新代数插值多项式

文中各例所用插值多项式的阶均在２０以上,推翻了逼近论中流传了近百年的错误结论：高阶代数插值高产生Ｒｕｎｇｅ现象。     

关于系数有界限的多项式的最佳逼近

设X是区间[a,b](a·b≥0)上的紧集,f是X上的一个连续函数,K={p=∑_-0αf x~f:α_j≤α_j≤β_j,j=0,1…,n}为系数有界限的多项式之集合。本文给出了K对f的最佳一致逼近的一个交错点型的特征定理。     

函数的а-多项式逼近

提出用α-多项式进行函数逼近的问题,首先给出广义的伯恩斯坦多项式,利用它证明了α-多项式逼近定理,即:对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x),存在α-多项式序列{pn(x,α)},使{pn(x,α)}在[a,b]上一致收敛于f(x)。从理论上解决用α-多项式进行函数逼近的问题。最后用数值例子说明对于有些数据用α-多项式(α≠1)进行函数逼近效果会更好。     

函数的α-多项式逼近

提出用α-多项式进行函数逼近的问题,首先给出广义的伯恩斯坦多项式,利用它证明了α-多项式逼近定理,即对于闭区间[a,b]上的连续函数f(x),存在α-多项式序列{pn(x,α)},使{pn(x,α)}在[a,b]上一致收敛于f(x).从理论上解决用α-多项式进行函数逼近的问题.最后用数值例子说明对于有些数据用α-多项式(α≠1)进行函数逼近效果会更好.     

有关多项式逼近的几个结果

给出了构造多项式序列的一种方法,并采用分析的方法证明该序列的一致收敛性.     

二元Bernstein多项式逼近阶的估计

在一元Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式的基础上，提出了如下形式的二元Ｂ ｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式，（Ｂｎ，ｍｆ）（ｘ，ｙ）＝并利用古典对于满足Ｈｏｌｄｅｒ条件的函数的二元Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ多项式的逼近阶进行了估计，从运用上斛敢逼近解的结构问题。     

多项式序列一致逼近连续函数的两个结论

对用多项式序列一致逼近有界区间的连续函数进行了讨论并得到两个结果:1.这种逼近可以进行的充分必要条件为函数是一致连续的;2.多项式序列的阶数的极限为正无穷.     

关于修正的伯恩斯坦插值多项式

对伯恩斯坦［１］构造的以第一类Ｃｈｅｂｙｓｈｅｖ多项式的零点作为插值节点、ｆ（ｘ）∈Ｃ［－１，１］的次数小于λｎ（１＜λ＜２）的插值多项式Ｑｎ（ｆ；ｘ）作以修正，使其在［－１，１］上一致收敛到ｆ（ｘ）且具有最佳收敛阶     

基于Chebyshev多项式逼近的分数阶微积分数值算法

基于Chebyshev多项式逼近,建立关于分数阶积分与Caputo型分数阶微分的数值算法.对分数阶积分提出新的计算格式,对Caputo型分数阶微分则推广了原有的数值方法,并分别给出相应的误差估计.最后,通过数值例子说明了构造算法的有效性.     

对波莱尔改进拉格朗日插值公式思想方法的研究

R.Méray、波莱尔(E.Borel)及C.Runge等人已指出利用拉格朗日(Lagrange)插值公式所得多项式在一些情况下不能很好逼近被插函数.如何改进拉格朗日插值公式使之更好地逼近被插函数是当时数学家思考的一个重要问题,波莱尔即为其中之一.基于原始文献,利用历史分析和比较的方法,搞清了波莱尔改进拉格朗日插值公式的思想背景,分析了他的改进方法,探讨了其思想在当时的重要影响.     

对波菜尔改进拉格朗日插值公式思想方法的研究

R．Méray、波莱尔（E．Borel）及C．Runge等人已指出利用拉格朗日（Lagrange）插值公式所得多项式在一些情况下不能很好逼近被插函数．如何改进拉格朗日插值公式使之更好地逼近被插函数是当时数学家思考的一个重要问题，波莱尔即为其中之一．基于原始文献，利用历史分析和比较的方法，搞清了波莱尔改进拉格朗日插值公式的思想背景，分析了他的改进方法，探讨了其思想在当时的重要影响．     

Lagrange插值多项式的Valle-Poussin和

有界单连通区域G,其边界Г0,本文研究了Lagrange插值多项式的Vallee-Poussin和,得到它对A(■)中的函数的一致逼近阶的估计。     

最小多项式的性质及其应用

给出矩阵A的最小多项式m(λ)的两个性质：(1)n阶矩阵A的全体实系数多项式所成的线性空间W的维数等于A的最小多项式m(λ)的次数k；(2)对于次数大于零的任意多项式f(λ)，f（A)为非退化的充分必要条件是f(λ)与m（λ)互素．并举例说明了矩阵最小多项式在解决某些问题时的有效性．     

空间散乱数据多项式自然样条光顺

考虑对空间散乱数据的一种多项式自然样条光顺逼近,得到解的特征性质和解的结构,并给出了算例。     

关于Fibonacci多项式的一个组合恒等式

主要研究了Fibonacci多项式,得到了一个Fibonacci多项式和Fibonacci数列的恒等式。     

一种Lagrange插值多项式的线性组合

以多项式的零点作为插值节点, 采用线性组合的方法构造了一个组合型的多项式算子W_n,r(f,x), 如果f(x)∈ C^j_［-1,1］(0≤j≤r, r为任意奇自然数）, 则W_n,r(f,x)对f(x)的逼近程度达到最佳.     

非线性常微分方程的多项式逼近

应用最小二乘法得到了非线性常微分方程的多项式逼近,将逼近的阶数提高到三阶以上,并给出了2个数值实例,实例证明该方法有效.