时空分数阶扩散方程的最小二乘混合型有限元方法

本文考虑时空分数阶扩散问题的数值模拟.通过引入通量u=-Dp作为中间变量,将分数阶扩散方程化为一阶微分方程组,构造了相应的最小二乘泛函与变分问题,证明了最小二乘问题与变分问题的等价性.据此,对时空分数阶扩散方程建立了最小二乘混合型有限元离散格式,利用双线性形式满足■不等式,证明了离散格式解的存在唯一性与收敛性估计,并进行了数值实验.     

二维土壤溶质输运方程的最小二乘混合有限元方法

为了避免标准混合有限元格式中的Ladyzhenskaya-babuska-brezzi(LBB)限制条件,给出一种二维土壤溶质输运方程的最小二乘混合有限元方法.利用该方法将方程降阶后对方程进行离散,构造了最小二乘混合有限元格式.通过分析逼近格式的收敛性,给出相应的误差估计,结果表明,这种数值方法具有最优的收敛阶.     

双曲型积分微分方程的最小二乘混合有限元方法

给出了双曲型积分微分方程的最小二乘混合有限元方法,利用该方法将方程降阶,并对方程进行离散,构造了最小二乘混合有限元格式.最小二乘混合元方法可以避免标准混合元格式中的LBB限制条件,从而可以更灵活地选择有限元空间.误差估计表明在H×H1范数意义下这种方法具有最优收敛阶.     

Helmholtz方程的一类最小二乘混合有限元解法

通过将Helmholtz方程变化为一阶线性系统,并考虑此线性系统余量与真解的关系,给出了对方程的一类最小二乘混合有限元方法。最小二乘混合元方法可以避免标准混合元格式中的限制条件,从而可以在更广泛的范围内选择有限元空空间。文章提出了解决问题的有限元格式,证明了离散解的存在性唯一性,并给出了误差的H（div）,H^1模估计。     

二维调和分数阶扩散方程的数值模拟

讨论一个二维调和分数阶扩散方程,其中的调和分数阶导数是分数阶导数的推广,可模拟粒子在早期的超扩散向后期的次扩散的渐进行为.采用隐式交替方向法(ADI)和Crank-Nicolson(C-N)格式建立方程的数值离散格式,并采用外推法得到差分格式的二阶精度,运用矩阵分析的方法给出稳定性和收敛性的证明,同时给出一个数值例子说明所建立的数值离散格式的有效性.     

扩散反应方程的一种协调间断有限元法

对于定常扩散反应方程的原始混合变分形式，本文基于间断有限元法和最小二乘法思想给出了一种新的协调间断有限元格式，并将其推广应用于非定常扩散反应方程，进而建立了一个全离散协调间断有限元格式. 该格式不仅能避免LBB条件，而且适用于多边形网格. 在能量范数下，本文获得了原始变量和通量的最优收敛阶误差估计. 最后，针对定常和非定常的扩散反应方程，本文分别以一般情形和对流占优情形下的数值算例验证了方法的有效性.     

时间分数阶扩散方程的变密度网格弱Galerkin有限元数值模拟

弱Galerkin有限元方法是经典有限元方法的延伸,该方法适用于任意多边形和多面体区域的剖分,是基于间断分片多项式的一种偏微分方程数值求解方法.本文主要用弱Galerkin有限元方法数值模拟有奇异性的二维单项时间分数阶扩散方程,选择齐次Dirichlet边界条件,得到了二维单项时间分数阶扩散的全离散的弱Galerkin有限元格式,证明了数值格式解的稳定性、L~2范数和离散的H~1范数的最优误差估计.为了得到相应的误差估计,引入了广义的椭圆投影.给出的数值算例验证了理论结果的有效性.     

对流扩散反应方程的一个稳定化混合有限元

本文针对对流扩散反应方程提出了一个稳定化混合有限元格式，该格式基于混合有限元法与最小二乘法的结合.在此格式中，由于最小二乘稳定项的引入，有限元逼近空间的选取无需满足经典的Ladyzhenkaya-Babuska-Brezzi(LBB)稳定性条件，从而对两个变量的有限元逼近可以方便地使用等阶有限元组合.对于定常的对流扩散反应方程，本文获得了有限元的稳定性，对误差进行了估计，并以数值算例验证了理论分析和格式的有效性.对于非定常的对流扩散反应方程，本文给出了有限元的误差估计和数值算例.     

二维空间分数阶变系数扩散方程的数值解法

研究二维有限域上的扩散系数与空间变量相关的空间分数阶扩散方程,通过移位的Grunwald公式对空间分数阶导数进行离散,得到交替差分格式,证明了格式的稳定性,最后给出了数值算例.     

对流扩散方程的分裂混合有限体积元方法

将分裂思想和混合有限体积元方法相结合,在三角网格剖分下数值求解一类二维对流扩散方程.通过使用最低阶Raviart-Thomas混合有限元空间,并引入迁移算子把试探函数空间映射成检验函数空间,构造了半离散和全离散的分裂混合有限体积元格式.利用迁移算子的性质得到了离散格式的最优阶误差估计.最后给出数值实验结果验证了理论分析结果以及该方法的有效性.     

