“尺棰命题”的悖论何在

“一尺之棰,日取其半,万世不竭”是先秦“辩者”提出的著名命题．“一尺之棰”的无限分割及其逆过程,使人们第一次认识到了“积少成多”这一在有限范围内正确的原则,应用于无限领域时产生的局限和矛盾．“辩者”所构造的“尺棰命题”无可辩驳地证明了无穷多个不为零的量,其和并非都是无穷大．这一天才的发现,是中国学者早在先秦时期就已接触到无穷级数敛散性问题的有力证据．     

第一类华结构Bergman核函数的无穷级数和形式

第一类华结构Bergman核函数的高维超几何函数形式和有限和形式都是在其无穷级数和形式的基础上,对指标p1,p2,…,pn分别进行某些限制,从而计算得到的.本文给出了一般情况下第一类华结构Bergman核函数的无穷级数和形式.     

级数求和的一些初等方法

“级数求和”也可以叫“数列求和”。如果级数sum from k=1 to ∞(a_k=a_1 a_2 … a_n ……)的部分和序列S_n=a_1 a_2 … a_n 有极限lim S_n 存在,就把这个极限叫做级数sum from k=1 to ∞(a_k) 的和。在中学数学里,曾提到许多数列的求和问题,例如无穷递缩等比数列的求和公式为:     

无穷多个无穷大量或无穷小量的积或和

“无穷多个无穷小量的积未必是无穷小量”这一论断似乎已有人举例证实过(恕我未能查到登在哪一份刊物上)。这里,我建立一个较一般的命题,根据这个命题,容易举例说明:(A)无穷多个无穷大量的积可以是一个无穷小量。(B)无穷多个无穷小量的积可以是一个无穷大量。(C)无穷多个正无穷大量(或负无穷大量)的和可以是一个无穷小量,也可以是一个负无穷大量(或正无穷大量)。所谓“无穷多个”指可列无限多个,“正(负)无穷大(小)量”指除有限多项以外都是正(负)数的无穷大(小)量。     

正项级数比值型判敛法的推广

本文通过考察正项级数的子级数得出比值型判别法的一种推广形式。例1由级数场华下奈二2‘一几收敛及正项级数的性质(见〔1〕2555题)知级数=习2(一‘)”一“ n=11 1 11二二 一十二下 ,二 ,,· 艺‘2艺啥2。(l) U习曰收敛,但由于1 imUn 1n~卜O〕“ 1二一<1:增黑·(‘一粉)=一万·(‘=2>1 U.二1\ 声..‘,一—J=co Un/而无法应用达朗贝尔判别法及拉贝判别法(见〔2〕)这些比值型的判别法判别级数(1)的敛散性. 比值型判别法对于形如(1)的这类级数失效的这一缺陷是由于这类判别法仅局限于考察级数的前后项之比旦竺竺而引起的。通过下面的推广我…     

百年集论使人犯极荒唐常识错误:0-10~(10)=0——再论形如{1,2,3,…,n,…}一般都有末项

-1+0+0+…=-1凸显无穷级数w必比w+a少一个项。顺藤摸瓜得:无穷多双项组成的{(2n-1,2n)}与{1,{(2n,2n+1)}}不是同一数列;医学不知血有血型就会医死人,数学不知集有奇、偶型之分就会…;变集每增(减)一元都比变化前多(少)了一个元,故无穷集U增元变为U+V=K中的V有多少个元,K就比U多多少个元;有无穷大正整数n=1+1+1+…的项比Q={1,2,…,n,…}的项还要多而>Q的一切n;各级数w都有末项;w发散≠w没有所有项的和;对无穷对象同样有:本身-本身=0;无限循环小数并非有理数。     

泰勒级数与傅里叶级数在复数域中的统一实现

泰勒级数是无穷维单项式基底{1,x,x2,…,xn,…}的线性组合,其系数用高阶导数来表示;而傅里叶级数是无穷维正交三角系{1,cosθ,sinθ,cos2θ,sin2θ,…,cosnθ,sinnθ,…}的线性组合,其系数用三角函数在一个周期的积分来表示.文章主要探讨这两种级数的关联,揭示它们在实数域上毫无联系却能在复数域上实现高度的统一;并举例阐明这种统一所带来的简明计算效果.     

Euler常数的数学表示及其应用

数列an=(1 (1/2) (1/3) … (1/n))-lnn收敛于Euler常数γ,且γ有多种数学表达形式.本文通过格玛函数Γ(x)的两种不同表达方式建立Euler常数γ的三个不同的数学表达式,并由此来计算有关非正常积分、级数的和以及无穷乘积的值等.     

关于Cantor公理

H.B.在其所著高等几何学旧版中叙述Cantor公理如下:“设在任意线段a上给了线段的无穷叙列A_1B_1,A_2B_2,…,其中每个后面的都在前面一个的内部;再有设不存在这样的线段,它在所有这些线段的内部.那末在直线a上就存在着一个而且只一个点X,落在所有线段A_1B_1,A_2B_2等等的内部”这一公理事实上等于下列命题:“设有线段叙列A_1B_1,A_2B_2,…,其中A_nB_n包含A_(n+1)B_(n+1).     

