多项式（1＋x＋x^2＋...＋x^k）^n的通项公式

多项式（１＋ｘ＋ｘ２＋…＋ｘｋ）ｎ的通项公式高玉玲吴效显（菏泽教育学院数学系，２７４０１５，山东菏泽；第一作者４９岁，女，副教授）二项式（１＋ｘ）ｎ的展开式的各项系数即二项系数组成一个三角形，这就是著名的杨辉三角形，也称Ｐａｓｃａｌ三角形．多项式（１...     

求x″（t）＋px＇（t）＋qx（t）=Me^λt特解的新方法

利用复变函数原理，建立了求二阶线性常系数非齐次微分方程特解的一个新方法．     

关于不定方程y（y＋1）（y＋2）（y＋3）=p^2kx（x＋1）（x＋2）（x＋3）

证明了不定方程ｙ（ｙ＋１）（ｙ＋２）（ｙ＋３）＝ｎｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）在ｎ＝ｐ＾２ｋ（ｐ为质数ｋ为自然数）时无正整数解。     

关于y″＋py′＋qy=（a0＋a1x）e^λx的特解

利用待定系数法给出二阶常系数微分方程y″＋py′＋qy=（a0＋a1x）e^λx的特解的一般公式。     

函数g（x）=af（x）＋bf（x＋T）收敛的充要条件

给出了函数ｇ（ｘ）＝ａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｘ＋Ｔ）收敛的两个充要条件，从而推广文〔１〕～〔３〕中的结果。     

带可变号系数q（t）的微分方程x″＋q（t）f（x）g（x′）＝0的振荡定理

本文研究带可变号系数ｑ（ｔ）的微分方程ｘ″（ｔ）＋ｑ（ｔ）ｆ（ｘ）ｇ（ｘ′）＝０的振荡性问题，也包含ｑ（ｔ）振荡时或不变号时的结果，得到有关振荡性的一些判别定理。     

关于f″（h（x）＋p（x）f‘（h（x）＋q（x）f（h（x））=F（x）的求解定理

文献中闸给出了ｆ′（ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）的若干求解公式，本文先提出三个引理，再借助复合函数求导法则，积分方法及变量替换法，给出新的微分方程ｆ″（ｈ（ｘ）＋ｐ（ｘ）ｆ′（ｈ（ｘ）＋ｑ（ｘ）ｆ（ｈ（ｘ）＝Ｆ（ｘ），论证它在一定条件下的可积性，并获得通解的具体表达式，所得结论是对文献中问题的拓广与深化。     

方程x＋f（x）x＋g（x）=0零解的全局渐近稳定性

本文讨论了Ｌｉｅｎａｒｄ方程ｘ＋ｆ（ｘ）ｘ＋ｇ（ｘ）＝０的零解的全局渐近稳定性，所得结果包含了文「１－４」的主要结果。     

关于不定方程■（x＋i）~n＝（x＋h＋1）~n的解

证明了：当１００＜ｎ≤２００时，不定方程无正整数解．     

求解微分方程Y″＋ρy′＋qy=f（x）的注记

利用函数组线性相关性、微分方程降阶积分法和二阶微分方程解的结构性质，对二阶常系数非齐次线性微分方程求解问题作了进一步分析讨论，给出了求其通解的一种适用且有效的新方法．     

差分方程动力学x（n＋1）=（α＋B1x_（n-1）＋B3x（n-3）＋…＋B（2k＋1）x（n-2k-1）/（A＋B0xn＋B2x（n-2）＋…＋B（2k）x（n-2k）的动力学

考察差分方程x_（n＋1）=（α＋B_1x_（n-1）＋B_3x_（n-3）＋…＋B_（2k＋1）x_（n-2k-1））/（A＋B_0x_n＋B_2x_（n-2）＋…＋B_（2k）x_（n-2k））,n=0,1,…的动力学行为,在4种情形下分别讨论方程解的性质.     

求解微分方程y″＋py′＋qy=f（x）（f（x）是Pn（x）和Pn（x）e^λx）特解的几种方法

y″＋py′＋qy=Pn（x）和（≈）和y″＋py′＋qy=Pn（x）e^λx）虽是两种不同形式的二阶非齐次线性微分方程,但是通过转换可以统一成y″＋py′＋qy=Pn（x）的形式,我们可以借用一阶非齐次线性微分方程求特解的方法,升阶法,算子法,迭代法求方程的特解,我们也可以直接利用待定系数法,算子法对y″＋py′＋q=Pn（x）e^λx）的形式求特解。     

奇异方程x″＋p（t）f（x）＋q（t）g（x′）=0的可解性

设p(t),q(t)∈C((0,1),(0,+∞)),f(x),g(y)∈((0,+∞),(0,+∞)),并且满足下列条件(1)f(x)是x的减函数,存在正数b＞0,使得f(rx)≤r-bf(x),对任意(r,x)∈(0,1)×(0,+∞),limx→0+xbf(x)＞0;(2)g(y)是y的减函数,limy→0+g(y)=+∞.则下列奇异边值问题x″+p(t)f(x)+q(t)g(x′)=0,0＜t＜1,x(0)=x′(1)＝0.有唯一C1[0,1]正解的充分必要条件是t-bp(t)∈L1[0,1],q(t)∈L1[0,1].     

齐次丢番图方程（x＋gk）~T=（x＋gn）~r

用初等方法证明了：当ｎ，ｘ，ｒ为正整数目ｒ＞３，ｓ为非负整数，ｇ＝８０ｓ＋６，ｇｃｄ（ｘ，ｇ）＝１，丢番图方程无整数解。     

用函数变换法求方程y″＋py′＋qy=f（x）的特解

通过“函数变换”将二阶常系数非齐次线性微分方程降阶为可积的一阶线性微分方程,从而得到其积分形式的特解,并得到了一类特殊的微分方程求特解的简单公式.