关于a（mod p）≤b（mod p）＋2

Erd s等于1987年曾证明了:对于正整数a,b,如果对所有素数p,a,b被p除所得余数分别为a(modp),b(modp),都有a(modp)≤b(modp),则a=b.本文研究对哪些正整数a,b,满足对所有素数p,恒有a(modp)≤b(modp) 2,并对1≤a≤7,确定了所有的b.     

关于Pell方程是px2-(pn±2)y2=±1(p=-1,±3(mod 8)素数)

Pell方程ax2-by2=±1(a,b∈Z+,ab不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.运用Legendre符号和同余的性质给出了形如px2-(pn±2)y2=±1(p≡-1,±3(mod8)是素数)型Pell方程无正整数解的6个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.     

关于Pell方程ax~2-mqy~2=±1(m∈Z~+,3|a,q≡±1(mod6)是素数)

Pell方程ax2-by2=±1(a,b∈Z+,ab不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.本文运用Legendre符号和同余的性质给出了形如ax2-mqy2=±1(m∈Z+,3|a,q≡±1(mod 6)是素数,amq是非完全平方数)型Pell方程无正整数解的几个结论.这些结论对我们研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.     

关于Pell方程x~2-5(5n±2)y~2=-1(n≡-1(mod4))

讨论了形如x2-5(5n+2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n+2为素数)与x2-5(5n-2)y2=-1(n∈Z+,n≡-1(mod4),5n-2为素数)型Pell方程有正整数解的两个结论.     

四元欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+φ(b)+2[φ(c)+φ(d)]的正整数解

利用初等数论的方法,研究了四元欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+φ(b)+2[φ(c)+φ(d)]的正整数解问题,并得到其全部16组解。     

关于Pell方程,,是素数ax2-mqy2=±1(m∈Z+,2▕a,q≡±1(mod4)是素数)

Pell方程ax2-by2=±1(a,b∈Z+,a,b不是完全平方数)可解性的判别是一个非常有意义的问题.运用Legendre符号和同余的性质给出了形如ax2-mqy2=±1(m∈Z+,2 a,q≡±1(mod4)是素数,a,m,q是非完全平方数)型Pell方程无正整数解的几个结论.这些结论对研究狭义Pell方程x2-Dy2=±1(D是非平方的正整数)起了重要作用.     

欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的正整数解

研究了方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的可解性问题,φ(n)定义为欧拉函数。利用欧拉函数的性质和初等数论的方法,得到了该方程的所有正整数解。     

关于Pell方程qx~2-(qn±5)y~2=±1(q≡±1,±3(mod 10)是素数)

运用Legendre符号和同余的性质给出了形如qx2-(qn±5)y2=±1(q≡±1,±3(mod 10是素数)型Pell方程无正整数解的4个结论。这些结论对研究狭义Pell方程ax2-Dy2=±1(D是非平方数的正整数)具有重要作用。     

关于欧拉方程φ(ab)=2~k(φ((a)+φ(b))的正整数解简

设φ(m)为欧拉函数,探讨了方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整数解问题.当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.进而,对任意正整数k,给出了方程的5个正整数解:(a,b)=(3×2k-1,3×2k),(2k+1,5×2k-1),(2k+1,3×2k),(5×2k-1,3×2k),(2k+1,2k+1).对任意正整数k≥2,给出了方程的2个正整数解:(a,b)=(7×2k-2,13×2k-2),(9×2k-2,13×2k-2).     

关于丢番图方程x2+b2y1=c2z1的解

设s,t∈N+,(s,t)=1,s>t,且a=2st,b=s2-t2,c=s2+t2.用初等方法证明了当c为素数幂时,丢番图方程x2+b2y1=c2z1仅有正整数解(x,y1,z1)=(a,1,1),推广了相关结果.     

关于丢番图方程mp-1=qd

我们利用初等方法证明,如果丢番图方程mp-1=qd有正整数解,则除(m,p,q,d)=(3,2,2,3)外,必有q是Mersenne数,其中p,q为素数,m,d为正整数,p≥3.     

关于Diophantine方程xp-1-1=2mpyn

设p是奇素数，n是大于1的奇数，证明了：当p≡7(mod12)时，方程x^p-1-1=2^mpy^n无正整数解(x，y，m，n)。     

关于Pell方程qx^2-（qn±3）y^2=±1（q=±1（mod6）是素数）

运用Legendre符号和同余的性质给出了形如矿qx^2-（qn±3）y^2=±1（q=±1（mod6）是素数）型PeU方程无正整数解的四个结论。这些结论对研究狭义Pell方程x^2-Dy^2=±1（D是非平方的正整数）具有重要作用。     

关于不定方程4x~(2n)-py~2=1

用初等方法研究不定方程4x2n-py2=1(p为奇素数)的正整数解问题,推导并证明了不定方程在2|n时的全部正整数解.     

正整数被素数p整除的判别法

设p是素数且p≠2,5,|k|是满足10k≡1(mod p)成立的最小正整数,Mn=n∏i=010iai(0≤ai≤9,i=0,1,…,n,an≠0).运用数学归纳法证明了:若对?i=0,1,…,n-1,有bi+1=kci+ai+1,bi+1≡ci+1(mod p),其中c0=a0,|ci+1|≤p-1/2,则p|Mn...     

关于不定方程x~3＋1=py~2

设p是奇素数,t是非负整数,s是不超过7的非负整数,在p=3（8t＋s）（8t＋s＋1）＋1的情形下,运用初等数论的方法给出了不定方程x3＋1=py2无正整数解的充分条件.     

关于不定方程x~3-1=Dy~2

设D是奇素数,运用初等数论的方法给出了在D=3(8m+k)(8m+k+1)+1(m,k∈N,k≤7)的情形下不定方程x3-1=Dy2无正整数解的充分条件。     

关于同余式2n≡5(mod n)的解

证明了同余式2n≡5(mod n)(n＞1)在［2,4294967295］中除平凡解n=3外,仅有解n=19147=41·467,以及若m＞1满足2m≡5(modm),则n=2m-1是2n-4≡1（modn）的解.     

关于Pell方程ax~2-mqy~2=±1(m∈Z~+,a为奇数,q为素数)

给出了形如ax2-mqy2=±1(m∈Z+,a为奇数,q为素数,amq为非完全平方数)型Pell方程无正整数解的几个结论.