无理数(√2)和e的数值计算与matlab实现

√2是人们最早认识的无理数,无理数e是数学领域最重要的常数之一,它们在科学计算领域占有重要地位.研究二者的近似数值计算方法,并用matlab实现.     

证明2~(1/2)是无理数的四种方法

本文从初等数学和高等数学的不同角度 ,给出了 2是无理数的四种证明方法 ,并证明了对于任意正整数 K,只要 K不是完全平方数 ,就有 K是无理数     

证明√2是无理数的四种方法

本文从初等数学和高等数学的不同角度，给出了√2是无理数的四种证明方法，并证明了对于任意正整数K，只要K不是完全平方数，就有√K是无理数。     

关于两类无理数的判断

《全日制十年制学校初中代数》第二册讲到3~(1/2)、5~(1/2)、2~(1/3)时指出这些数是无理数,但没有指出怎样判断它们是无理数,又学习对数时,有的学生往往会问老师lg2、log3、log_57等是不是无理数?怎样判断,一个对数是无理数?还是有理数?对于2~(1/2)、3~(1/2)、lgN(N为自然数,但不是10的正整数次幂)是无理数,学生一般用反证法就能证出,因而也会个别的判断这种数是无理数,但对于一般的a~(1/n)(a>0的整数,n≥2的整数)不是整数时,必是无理数;log_aN,(a、N都为正整数,但a≠1,且a、N互质)是无理数,要初、高中学生进行一般的判断和证明,是比较困难的。因为这两类无理数的证明,都要用到整数的整除性,而     

“万物皆数”的破灭与再生

希帕苏斯利用勾股定理发现了无理数,使＂万物皆数＂观点破灭.而为了破解无理数之谜,在验证无穷、连续性等问题方面,许多学者作出了贡献,从而使此观点得以再生与发展.     

实数的稠密性

实数的稠密性最简单的描述是任意两个不等的实数之间都有无限个其它实数.这个命题的证明是简单的.但是实数的稠密性的另一个含义,即任意两个不等的有理数之间都有无限个无理数,任意两个不等的无理数之间都有无限个有理数,确不容易显式的证明.文章利用实数的十进制表示来详细地证明这个事实.     

幂级数在判别无理数中的应用

命题1 当 m 是非零整数时,e是无理数.证明(只证 m 是正整数时即可,m 是负整数时易证)     

数学的三次危机

第一次数学危机是由不可公度量，也就是无理数的出现引发的。无理数的实质涉及到了无限与连续。而第二次数学危机由无穷小量引发，从正面直接面对无限与连续。     

实数构造理论的阐述

19世纪,数学分析理论的奠基工作,由于本身逻辑基础的不严密,在前进中已日益觉得步履艰难.必然要求建立严格的实数理论.因为没有无理数的严格定义,没有实数的完备性质,就不可能有严格的极限理论.19世纪下半叶,不少数学家从事于无理数的理论及实数完备性的研究,并最后完成了完备实数域的构造.这方面以康托尔和戴得金的实数构造理论为标志.     

一种优化的测试用例生成技术研究

为了缩短软件测试周期,测试用例的生成是关键.在利用随机数生成测试用例技术中,提出了基于无理数产生随机数的关键算法和生成优化测试用例的方法.通过实例证明,该方法在产生均匀、独立的随机数方面是有效的.     

基于无理数的DES加密算法

首先介绍数据加密标准(Data Encryption Standard,DES)和高级加密标准(Advanced Encryption Standard,AES),并对其安全性进行分析,然后提出基于无理数的DES加密方案.该方案利用无理数的伪混沌特性对密钥空间进行扩展,增加子密钥产生的随机性,使得每一组16次迭代所使用的子密钥各不相同,能够以和DES相同的时间开销,获得和AES相同的密钥空间.     

Mahler定理的注记

设g,h≥2是两个固定的整数,用a_h(g)表示0.(g~0)_h(g’)_h(g~2)_h…,这里(g~k)_h是指g~k的h进制展开式。K.Mahler用P-adic理论证明了当h=10时,a_h(g)是无理数,随后,Bandschuh将这一结果推广到任意h≥2,即证明了设g,h≥2是两固定整数,则τ_h(g)是无理数。     

有理数域上某类无理根多项式的若干研究

给出了n个无理数的和为根的有理系数多项式的构造方法,并且揭示了有理系数多项式及其无理根的一些联系.     

无理数的Diophantus逼近与Hurwitz定理

本文得到关于无理数Diophantus逼近的两个简单定理和一些重要推论,给出了Hurwitz定理的一个新的证明并改进了Hruwitz定理的结果.     

自由群的高可迁表示的注

自由群Fη(1＜η≤()0)在有理数集Q上有一个高可迁表示,若T是无理数集上的一个任意可数稠密子集,则可使得T是^Fη的一个轨道且对任意e≠^w∈^Fη变换T中的每一个点.     

三个常用无理数的带自由参数的级数展开式(英文)

虽然2~(1/2),3~(1/2)和5~(1/2)都是重要的无理数,但它们的级数展开式非常少.为此,本文用超几何方法建立这三个数学常数的级数展开式,相应的结论不但数量多而且带有自由参数.     

实数指数冪的一般定义

现行各种版本的《初等代数研究》教材(如关于无理数指数幂均采用大致与下述定义1相同的定义。 定义1 设a是不等于1的正实数,r是正无理数,r_n~-和r_n~+分别是r的精确到1/(10_n)的不足近似值和过剩近似值,规定数列{a~(r_n~-)}与{a~(r_n~+)}的共同极限是以a为底,以r为指数的幂,记作a~r,即     

一种减少泰勒公式计算误差的数值方法

利用泰勒公式计算某些无理数的近似值的时候,经常会把它分解为一些有理分数(这些分数可以是正数,也可以是负数)之和,然后把这些分数转化为有限小数.在分数转化为小数的时候,有些分数的转化是没有误差的,有些有误差.文章分析了这些误差产生的原因,以及怎样减少这些误差.     

化无理根d~(1/2)为连分数的有理算法

按照通常的算法,在将二次无理根d~(1/2)展开成连分数时,需要反复有理化分母和分离出无理数的整数部分,手续颇为烦琐.其实,无理根d~(1/2)的小数部分θ=d~(1/2)-(d~(1/2))是某个在有理数域上不可约的二次多项式的根,这一事实本身为我们提供了有用的信息.本文的目的,就是利用这一信息,描述一个简捷的算法—Z算法,使得展开d~(1/2)为连分数的过程,变为仅包含四则有理运算的迭代过程.这种算法,不仅简化了手工的运算,更重要的是能在计算机上简单地实现.     

整变量混合幂为3,4和5的非线性型的整数部分

用Davenport-Heilbronn方法证明:存在无穷多素数p,可用■的整数部分表示,其中x_i表示自然数,λ_1/λ_2是无理数,即■