完全图和星的合成的点可区别正常边染色(英文)

首先,给出了完全图K_p和星S_q的合成的点可区别正常边色数的一个上界:当p≥2,q≥4时,上界是pq+1.再利用正多边形的对称性以及组合分析的方法来构造染色,分别得到了当p=2,q≥4;p≥3,q=4;p是偶数且p≥4,q=5;pq是奇数且p≥3,q≥5时,完全图K_p和星S_q的合成的点可区别正常边色数.     

关于丢番图方程mp-1=qd

我们利用初等方法证明,如果丢番图方程mp-1=qd有正整数解,则除(m,p,q,d)=(3,2,2,3)外,必有q是Mersenne数,其中p,q为素数,m,d为正整数,p≥3.     

(K1,4;2)-图的闭包

定义一个新的图类(K1,p;q)-图(p≥3,q≥1),它是无爪图的推广.证明了(K1,p;q)-图的一个重要性质;(K1,p;q)-图必为(K1,p 1;q 1)-图,并给出了以下结论:设G是T3-free或K1∨P4-free的(K1,4;2)-图,则1)cl(G)仍为(K1,4;2)-图;2)cl(G)是唯一确定的.     

图的L(p,q)-标号问题

令G为图,p,q为2个正整数,p≥q。G的一个L(p,q)-标号是映射f:V(G)→{0,1,2,…},使得对任意x,y∈V(G),若dG(x,y)=1则|f(x)-f(y)|≥p;若dG(x,y)=2则|f(x)-f(y)|≥q。G的一个m-L(p,q)-标号是标号f:V(G)→{0,1,2,…},使得对任意x∈V(G),有f(x)≤m。并称λp,q(G)=min{m|存在G的一个m-L(p,q)-标号}为图G的L(p,q)-数。本文给出k-退化图、G1和G2的联图G1∨G2及G1和G2的M-matched sum图G1M G2的L(p,q)-数不同上界。最后给出仙人掌图,唯一圈图L(p,1)-数λp,1(G)的可达界。     

Ramsey数r(3,10)的下界

以 Kn( p,q)表示红蓝边染色的 n阶完全图 ,图中既无 p个顶点的红边完全子图 ,也无 q个顶点的蓝边完全子图 .本文给出了 K4 0 ( 3,1 0 )的一种构造 ,以改进 Ram sey数 r( 3,1 0 )≥ 4 0的下界     

Sampathkumar猜想的证明

设x_k(G)表示图G 的P_k-色分划数,本文证明了Sampathkumar 等在文献[2]中提出的一个猜想,即对任何P 阶图G,都有X_k(G)+X_k(■)≤t+1,X_k(G)+X_k(■)≤((t+1))/2)~2,这里t={p/k}.     

偶图的边共色数

给出了f（Δ）≥Δ条件下偶图的边共色数及偶图边共色数的一种算法,并确定了k-正则偶图,Kp1,p2及Kp1,p2,…,pk的边共色数.     

Halin图的集染色

对于非平凡连通图G,G的k集染色是指映射c：V（G）→Nk,对任意顶点v∈V（G）,定义邻色集cN（v）={c（u）｜u∈N（v）},若对uv∈E（G）有cN（u）≠cN（v）,则称c为G的一个k集染色.满足上述条件的最小k值称为G的集色数,记为χs（G）.为了更快更有效地给Halin图着色,采用集染色的着色方法,证明了当p≥4时,Halin图G（Cp,Tq）的集色数是3,并且还证明了对任意的Halin图G（Cp,Tq）,有p＋1≤q≤2p-2成立.     

关于图的连通性的一类极值问题

给定正整数p、q、δ,对于点数为p、线数为q、最小度为δ的(p、q、δ)图 ,本文讨论了它们的线连通度λ和连通度k之间的关系。当δ<〔(p-1)/2〕或δ≥2/3(p-1)时,给出了λ-k的上界;当〔(p-1)/2〕≤δ<2/3(p-1)时,对于q足够大的情形,也给出了λ-k的上界;并且给出了达到这些上界的极图。同时还证明了λ-k的下界在上述一切情形下均为零,且这个下界可达。     

关于Catalan问题

E.Catalan在1844年猜测两个连续数除8,9外不能同时都是自然数的大于1次的乘幂。设p,q为质数,这一猜测是说(1)x~p=y~q+1 x>1,y>1除x=3,y=2,p=2,q=3外,没有其他整数解。己知(1)除上述一解外,在p=q;p≤3;q≤3时无整数解。故仅需讨论p>q≥5或q>p≥5的情形。在本文中,我们将证明此时有:     

两种图的色类

讨论了两种图的色类．第一种图是围长为３的２－连通（ｎ，ｎ＋２）－图；第二种图是０（１，ｂ，ｃ、ｄ）．     

关于图的色性

本文引进了一个新的记号,研究色多项式的根全为非负整数的图的色性。     

一类图的色性

证明色多项式的根全为非负整数的4色图含有K_4子图,并讨论了此类图的色性。     

关于完全三部图色唯一性的判定

G是简单图,用P(G,λ)表示图的色多项式.若对任意简单图H当P(H,λ)=P(G,λ)时,都有HG,则称G是色唯一图.Liu R.,Zhao H. X.和Ye C.已经证明:当n和k为整数且满足n≥k 2≥4,完全三部图K(n-k,n,n)是色唯一的;当n和k满足n≥2k≥4时,完全三部图K(n-k,n-1,n)是色唯一的.在本文中,证明了当k是奇数且n≥k2/4 15/4≥6,或k是偶数且n≥k2/4 4≥5时,完全三部图K(n-k,n-2,n)是色唯一的;当k是奇数且n≥k2/4 19/4≥7,或k是偶数且n≥k2/4 5≥9时,K(n-k,n-3,n)是色唯一的.     

关于着色参数Nordhaus－Gaddum问题的若干注记

分别以Ｘ（Ｇ）、Ｘ１（Ｇ）、Ｘ２（Ｇ）记图Ｇ之色数、边色数和金色数，对任意Ｐ阶图Ｇ及其补图，当Ｘ１（Ｇ）、Ｘ１（Ｇ）不为零时，本文得到下面三个Ｎｏｒｄｈａｕｓ－Ｇａｄｄｕｍ型乘积的下界：对于每一工整数Ｐ，这三个下界均可达到。     

一类图的色唯一及色等价

本文通过比较一类图的色多项式，得到了大量的色唯一图，同时也讨论了色不唯一图。     

路圈并补图色唯一的新结果

文献［１,２］讨论了路圈及其并的补图的色性,本文用新方法证明了图ＰｋＵ（ＵＣ(ｕｉ)）的补图在ｋ＝３．５或ｋ≠４为偶数的条件下色唯一,改进了［１,２］的结果。     

关于弦图的色性

研究了n类弦图的色性,分别给出G=k_(n+1)[K_m]K_(m+1)[K_m]K_(m+1);图G含有K_(n+1)子图,G=K_(n+1)[K_m]K_(m+1)[K_m]K_(m+1)[K_m]K_(m+1);G=K_(n+1)[K_m]K_(m+1)[K_l]K_(l+1)的充分必要条件。     

一类k5同胚图的色唯一性

记k5（l）对k5的一条边连续剖分l次,当l〉5时,k5（l）是色唯一的。     

一类图的色唯一性

利用图的色多项式和图的结构间的内在联系,以及图的色数和点的度之间的关系,把满足一定条件的图分成几种情形,证明了当ｎ≥３,ｍ≥３时,由完全图Ｋｎ和图Ｃｍ重叠于一条边得到的一类科是色唯一的。