拟逆正则化方法结合离散随机扰动反演初值问题

利用离散随机扰动探讨时间分数阶扩散方程的反演初值问题,这类问题是不适定的,即问题的解(如果存在)不连续依赖于测量数据.利用拟逆正则化方法,得到问题的一个正则近似解,并且给出在先验正则化参数选取规则下的收敛性估计.数值结果表明拟逆正则化方法解决此类问题是有效和稳定的.     

动力系统方法在反问题中的应用

讨论求解算子方程的动力系统方法(DSM), 将其应用于求解反问题, 给出了相应数值格式的收敛性证明, 并通过数值实验与常用的正则化方法进行了比较, 数值结果表明该方法在一定条件下优于正则化方法, 可以应用于更一般反问题的数值计算中.     

求解半空间中Helmholtz方程Cauchy问题的投影法

针对Helmholtz方程Cauchy问题提出一种数值计算方法. 借助于Dirichlet to Neumann映射, 将Cauchy问题转化为求解散射场初值的紧算子方程. 先讨论紧算子奇异值的渐近性质, 然后将投影法与Tikhonov正则化方法相结合, 提出一种求解相应紧算子方程的带有正则化技巧的投影法, 并通过数值实验验证了算法的有效性.     

一维波动方程反问题的不适定性及正则化分析

基于一维波动方程反问题的数学模型,应用奇异值分解分析算子方程的不适定性。讨论了正则解的求解方法,并利用Tikhonov正则化方法克服反问题的不适定性。最后根据正则化参数的确定原则,采用精度高和适应性更好的遗传算法确定最优正则化参数。     

带有Riemann-Liouville导数的分数阶热传导方程逆源问题的正则化方法

首先,用Tikhonov正则化方法求解带有Riemann-Liouville导数的分数阶热传导方程逆源问题,得到了包含Mittag-Leffler函数的正则解;其次,对正则解进行收敛性分析,给出先验参数选取下正则解和精确解的误差估计及后验参数选取下正则化参数的取值范围.数值实验结果表明了该正则化方法的有效性.     

流体饱和多孔隙介质多参数反演的小波多尺度-正则化高斯牛顿法

将小波多尺度方法和正则化高斯牛顿法相结合,充分利用两种方法的优点,以小波尺度分解作为引导算子确保反演算法的搜索路径,在每一个分解后的尺度上采用正则化高斯牛顿法作为求解算子以解决反问题的不适定性问题,构造了小波多尺度.正则化高斯牛顿法,有效地解决了流体饱和多孔隙介质多参数反演过程中的局部极值和不适定性的问题.通过与传统的正则化高斯牛顿法数值比较,显示了小波多尺度一正则化高斯牛顿法法是一个大范围收敛方法.数值模拟的结果验证了方法的有效性和可行性.     

多联通区域中的拉普拉斯方程柯西问题的一种数值计算方法

多联通区域中的Laplace方程柯西问题的一种数值解法——基本解和边界控制技术相结合的方法,其主要思想是先通过边界控制技术来获得部分边界上的未知的Dirichlet数据的一个逼近,然后再用基本解方法去求解一个带有第二类边值条件的Laplace方程.这种方法在求解拉普拉斯方程柯西问题时与通常所用的基本解方法不同,本文主要是用基本解方法求解了一系列正问题而不是直接用基本解方法去求解拉普拉斯方程柯西问题这样一个反问题.这里由于Laplace方程柯西问题的高度不适定性,为了确保数值解的精度和稳定性,本文采用了Tikhonov正则化方法,在正则化参数的选取上采用了GCV准则.最后用数值算例证明了这种方法不论是在数值解的精度上还是数值解的稳定性上都是非常有效的.     

一类非线性抛物型方程反问题的正则迭代算法

利用直线方法及正则化技术,研究了一类非线性抛物型方程参数识别反问题.该方法首先利用直线方法得到正问题高精度的数值解,在此基础上,借助正则化技术及算子识别摄动法,得到了此类反问题的正则迭代算法.数值模拟表明该算法具有计算精度高、稳定性好的优点,是一种实用有效的数值求解方法.     

