两个包含Smarandache函数的方程及其解

利用初等方法研究两个包含Smarandache函数的方程的解,并且证明了这两个方程有正整数解.     

一个包含Smarandache LCM对偶函数的方程

对任意正整数n,定义两个Smarandache LCM函数的对偶函数SL*(n)=max{k:k ∈N,[1,2,…,k]| n}和S*(n)=max{m:m ∈N,m!|n}．用初等方法研究函数方程∑d|nSL*(d)=∑d|nS*(d)的可解性,并获得了该方程的所有正整数解.     

伪Smarandache无平方因子函数与Euler函数的两个方程

对任意的正整数n,著名的伪Smarandache无平方因子函数Zw(n)定义为最小的正整数m使得n|mn,利用初等方法以及伪Smarandache无平方因子函数Zw(n)和Euler函数φ(n)的性质,研究了方程Zw(φ(n))=φ(Zw(n))的可解性,证明了该方程有无穷多个正整数解。同时讨论了方程Zw(n)+φ(n)=2n的可解性,并求出了该方程的正整数解为n=1。     

一个包含Gauss函数的方程及其实数解

利用初等方法以及Guass函数的性质研究函数方程xy-[x]y=x的可解性,并证明了对任意正整数n,在区间[n,n+1)内有且只有该方程的一个解,从而推出方程xy-[x]y=x有无穷多组实数解.同时在y=1,2,3时,给出了对应解x的具体形式.     

关于F.Smarandache函数和欧拉函数的三个方程

对任意正整数n,SL(n)为Smarandache LCM函数,φ(n)为欧拉函数,S(n)为Smaran-dache函数,赵艳琳研究了方程φ(n)=S(nk)(k为任意正整数)与方程SL(n)=φ(n)的所有正整数解。利用SL(n),φ(n),S(n)的性质结合初等方法研究了三类方程φ(nk)=S(n)(k≥2),SL(nk)=φ(n)(k≥2)与SL(n)=φ(nk)(k≥2)的可解性问题并求出所有正整数解。     

Smarandache函数的几个性质

对于任意给定的正整数n,著名的Smarandache函数S(n)定义为S(n)=min{m∶m∈N,n|m!}.利用初等方法和解析方法研究函数S(n)的有关性质,并给出了一些有趣的渐近公式.     

一个包含Smarandache函数的混合均值

研究著名的Smarandache函数V(n)与最小素因子函数p(n),利用素数函数π(x)和Ri-emannZeta函数的解析性质,通过分区间讨论的方法研究了V(n)p(n)的均值性质,并结合解析的方法估计了均值中的余项,得到一个渐近公式:∑n≤xV(n)p(n)=∑ki=1x3ai/lnix+O(x3/lnk+1x)。     

关于Smarandache LCM函数及Smarandache函数SM(n)的混合均值

设n为正整数,F.Smarandache LCM函数SL(n)和函数SM(n)定义为:SL(1)=1,SM(1)=1,当n>1,并且n的标准分解式为n=p1α1p2α2…pkαk时,SL(n)=max1≤i≤k{pαi i},SM(n)=max1≤i≤k{αi.pi},利用初等方法及素数的分布性质研究函数(SL(n)-SM(n))2的均值性质,并给出了一个有趣的渐近公式。     

关于Diophantus方程的正整数解问题

本文给出了Diophantus方程xyz=r2 (x y z)的全部正整数解的一种简单的表示形式 ,及此方程的几类特殊形式的全部正整数解     

两个数论函数的混合均值公式

对任意正整数n,Smarandache函数V(n)定义为:V(1)=U(1)=1;n1时,令n=pα11pa22…parr是n的标准分解式,则V(n)=min{α1·p1,α2·P2,…,ar·pr};U(n)=max{α1·P1,α2·p2,…,αr·pr}.利用素数函数π(x)和Riemannzeta-函数ζ(s)的解析性质,通过分区间讨论的方法研究了两个Smarandache函数U(n)与V(n)的混合均值,并给出了它的一个渐近公式.     

方程N'(t)=r(t)N(t)的正解的渐近性

运用迭代法研究时滞微分方程N (t) = r(t)N(t)t≥0的正解的渐近性,给出了保证每-正解N(t)趋于1的充分条件.     

关于2个丢番图方程的求解

用代数数论方法证明了丢番图方程x2 - 13=4y3仅有整数解(x,y)=(±3,-1)以及丢番图方程x2 +2=y3仅有整数解(x,y)=(±5,3).     

关于2个不定方程的求解

利用同余理论和代数数论的有关结论,证明了不定方程x2+1=y5仅有整数解(0,1)以及不定方程x 2+64=y3无整数解.     

不定方程(x+1)~x-x~y=1的正整数解

利用同余、因式分解、比较素数的幂指数等初等方法证明不定方程(x+1)x-xy=1除(x,y)=(2,3)外无其它正整数解.     

一类矩阵方程的Hermite广义Hamilton解及其最佳逼近

利用矩阵的广义奇异值分解定理,得到了矩阵方程AHXA=B存在Hermite广义Hamilton解的充分必要条件,并在有解时得到了通解的表达式,同时得到了相应解集中与已知矩阵最佳逼近的Hermite广义Hamilton解和最小范数解.