有限元Crank-Nicolson格式高阶求解非稳态扩散方程

基于空间尺度的有限元法,结合时间尺度的有限差分格式求解一维非稳态扩散方程的初边值问题.建立变分形式和有限维逼近空间,给出有限元结合Crank-Nicolson格式的理论框架和计算步骤,并构造全离散θ-型隐格式,再分别利用线性有限元和二次有限元对非稳态对流扩散反应方程进行数值模拟.结果表明,在空间方向的一致剖分下,时间层离散分别结合线性有限元和二次有限元计算均可得到一致收敛结果,且二次有限元在Crank-Nicolson格式离散下的精度更高,其误差范数的收敛阶可达三阶,应用优势更为显著.     

对流占优扩散方程的最小二乘特征混合有限元方法

将最小二乘混合有限元法与特征有限元法 有效地结合起来处理对流占优扩散方程。通过适当选取最小二乘能量泛函, 数值方法可以分裂成2个独立的子格式, 并且数值方法可以同时逼近解及其梯度, 选取较大的时间步长。 收敛性分析表明在一定范数意义下, 这种方法具有最优收敛阶。     

空间分数阶扩散方程的有限元方法

考虑空间分数阶扩散方程的数值解,利用有限元的思想构造了一个半离散数值格式,并严格证明格式的收敛性分析,数值例子支持理论分析的结果.     

非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的全隐式有限差分格式

针对非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程的初边值问题,提出一种全隐式有限差分格式.首先,分别对Riemann-Liouville型变时间分数阶导数算子和Riemann-Liouville型变空间分数阶导数算子和广义Riesz分数阶导数算子进行离散化处理;然后,通过离散的能量方法证明全隐式有限差分格式的稳定性和收敛性,并验证其收敛阶为O(τ+h);最后,通过数值算例检验该方法.试验结果表明:全隐式有限差分格式求解非线性变阶空间-时间分数阶对流-扩散方程初边值问题是可行和有效的.     

Caputo型时间分数阶变系数扩散方程的局部间断Galerkin方法

提出一种带有Caputo导数的时间分数阶变系数扩散方程的数值解法.方程的解在初始时刻附近通常具有弱正则性,采用非一致网格上的L1公式离散时间分数阶导数,并使用局部间断Galerkin (local discontinuous Galerkin, LDG)方法离散空间导数,给出方程的全离散格式.基于离散的分数阶Gronwall不等式,证明了格式的数值稳定性和收敛性,且所得结果关于α是鲁棒的,即当α→1^-时不会发生爆破.最后,通过数值算例验证理论分析的结果.     

时间分数阶变系数扩散方程的一种差分格式

近些年,越来越多的研究表明,随着时间或者空间变化,方程的扩散系数也会改变.主要研究了变系数分数阶扩散方程的有限差分解法.首先,引入半整数点,在空间网格上进行对偶剖分,再通过差分方法离散空间二阶偏导数.其次,利用两种分数阶导数,即Grünwald-Letnikov导数与Caputo导数的关系,近似替代时间分数阶导数,从而得到了收敛精度为o(t+h~2)的有限差分格式,并且该有限差分格式的解是存在且唯一的.最后,通过利用数学归纳法和最大模方法,证明出差分格式的稳定性和收敛性,并用一个一维时间分数阶变系数扩散方程的数值算例来验证差分格式的收敛阶.     

一类波动方程的全离散H~1-Galerkin混合有限元方法

研究一类二阶双曲型方程.通过引入空间和时间的一阶导数得到了混合Galerkin变分形式,进而导出方程的H1-Galerkin混合有限元方法的二层全离散格式,其中时间方向采用中心差商离散,得到了未知函数及流量的最优阶误差估计.     

两项时间分数阶扩散方程的一种数值解法

扩散方程在物理领域常用来模拟不同物质间的相互扩散现象,多项时间分数阶扩散方程能更清晰地反应复杂系统的物理意义.本文对两项时间分数阶扩散方程中的分数阶导数直接进行离散,空间导数采用中心差分格式进行离散,提出了求解两项时间分数阶扩散方程的一个隐式差分格式;讨论了分数阶扩散方程差分解的存在唯一性,证明了差分格式的稳定性及收敛性;最后数值试验验证了格式的有效性.     

时间分数阶对流-扩散方程的有限差分法

时间分数阶对流-扩散方程可以用来模拟由传统的对流-扩散方程演变而来的反常扩散方程.本文针对一类时间分数阶对流-扩散方程提出了一个新的隐式差分格式,时间分数阶导数采用直接离散,空间导数采用中心差分格式离散,讨论了差分解的存在唯一性,并利用能量范数证明了该格式的无条件稳定性、收敛性,分析了收敛阶.数值试验验证了该格式的有效性.     

二维分数阶扩散方程交替差分格式及其一致性

研究二维有限域上的空间分数阶扩散方程的数值解法,通过移位的Grunwald公式对空间分数阶导数进行离散,得到Euler隐式差分格式。利用傅里叶变换理论证明了交替差分格式的一致性。