无穷级数sum from n=1 to∞(1/n~2)收敛性的一个求法

针对无穷级数sum from n=1 to∞(1/n~2)给出了一个微分的求法     

多复变数函数论的几个问题(三)—多个复变数的幂级数的收敛边界和奇流形

考虑多个复变数z_1,…,z_n的幂级数在1962年的书中载有对级数(A)的收敛区域的讨论。使用了“完全n圆域”(2n维)和“共轭收敛半径”等概念。但并末指出如何计算每个共轭收敛半径,只给出了联系着共轭收敛半径的式子,但却是不正确的[见《多复变数函数论的几个问题(一)》,第十三节,《华南工学院学报》,1978年,第1期.82—101.以下相应地简称问题(一)、问题(二)、问题(三)等等]。 1972年和指出级数(A)的收敛点集和绝对收敛点集是一致的[见1973,22,10 141,1972,185-195.].但这样的点集有多大?在《问题(一)》中我们不仅算出了它的大小,而且还顺便将“级数(A)的收敛点集和绝对收敛点集是一致的”这一结论作为推论[见附注6.1]. 在《问题(一)》中首先算出多个复变数的函数项单级数P_0(z_1,…,z_n)+P_1(z_1,…,z_n)+…+P_m(z_1,…,z_n)+…(B)的收敛且绝对收敛点集[见第三节],顺便推出计算一个复变数的幂级数的收敛半径的Cauchy—-Hadamard公式,而后引进模变换[见第一节],从而获得所需结果。其中使用收敛尺度、收敛点集和收敛界限等概念。在《问题(二)》[见《华南工学院学报》,1978年,第1期,102-120]中由级数(A)的收敛且绝对收敛点集构造了各种维数的收敛且绝对收敛区域[见定理1.8].其中使用收敛半径和收敛区城等概念。在《问题(三)》中,使用收敛边界这一概念,指出了在(2n-1)维收敛边界上至少存在一个至少(n-1)维奇流形,并给出了奇流形所满足的方程,举了二例,一例算出了唯一的(n-1)维奇流形;另一例算出了仅有的n个(2n-2)维奇流形[在前面所提到的的书中,在2n维完全n圆域的讨论中,仅指出了级数(A)在该区域的边界上至少存在一个奇点,而且也没有指出寻找该奇点的途径]。在《问题(四)》中讨论了一类更广泛的区域,我们称之为2n维准多圆柱,级数(A)的2n维收敛区域是它的特款[见定理4]。以上许多结论对于维数低于2n的各种区域亦成立,兹不赘述。     

关于迭套化方法的若干应用

所谓迭套化方法或迭套法,指的是将无穷级数或无穷乘积设法化为正负相间或其它便于相约的形式,进而抵消相同的项或约去相同的因子,使复杂的问题转化成简单问题的一种方法.我们下面通过若干例子来阐述这种方法.问题1 求极限(1 a)(1 a~2)…(1 a~(2~n)),|a|<0.     

单位圆内无穷级Taylor级数

定义了关于单位圆内Taylor级数的型函数和型函数的级,研究了单位圆内无穷级Taylor级数,得到了其关于型函数U(1/1-r)的级与系数之间的几种关系.     

几种反常积分的应用

给出3种形式无穷限反常积分在概率统计中的应用。以反常积分Γ(α)=∫∞0xα-1e-xdx,(α0)及Φ(x)=∫x-∞1/2π(1/2)e-t22 dt为例,介绍它们在概率论与数理统计及高等数学学习中的应用,利用反常积分来判断无穷级数的敛散性,计算某些定积分及验证正态分布的结论。可以看出反常积分不只是一个数学概念,其实也是一种数学方法。     

判断级数敛散性的两个实用命题

利用无穷小量的等价和正项级数的比较判别法,证明了判断级数敛散性的两个命题。     

正项级数比较判别法中“参照级数”的碎片化

在MOOC模式下将无穷小量的阶与无穷级数比较判别法的极限形式结合起来,通过无穷级数通项对应的等价(或同阶)无穷小量、高阶无穷小量和低阶无穷小量来寻找适当的"参照级数",解决了正项级数比较判别法的碎片化与知识系统性问题,并举例说明该方法在判定无穷级数收敛性方面的的有效性.     

三角级数的V求和

本文从无穷级数的V求和的定义出发,讨论L(0,2π)中的函数的富里埃级数及其导级数和共轭级数用V求和法求和的若干问题。一、无穷级数的V求和     

反向差分在级数求和中的应用

数列a_0,a_1,a_2……a_n,… (1)的反向差分定义为Va.’ao,n》1时,Vso’s,—a,—1, (2) 其γ阶反向差分定义 (3) 反向差分在求无穷或有穷级数的和时,有一些简捷方便的结果,本文拟加以探讨,如无特殊声明,本文中的幂级数均指形式幂级数。     

关于■一类级数的求和问题

在计算弹性薄板时.常需要计算一些无穷级数的极限和.本文给出形如sum from m=1 to ∞(sin (mπξ)/a sin (mπx)/a)/(m~4+2ηm~2(a~2/π~2)+(p~2(a~4/π~4)))一类级数在η~2=p~2,η~2>p~2,η~2相似文献   

椭元周长的近似公式

在科学研究和生产技术中,经常要遇到求椭园周长的问题.我们知道,椭园x~2/a~2 +y~2/b~2=1的周长l的表达式(e为椭园的离心率)是不能积分的,为了求周长l,可将被积函数展成无穷级数,即