多项式矩阵根的再研讨

在引用源根研究复数域上多项式矩阵根的性质及求解方法的基础上，引用Jacobson型源根、Frobellius型源根，进一步研究了实数域R、有理数域Q上多项式矩阵根的性质，并给出了实数域R、有理数域Q上多项式矩阵根的求解方法。     

一元多项式中一个整除性定理的证明

在实系数多项式团式分解定理[1]的证明中有“设f（x）是n次实系数多项式,由代数基本定理,f（x）有一复根a,那么在复数域上有f（x）＝（x-a）f1（x）若a为实数,则f1（x）是n－1次实系数多项式”。此处说“f1（x）是n-1次实系数多项式”实际上是用了下述定理。在下述定理中分别取P为实数域,P为复数域,即可得到上述结论。定理设P和P是两个数域且P是P的真子集,用P[x]和P[x]分别表示P和P上的多项式环,且设g（x）EP卜〕,／（X）EP卜〕,g（X）一0,如果存在人（X）E川x〕使＠这个定理在［卫］的12页中作了直观说明,下面给出这个…     

浅谈整系数多项式不可约性的判定

如何判定整系数多项式在有理数域上不可约是一个较难的问题，学生不易掌握。本文将其判定方法作一简单归纳，以便学生学习。一、有理报判别法对于二、三次整系数多项式，判定其在有理数域上不可约，只需验证其所有可能有理报都不是多项式的根。例1：f（X）一工’十工十3解：八X）的可能有理报是：土1，土3利用综合除法可判定：士1、土3均不是f（l）的有理根。二人X）在有理数域上不可约。例2：八X）一3X‘＋ZX’＋3X＋3用：八X）的可能有理报是：土1，士1／3利用综合除法可判定：士1，土1／3均不是人X）的有理根。·二人刘在有理数域上…     

关于一类三次域的基本单位的研究

设三次多项式f（x）=x3＋tx2-ux-1∈Z[x],则存在t,u∈Z使得f（x）有惟一的一个实数根θ〉1,并且θ是三次域K=Q（θ）的基本单位。     

整多项式f(x)的因式分解及不可约判别法

本文主要讨论整多项式f(x)在有理数域Q上的因式分解及不可约判别法。     

有理数域上的一类不可约多项式

首先介绍了判别有理数域上多项式不可约的常用结论,讨论了形如f(x)=ψ(X)(x-a1)(x-a2)…(x-an) 1的多项式的性质, 并且得到了定理:若n6,ψ(x)0且它的次数小于,n的一半,则f(x)=ψ(X)(x-a1)(x-a2)…(x-an) 1在Q上不可约.     

Q[x]的一个子环的素谱及同调维数

本文确定了有理数域Q上的多项式环Q[x]的一个子环R={f(x)∈Q[x]|f(0)∈Z}的极大谱、素谱及同调维数.     

具有非零根的多项式可约性的一个刻划条件

设P为任一数域，f(x)为P上的任－n次多项式且没有零根，给出了f(x）在P上的可约性的一个刻划。     

Eisenstein判别法的两种变通形式

多项式的可约性与多项式的因式分解有密切的联系,判断一个整系数多项式在有理数域上是否可约,有重要的Eisenstein判别法(以下简称E-判别法).即对整系数多项式f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_1x a_0,如果存在一个素数p,使P(?)a_n,P(?)a_i,(i=0,1,2,…n-1)但P~2(?)a_0,那么f(x)在有理数域上不可约,但对任意一个整系数多项式来说,满足E-判别法条件的素数P不总存在,因而它在有理数域上的可约性,不能完全由E-判别法本身所确定.例如x~2 1与X~2 3x 2都不存在满足判别法条件的素数P,但前者不可约而后者可约,本文给出E-判别法的两种等价形式,通过对f(x)适当变形,扩大E-判别法的适用范围.     

Selmer多项式不可约性的一个新证明

由n次多项式f（x）的全部根α_1,α_2,…,α_n,构造一个关于根的对称多项式S（f）=∑（α_i-1/α_i）,如果多项式f（x）在Q[x]可以分解为多项式g（x）h（x）,利用恒等式S（f）=S（g）＋S（h）,得出多项式g（x）的可能形式,并利用上述方法给出Selmer多项式不可约性的一个统一证明.     

