素数分布的一些猜想

数论中的种种素数猜想,曾经花费了数学家的大量心血,也吸引了知识界的广泛注意。《素数分布的一些猜想》概述这些问题求解的历史和现状,并指出困难所在,谅能对读者有所裨益。     

完全数之谜

高斯曾说过:"数学是科学的皇后,数论是数学的皇冠."因此,数学家都喜欢把数论中的一些悬而未决的难题叫做"皇冠上的明珠",以鼓励人们去"摘取".在众多的"数论明珠"中,有一颗千古珍稀--完全数,充满疑问与猜想,等待有志者去揭示其间的奥秘.     

当今数学界最重要的问题是什么?

很多数学家都会说,他们正在致力于解决的课题是当今最重要的数学问题。但在这些尚未解决的问题中,有一个却显得卓尔不群,那就是著名的黎曼猜想。黎曼猜想自1859年由德国数学家弗里德里克·黎曼(FriedrichB.Riemann )提出以来,一直困惑着数学家。最近,随着数学家们开始以物理学的观点来思考这个问题,证明黎曼猜想的努力达到了新的高潮。黎曼猜想是黎曼在数论领域(数论是研究整数的数学分支)的唯一涉足。它阐述了一些关于素数的深刻理论。像2 ,3 ,5和7那样除了1和它本身以外再没有别的因子的数,似乎在数轴上毫无规律地出现。欧几里德证明了…     

角谷猜想和黑洞数问题的图论表示

数论的研究对象是整数,图论的研究对象是“图”,即一些点和连接这些点的一些边。整数和“图”都是离散的数学对象,因此研究它们的学科之间就必然有某种联系。《角谷猜想和黑洞数问题的图论表示》把数论中的两个著名问题用图论的方法表述出来,从而又引出一些尚未解决的新问题,读来饶有趣味。     

莫德尔猜想解决了

数学家们为一个著名的重要猜想出人意外的获得了证明而欢欣鼓舞。数学中一个悬而未决的问题——这个问题已经困扰了研究者们六十多年——最近被一位年轻的德国数学家所解决。“可以毫不夸张地说,至少在数论中,这是这个世纪的定理。它回答了似乎绝对不可能回答的问题,”芝加哥大学的斯潘塞·布洛克(Spencer Bloch)评论道。     

椭圆曲线的有理数解

椭圆曲线的研究历史悠久,其中一个基本问题就是对于一条椭圆曲线,找出其所有的有理数解.对椭圆曲线有理数解的研究也不断推动着数论中众多领域的发展.例如,椭圆曲线理论在证明费马大定理中起到了关键作用.1922年,莫德尔证明椭圆曲线的有理数解构成一个有限生成交换群.从而,椭圆曲线有无穷多解等价于这个群的秩大于0.与此相关的最著名的问题当属七大千禧年问题之一的贝赫(Birch)和斯维纳通-戴尔(SwinnertonDyer)猜想(BSD猜想):椭圆曲线的秩和哈斯-韦伊(Hasse-Weil)L函数在s=1处的阶相等.BSD猜想为判断椭圆曲线是否有无穷多有理数解提供了一个途径.然而,要证明这个猜想十分困难,数学家们仍在为此努力着.     

历史

正6.07 18世纪,欧洲的数学家经常热衷于讨论数论问题,也就是整数拆分问题,并由此产生了很多非常纯粹又深奥的难题。1742年6月7日,普鲁士数学家克里斯蒂安?哥德巴赫在向瑞士数学家莱昂哈德?欧拉寄出的一封信中提出了一个猜想。在经过简单讨论后,这个猜想被整理为:任何大于2的偶数,都可以表示成两个素数的和。不过想要用数学方法来证明哥德巴赫猜想相当困难,直至今日,无数数学家为之付出了多少心血,仍然只     

墨比乌斯带奇趣

在数学上,人们能够很简单地描述的问题往往是些非常难解的,甚至是索解了几个世纪的问题(如在数论中就有许多象费尔马猜想之类的问题)。在最近出版的一个刊物上,一位苏联数学家福克斯继续探讨了两位美国同行哈尔本和威弗尔的工作,并对迄今尚未能解决的一个简单问题:墨比乌斯带的“制作”问题,给出了部分解答。问题的对象是一位德国天文学家奥古斯特·墨比乌斯(Auguste Mobius)在1863年制作的著名纸带:     

素变数三角和的一个Bombieri型均值定理

在Goldbach猜想、孪生素数猜想等数论经典问题的研究中,必须处理素变数三角和S(x;α)=sum from n≤to A(n)e(nα),其中α及x≥2是实数,A(n)是 von Mangoldt函数,而 e(α)=e~(2πiα).当α接近于分母较小的分数时,例如时,有渐近公式(参看文献[1])此处及以下,L代表logx,μ(n)和(?)(n)分别是M(?)bius函数和Euler函数,而带有下标的c总     