对数非线性薛定谔方程基态解的数值解法

针对对数非线性薛定谔方程,本文构造了一种求基态解的数值解法.该方法首先对原始能量泛函进行正则化处理,然后使用归一化梯度流方法来求正则化后的基态解.在求解的每个时间步我们采用向后欧拉傅里叶谱方法的隐式数值格式,并通过不动点迭代求解. 我们分析了正则化方法的能量误差,并通过数值模拟验证了本文方法的可靠性.     

Robin反问题的TV正则化

研究Robin反问题。先将Robin反问题化为边界积分方程,并应用TV正则化方法求解。数值实验表明,TV正则化更有效。     

初始场与边界热流同时识别反问题的正则化方法

考虑含Neumann边界条件的一维热方程的初始场与边界热流同时识别反问题. 首先, 给定右边界热流密度及温度值和终止时刻温度值, 建立Fredholm积分方程组模型, 证明其解的唯一性. 其次, 构造左边界热流密度与初始温度场同时反演的正则化算法. 数值实例结果表明, 采取的数据预处理算法及改进正则化方法, 双函数反演的精度更高.     

人口问题中一般扩散模型的径向对称解

研究四阶非线性抛物方程初边值问题的径向对称解. 采用抛物正则化方法, 借助Campanato空间框架和一致Schauder型估计, 得到了正则化问题古典解的存在性, 并基于正则化问题解的一些必要一致估计, 证明了弱解的存在性.     

光栅形状反演的数值方法

提出一种光栅形状反演的数值算法. 考虑利用一个入射波和在光栅上部一条直线Γb上的散射场反演单周期良导体光栅的形状, 先利用Dirichlet-to-Neumann映射得到散射场在Γb上的法向导数值, 再应用求解椭圆方程初值问题的谱方法求解Helmholtz方程Cauchy问题, 得到Γb以下的全场, 最后逐点寻找全场的零点并连接, 得到的曲线即为反演的光栅形状. 数值结果表明该方法可行、 有效     

基于Hopf-Cole变换的二维Burgers方程的新数值解法

讨论了二维Burgers方程初边值问题的数值解法.新的方法是基于二维Hopf-Cole变换,将Bur-gers方程的初边值问题相应的变为热传导方程的初边值问题,用修正局部Crank-Nicolson法进行求解,得到了较好的结果,然后再进行逆变换得出原Burgers方程的解.同时也给出了稳定性、相容性及收敛性的理论证明.数值实验结果表明了该方法的正确性和格式的有效性。     

一类具强非线性源的退化抛物方程的边值问题

讨论了一类具有强非线性源的退化抛物方程解的存在性,该类方程是在研究可压流体在均匀、各向同性的刚性多孔介质中的流动情况时得到的.本文运用正则化、标准Moser迭代以及嵌入不等式等方法研究了该方程在何种情况下有非平凡解及非常奇异解的问题.     

具退化性的一类非线性扩散方程的正则化解

研究具退化性的一类非线性扩散方程的初边值问题. 基于弱解存在性的证明和消失粘性法, 引入了正则化解的概念, 优点是能够确保正则化解的惟一性, 而且在某些条件下又有存在性. 证明了正则化解的一个重要性质, 即解的支集关于时间的不变性; 并对此问题的一个特殊情形, 构造出其显示的正则化解. 最后, 应用能量估计方法, 研究了正则化解的长时间行为.     

应用同伦正则化算法反演二维溶质运移模型中的弥散系数

利用同伦正则化算法探讨了二维对流弥散方程的依赖空间变量的弥散系数反演问题.讨论了初始迭代值、数值微分步长、以及收敛精度对算法实现的影响.数值模拟表明,同伦正则化算法对于此类参数反演问题是一种有效的方法.     

二阶数值微分的积分方程方法

考虑一个由函数的测量数据求解其二阶导数的数值微分问题。这是一个经典的不适定问题,测量数据的微小扰动将引起其导数的急剧变化。将该问题表示为第一类的积分方程,并引入Lavrentiev正则化方法对其进行求解,获得了二阶数值微分的稳定化算法。另外,基于积分方程算子的性质,进一步给出了正则化解的收敛性以及正则化参数的选取策略。