矩阵多项式方程根的求解问题

本文讨论了当f（x）为矩阵多项式时,矩阵方程f（x）=A的求解问题。首先根据一些已知结论,得出了多项式方程有根的充分必要条件,并对有根的矩阵多项式讨论了根的形式,然后指出求解根的步骤。     

关于有限域上多项式周期的性质

主要研究了有限域 Fq上多项式 f （x）与 f （ax）的周期之间的关系和性质，其中 a∈ F＊q ，并给出了具体的算例。     

关于整系数不可约多项式的判别法

本文给出了n次整系数多项式在有理数域上存在次数至少为k+1(k相似文献   

一类线性完全映射的构造

给出了有限域Fqn上多项式f(T)(x)是完全映射的充要条件是多项式f(x)和f(x) 1均与xn-1互素,其中T为有限域Fqn上一个固定的线性变换.利用有限域上的分圆多项式的有关结果,构造出次数较高而且项数比较多的一类完全映射.结果表明,这类完全映射在分组密码中S-盒的设计方面具有好的密码学性质.     

构造整数环上的一类不可约多项式

介绍了满射多项式的基本性质,证明了：当ｎ≥５时,对任何Ｓ０Z且｜Ｓ０｜＝ｎ,有Ｅ(Ｓ０,Ｔ０）＝.由此得到了如何构造Z[ｘ]中的一类不可约多项式的方法：设φ（ｘ）∈Z[ｘ]是Z上无重根完全可约的多项式且次数大于等于5,若二次整系数多项式ｆ（ｘ）∈Z[ｘ]在有理数域Q上不可约,则ｆ（φ（ｘ））在Q上不可约.     

二次多项式的平方取值

设 F 为任意特征不为2的域,f(x)=αx~2-βx+r 是 F 上二次多项式。令 F=Fu{∞},並令 f(∞)=α。对任意 a∈F,我们定义了变换τ_a:■变换τ_a 保持“f(x)为平方”这性质不变.利用这组变换,(1)当 F 为有限域,我们确定了集合 H={x∈F|f(x)∈F~(*2)}及 S={f(x)∈F~(*2)|x∈F},並计算了它们元素的个数;(2)当 F 为有理数域,我们讨论了整系数二元二次型 f(x,y)取平方值问题.考虑方程 f(x,y)=z~2。如它有一整数解,则必有无限多不等价的解,所有的解都可通过变换τ_a 简单地得到:(3)当 F 为实数域,我们得到一族条件不等式.     

二次多项式的平方取值

设 F 为任意特征不为2的域,f(x)=αx~2-βx+r 是 F 上二次多项式。令=F∪{∞},并令 f(∞)=α。对任意 a∈?),我们定义了变换τ_a∶.变换τ_a 保持“f(x)为平方”这性质不变.利用这组变换,(1)当 F 为有限域,我们确定了集合 H={x∈F|f(x)∈F~(*2)}及 S={f(x)∈F~(*2)|x∈F},并计算了它们元素的个数;(2)当 F 为有理数域,我们讨论了整系数二元二次型 f(x,y)取平方值问题.考虑方程 f(x,y)=z~2.如它有一整数解,则必有无限多不等价的解,所有的解都可通过变换τ_a 简单地得到:(3)当 F 为实数域,我们得到一族条件不等式.     

具有非零根的多项式可约性的一个刻划条件

设P为任一数域 ,f(x)为P上的任一n次多项式且没有零根 ,给出了 f(x)在P上的可约性的一个刻划     

多项式最大公因式的一种求法

数域Ｆ上任意n个多项式的最大公因是存在的很难求得，因此，采用矩阵初等变换的方法来求多项式的最大公因式，同时可以得到ui(x)i)=１，２，…,n使得：f1(x)u1(x）＋f2(x)u2(x)+…+fn(x)un(x)=d(x)成立。     

无理方程在复数域内的解

设R为有理数城,P(x)是有理系数多项式环R(x)内的一个不可约多项式,则称代数式:f(x):