n个顶点,则γkr(T)≥max{「n+2/3┐,n-2(k-1)},而且刻画了可以达到这个下界的树。     

无K_(1,t)图的L(d,1)-T标号

给定一个连通图G=(V,E)及其一棵支撑树T,图G的一个L(d,1)-T标号即函数g:V(G)→{0,1,2,…},满足:(1)如果xy∈E(G),则|g(x)-g(y)|≥1;(2)如果dG(x,y)=2,则|g(x)-g(y)|≥1;(3)如果xy∈E(T),则|g(x)-g(y)|≥d.假设图G有一个L(d,1)-T标号函数g:g(V){0,1,2,…,k},则图G的所有L(d,1)-T标号函数中最小的整数k记为L(d,1)-T标号数λdT(G,T).本文证明了若G是无K1,t(3≤t≤n)的连通图,其最大度为Δ,|G|=n,T为G的任意支撑树,则λdT(G,T)≤tt--12Δ2+Δ+2d-2.     

泛圈图的一个新的充分条件

设G是一个阶为n的2－连通简单图,αv表示G中包含点v的最大独立集的点数,对任意uv不属于E,设Tuv=V\(N(u)∪N（v)),αuv=min{αu,αv}。本文证明了：如果对于任一对不相邻点u,v,｜N（u)∩N(v)｜≥min{αuv-1,｜Tuv｜},则除了一些特殊图外,对于G的任一点x和任意整数k(4≤k≤n),G包含长度为k县包含点x的圈。     

虚二次域Q(a2-4kn)类数的可除性

设D是无平方因子正整数，h(-D)是虚二次域Q(-D)的类数.当D=4kn-a2时，其中a,k,n是适合k＞1，n＞1的正整数，除了几种已知的情况以外，必有n/2｜h(-D)或n｜h(-D).     

半范数pA的特征

记A={a_i}^∞_i=1={(a_i,j)^∞_j=1}^∞_i=1?S⁺_l1,其中,S⁺_l1={x=(x(n))∈l₁:‖x‖=1,x(n)≥0,∠n∈N},p_A(x)=limi→∞ sup∑j=1a_i,j|x(j)|,则limi→∞ S_i≡limi→∞supj a_i,j=0,当且仅当对任意非空集合B?N,任意0≤β≤p_A(χ_B),均存在C?B,满足p_A(χ_C)=β.对B?N,记φ_A(B)=p_A(χ_B),证明了φ_A 的强无原子性当且仅当理想I_A={A?N:p_A(χ_A)=0}的无原子性.     

无三角形3-正则图的几个参数的界

图G的一条边称为割边是指删去该边后,使得余下的图的连通分支数增加。图G中的一个两两不相邻的边子集称为图G的一个匹配。图G的一个最大匹配的边数称为图G的匹配数。图G中的一个与G的每个团都有交的顶点子集称为G的一个团横贯集,图G中元素个数最少的团横贯集的顶点数称为G的团横贯数。本文针对n阶连通无三角形的3一正则图G-（V（G）,E（G））,首先给出了其割边数的一个上界（n—l0）／4;其次对它的匹配数得到了一个下界（11n-2）／24;再次对它的线图的团横贯数呈现了一个上界（13｜E（G）｜＋3）／36。同时刻画了达到这些界的极值图。