整群环的正规化性质

设G是有限群,A是一个初等阿贝尔2群,H是一个正规阿贝尔子群,证明了当G为A和H的半直积时,G具有正规化性质。     

含有极大子群为单群的非单有限群的结构

本文研究并解决了含有一极大子群为单群的非单有限群的结构,主要结论是:设G为有限群,H为G的一个极大子群,则1.H为p(素数)阶群时,G为p~2阶群,或pq阶阿贝尔群,或pq~β阶极小非幂零群.其中p≠q且均为素数,β为q关于模p的指数.2.H为非阿贝尔单群.但G非单时,G必为下列情形之一:1)H×K;H为非阿贝尔单群,K为素数阶群.2)H_1×H_2;H_1、H_2为互相同构的非阿贝尔单群.3)H≤G;G/H的阶为素数,H为非阿贝尔单群且在G内无正规补子群.4)G=HN;H∩N=1,H为非阿贝尔单群,N为非单的特征单群,且H依共轭不可约地作用于N上.此外,对有限群G中的单极大子群之间的关系,本文也进行了若干讨论.     

关于类保持自同构的一个注记

设G是一个循环群C和一个极大类2-群P的半直积,如果G的一个Sylow 2-子群有一个指数为2的阿贝尔子群,那么G的类保持自同构是内自同构群。特别地,这样的有限群具有正规化子性质。     

含有CC-子群的局部有限群

主要证明了:G是局部有限群,若G存在CC-子群,但是其每一个无限真子群都不含有CC-子群,则G是秩为q-1的可除阿贝尔p-群被q阶循环群的扩张,其中p,q是互不相同的素数,且G的每一个无限真子群都是阿贝尔群.     

非正规子群都是q群的有限群

得到非正规子群都是q群的完全分类,即证明了如下结论：设q是一个素数,有限群C不是Dedekind群,则G的非正规子群都是q群的充要条件是G为非交换q群且不同构于Q8×E,其中Q8是8阶四元数群,E为初等阿贝尔2-群,或G=PQ,其中P为G的P阶正规子群,Q为G的非正规q群,Q为Dedekind群且p=1（mod q）．     

关于有限C*(p)-p-群的幂零类及导群

若对群G中任意子群(阿贝尔子群或循环子群)H有| HGH|＜∞,则称群G是S*(A*,C*)-群.若| HGH|≤n,则称群G是S*(n)(A*(n),C*(n))-群.在有限p-群条件下,对偶研究S*(A*,C*)-群,证明了C*(p)-p-群的幂零类不超过3,其导群是初等阿贝尔群.     

具有有限秩的无扭阿贝尔群的结构

通过对有限秩的无扭阿贝尔群的商群的讨论,得出了对有限秩的无扭阿贝尔群的结构的一种刻划即：设G为有限秩的无扭阿贝尔群,G是非p可除的（p为素数）,那么存在着子群G*,使得（1）G*为自由阿贝尔群;（2）G／G*为周期群,且G／G*为p可除群;（3）G／G*的每个准素分支均为有限个循环群与拟循环群的直和．且其中关于素数p的准素分支为有限个拟循环群的直和.     

关于有限群的一个性质

在有限群论中,我们常常通过研究一个有限群的自同构的性质,来认识这个有限群的性质,本文遵循这一方法,建立了以下的定理:定理:设G为有限群,G有一个自同构α,使得由α定义的集合I={a∈G|α(a)=a~(-1)}含有3/4|G|个元素的充要条件是:G是非阿贝尔的,且可写G=HK=KH,这里H、K均为G的指标为2的阿贝尔子群.其次,若群G满足上述条件则C(G)=H∩K,且     

子群非互素图的连通性

文章主要研究了一类子群非互素图,给出了有限群G的子群非互素图的定义,群G是一个有限群,G的子群非互素图Γ_(2^G)。为以G的非单位真子群为顶点,Γ_(2G)。为以G的非单位真子群为顶点,Γ_(2^G)中的两个顶点A,B相连当且仅当(|A|,|S|)≠1。通过研究得到有限群的子群非互素图的连通性的条件。     

《关于有限群的一个性质》证明的简化

常青同志在〔1〕中证明了有限群的一个性质: 定理:设G是有限群,a是G的一个自同构,由a定义的集合I={g∈G|a(g)=g~(-1))。|I|=3/4G|的充分必要条件是,G是非阿贝尔的,且可写G=HK=KH,这里H、K都是G的指数为2的阿贝尔子群。其次,若群G满足上述条件,则G的中心C=H∩K,〔G:C〕=4。 现在给出这个定理的一个较简单的证明。     

自同构群的阶为2~tp~2(p为奇素数)的有限Abel群G

利用有限Abel群G的自同构群的阶和有限Abel群的性质,研究了自同构群A(G)阶为2tp2(t=1,2,3,p为奇素数)的有限Abel群G的构造.获得以下结果:当t=1时,G最多有4型;当t=2时,G最多有12型;当t=3时,G最多有21型.     

有限p-群可交换的若干条件

有限交换群可以分解成若干有限p-群的直积,有限p-群的交换性在研究有限群中起到重要作用。通过对有限p-群子群的分析,得到若干有限p-群可交换的条件,特别地得到,有限p-群是循环群的一个定理:|G|=pn,N是G的唯一p阶子群,G/N是交换群,p>2,则G是循环群。     

单群Cq（2）的一个新刻画

记ω（G）为有限群G的元素的阶的集合．假定工为有限单群Cp（2）,G为满足条件ω（G）=ω（L）的任意一个有限群,则群G含有唯一一个非交换的合成因子,其同构于单群L;也就是说,单群Cp（2）是拟可刻画的．这个结果同时也证实了施武杰提出的猜想对于单群Cp（2）是成立的．     

关于循环群和交换群的等价刻画

考虑某些交换子群具有特殊的正规化子,用初等方法证明了循环群和交换群的等价刻画:设G为有限群,则G是循环群当且仅当G的每个极小子群的正规化子皆是循环群;G是交换群当且仅当G的每个初等交换子群的正规化子皆是交换群.     

群的直积的检验元素

 群G的一个元素g称为G的检验元素,如果G的每一个保持g不变的自同态都是G的自同构.本文讨论了群的直积的检验元素的一些性质.作为应用,给出了任意阿贝尔群有检验元素的充分必要条件,并确定了其检验元素.     

所有无限真子群是阿贝尔群的局部幂零p-群

主要研究每一个无限真子群都是阿贝尔群的局部幂零p-群.给出了这类群的结构的详细刻画,得到了:定理1设群G是局部幂零p-群,若G不是阿贝尔群,但是G中的每一个无限真子群是阿贝尔群,则(1)当G不是幂零群时,G是秩为p-1的可除阿贝尔p-群被循环群的扩张;(2)当G是幂零群时,G是极小非阿贝尔p-群与拟循环p-群的乘积.     

中心化子对群的影响

交换子群是群中相当重要的一类子群，它对群的结构有很大影响．通过对交换子群的中心化子的约束，本文得到了B-群的定义：称有限群G为B-群，如果对于任意交换子群A∈G，有CG（A）=G或CG（A）=A^G成立，并讨论了B-群的结构及性质．     

Schmidt定理的推广

设Ｇ是个群Ａｂｅｌ（ｈｙｐｅｒａｂｅｌｉａｎ）挠群，若Ｇ的亏数≤２的次正规Ａｂｅｌ子群都满足子群的极小条件，则Ｇ是个可解的Ｃｅｒｎｉｋｏｖ群。这项工作推广了Ｓｃｈｍｉｄｔ的一个有名结果。