自然信息

莫德尔猜想的解决——费马大定理的重大突破困扰了人们达三百年之久的费马大定理,最近有了令人激动的重大突破。联邦德国的29岁的年轻数学家格尔德·法尔廷斯(Gerd Fal-tings)证明了数论中著名的莫德尔猜想,由此即可推出:不定方程x~n+y~n=z~n(n≥4)仅有有限多个整数解。     

篩法的历史和现状

自从我国数学家陈景润用筛法在哥德巴赫猜想研究上取得重大成果以来,本刊陆续收到一些来稿,宣称彻底“证明”了这个猜想,然而,这些“证明”都毫无例外地是错误的。为此,本刊特约请我国数论工作者撰写了《筛法的历史和现状》一文,介绍了这个方法的内容和背景,展示了困难所在,谅能对读者有所裨益。     

角谷猜想的又一推广

编辑同志; 贵刊13卷5期《角谷猜想的推广》一文提出了角谷猜想的5个推广。受此启发,本人再提出一个类似于角谷猜想的猜想。猜想对于任意自然数M, (1) 若M是3的倍数,则用3除M,     

第三届全国数论学术交流会简讯

第三届全国数论学术交流会于6月16日至20日在安徽省合肥市中国科学技术大学召开,中国数学会副理事长王元出席并主持了会议。参加这次会议的代表共55人,其中有不少是青年同志。会议期间共进行了8个大会报告和35个分组报告,这些报告介绍了数论中各领域的     

高斯数论研究刍议及其生平补遗——纪念高斯逝世160周年

高斯是继欧拉与拉格郎日之后把分析方法应用于数论研究的又一位数学大师。本文扼要地综述高斯数论研究的早期工作,其中有许多激动人心的数论公式与定理。例如：正十七边形的解,高斯和,二次互反律的证明;高斯的名著《算术研究》中较多的篇幅都涉及到了二次同余和二次型、代数学基本定理,高斯整数环的概念等,以及高斯在解决这些问题的同时所创造的证明方法和概念。这些概念、定理或公式都是高斯发明并加以精确论证的。与众不同的是,他善于把复杂问题变换为一个简单问题。事实上,高斯的想法更具一般性,并足以展示高斯数学工作的深刻性。文中的某些典型例子反映了他深刻的洞察力。从高斯对数学科学的发现和发明中,我们还可以领略与欣赏到他深邃的创造性思维活动中的方法论价值。他并没有把他的发现和发明过程掩盖起来,而是记载在他的工作日记和给友人的信件之中。     

在x→∞时,{π(2x)-π(x)}÷x/(logx)的极限是1

华罗庚同志在《数论导引》一书中写道:“有所谓Bertrand假定者:必有一素数在n与2n之间,此乃一较易之事实,将于§7中证明之。”“Bertrand假设之证明乃所首先获得。”接着在同书§7中的定理1证明了:“对任一实数x≥1,在x及2x之间必有一素数。”     

中国剩余定理和电子计算机

不少人把数论看作是理论数学中最纯粹的分支,事实上,这门分支中的许多美妙结论有着广泛的实际应用。《中国剩余定理和电子计算机》介绍了一个古老的数论定理在计算机程序设计中的一个有趣的应用。     

日本数论研究印象

《日本数论研究印象》是一篇科学评论性文章,它不仅介绍了日本国数论研究的状况,而且对中日学术交流提出了互访的建议。     

修正Mbius反演公式及其超对称解释

最近,陈难先利用修正Mbius反演公式给出工程物理中两个重要问题:声子态密度和黑体辐射反问题的精确解公式,引起人们的注意和极大兴趣。(古老的)数论工具一经引入,便恰到好处地、出人意料地导致了问题的解决,给人以新的启示。 这里所用到的Mbius函数μ(n)是数论中最简单、最常见、也是最神秘的函数之一,其     

关于恒星爆发模型对Markarian 8的应用

近来恒星形成爆发模型被广泛地用来解释若干活动星系的射电辐射。所谓恒星爆发是指星系中恒星形成速率比正常速率高得多的天体物理事件。目前还不清楚究竟是什么因素引起恒星形成爆发以及怎样引起这种爆发的。一种可能的起因是一个星系与另一个星系的引力相互作用。这种猜想已有某些观测证据支持,例如,某些有伴星系的旋臂星系,在射电波段比其     

百年之久的一个数学难题已被解决

一个令人难以兰信的间接证明解决了一个老问题,并且把似乎毫无联系的两个数学领域联系起来了已经向数学家们挑战了一百多年的一个著名数论难题现在已被解决。这个问题涉及数系族,它的证明中令人惊奇而意义重大的地方是,证明过程运用了椭圆曲线,这是完全不同的另外一种数学研究对象。总之,这个问题的解可能是把椭圆曲线的分析和这些曲线的数论联系起来而迈出的一大步。