正整数的素因子个数的k次均值估计

令ω(n)表示正整数n的不同素因子的个数,考虑ω(n)的k次均值,运用Nathanson和Turán的方法,证明了对x≥2和正整数k,有∑n≤xω(n)k=x(lnlnx)k+O(x(lnlnx)k-1),以及对每个δ＞0和正整数k,使不等式ω(n)k-(lnlnn)k≥(lnlnx)k-1/2+δ成立的正整数n≤x的个数是O(x).这两个结果是对ω(n)经典均值估计的推广.     

关于2~r-完全数

对于任意正整数a,令σ(a)表示a的所有因子之和.设n是一个固定的正整数,称正整数x是n-完全数,如果它满足σ(x)+σ(nx)=2(n+1)x.运用σ(a)的一些性质讨论了2~r-完全数的存在性,其中r是固定的正整数,证明了x是2~r-完全数当且仅当x=2~s(2~(r+s)+2~s-1),其中s是正整数,2~(r+s)+2~s-1是一个奇素数.     

关于阶乘的丢番图方程

对丢番图方程 1+n!=x~2 (1)和与阶乘有关的方程 n!=(m-1)m(m+1) (2)作如下讨论。引理ⅰ) 若(n,x)与(n+l,x+k)是(1)的任两组正整数解,则(x+k)/x>2 (3) ⅱ) 若(n,m)与(n+l,m+k)是(2)的任两组正整数解,则(m+k)/m>3~(1/3) (4) 定理对几乎所有的正整数n,(1)与(2)都没有正整数解。即:对任给的正整数N,若V_1(N)表示n≤N的(1)的正整数解(n,x)的个数,V_2(N)表示n≤N的(2)的     

关于一类方程解的存在性

两个不相同的正整数m和n,如果满足σ(m) σ(n)=m n,则称之为一对亲和数,这里σ(n)表示为n的所有正约数之和.文章给出了sn=22n 32n(n∈Z ),不与任何正整数构成亲和数的结论,即关于x的方程σ(sn)=σ(x)=sn x不存在正整数解.     

GCD封闭集上幂矩阵行列式的整除性

设S={x₁,…,x_n}为n个不同正整数构成的集合，若对任意不超过n的正整数i,j,均有gcd(x_i,x_j)∈S,则称S是GCD封闭集.对于元素x,y∈S(yS(x)表示x在S中所有最大型因子构成的集合.设a和b是正整数，f是算术函数.以(f^a(S))(对应地(f^a[S]))表示一个n阶方阵，其第i行第j列元素为f^a(gcd(x_j,x_j))(对应地f^a(lcm(x_j,x_j))).令■表示有限集T的基数.在本文中，当a|b, S为GCD封闭集且max_x∈S{|G_S(x)|}≤2时，我们建立了几个关于幂矩阵(f^a(S))与(f^b(S)...     

一个素数和一个素数的k次方和问题

设k≥ 2 ,Hk 表示一个正整数n的集合 ,使对任意的正整数q ,同余方程a +bk≡n(modq)在模q的既约剩余系中有解a ,b .Ek(x)表示n≤x ,n∈Hk,但不能表成p1+p2 k=n的数的个数 ,则在GRH下有Ek(x) x1-2h(k)4 k- 1 +ε,这里h( 2 ) =316 ;k>2 ,h(k) =4k-12× ( 3× 4k -2 +1)k.     

关于r进制表示法的一个问题数码和问题的探讨

设r>1是一个固定的正整数,则每一个正整数x都可以唯一地表示成x=anrn+an-1rn-1+…+a1r+a0其中ai为非负整数且≤r-1,0≤i≤n,an≠0.在序列{0,1,2…,r-1}上定义有界算术函数f(m),f(0)=0.令Sf(x)= ni=0f(ai),Br,f,k(x)=1x i≤x(Sf(i))k,k为任意给定的正整数.证明了Br,f,k(x)=f(1)+…+f(r-1)rklogkrx+O(logk-1rx)=f(1)+…+f(r-1)rklogkrx.     

有关Fermat数的一个问题

研究了在等式 σ(Fn) =σ(x) =Fn+[ax]中正整数 x的存在性 ,并讨论了 a的范围 ,此处 Fn 是 Fer-mat数 ,σ(n)表示正整数 n所有因子之和     

关于丢番图方程(x+1)2+(x+2)2+…+(x+n)2=y2

利用数论方法得到了丢番图(x 1)2 (x 2)2 … (x n)2=y2有正整数解的必要充分条件,证明了当n=25时,无正整数解,当n=49时,仅有正整数解(x,y)=(24,357),当n=121时仅有正整数解(x,y)=(243,3366),同时证明了n=2,11时必有无穷多组正整数解,并给出了无穷多解的通解公式.     

整边三角形与正整数的一类分拆数

正整数n的k部分分拆是将n表示成k个正整数的无序和.其中正整数n的3部分分拆的一个型应用是整边三角形.对于整边三角形的研究已经有许多结果,对于周长为n的整边三角形个数有一个估计数公式T(n)．本文作者利用分拆的Ferrers图将整边三角形与不定方程4x1+3x2+2x3=n联系起来,给出了利用T(n)计算正整数n的一类4部分分拆数的计数式以及一类分部量不超过4的分拆数的计数公式,并讨论了其中一类分拆数在图论中的应用.