关于n×n复矩阵与其诱导矩阵之间的关系

讨论三个问题:a.设A是n×n复矩阵,且K(A)分别是正规的、厄米特的、半正定的和反厄米特的,用简洁的方法证明A的某些性质;b.设A是复可逆矩阵,巨C_m(A)分别是正规的、厄米特的、正定的和反厄米特的,讨论A具有的性质的条件;c.设A,B均为n×n复矩阵,讨论C_m(A)=C_m(B)的必要充分条件.     

关于某些M-矩阵的Minkowski不等式

本文将正定矩阵行列式的Minkowski不等式 |A+B|~(1/n)≥|A|~(1/n) +|B|~(1/n)推广至某些M-矩阵。     

关于某些矩阵行列式的Minkowski型不等式

关于实对称正定矩阵的行列式,有著名的Minkowski不等式(见参考文献)|A+B|~(1/n)≥|A|~(1/n)+|B|~(1/n) 本文将上述不等式推广至某些非对称正定的情况,建立类似的一些不等式。     

正定厄米特矩阵的几个不等式

推广张远达在线性代数原理中给出的一个不等式．并得到两个不等式．一个是关于一组n阶正定厄米特矩阵的不等式,另一个是关于一组两两可变换的,n阶正定厄米特矩阵的不等式。     

关于Single-Hook Immanant的一个不等式

dk表示对应于n的划分(k,1,…,1)的Sn的不可约特征标的正规化广义矩阵函数,假定A≥0(系指n×n半正定厄米特矩阵),证明了下述猜想,即不等式链det(A)=d1(A)≤d2(A)≤…≤dn-1(A)≤dn(A)=per(A)中的不等式d4(A)≤d5(A)成立(n=6,8),这是为解决“积和式居首位”而做的部分工作     

关于正规矩阵及矩阵三种积的亚正定性

本文首先讨论正规矩阵为亚正定的特征;然后论述了亚正定矩阵的一般积、Kronecker积以及Hadamard积仍为亚正定的条件。定义1 设A为实方阵,对任意非零向量x,有x Ax>0;称A为亚正定的。定义2 设A∈R~(n×n),A~ΓA=AA~Γ;则称A为正规矩阵。定义3 A、B为同阶实方阵,A可逆,方程|λA-B|=0的解为B相对A的特征根,显然它们是A和B确定的。定义4 A=(α)(?)×,B=(b_i)_m×m都是实阵;则m·n阵方阵(α_(ij)·B)_(m×m)为A与B的Kronecker积,记为AB。     

实正规矩阵正定的若干充要条件

定理设 A 为正规矩阵,则以下各种情况等价:(1)A 是正定正规矩阵.(2)R(A)是正定(对称)矩阵.(3)A 的任一特征值的实部大于零,即 Re(λ(A))>0.(4)(?)(?)表示 n 阶矩阵 A 的任一 k 阶主子阵,1≤i_1|Im(λ(B))|;Re(λ(B)),Im(λ(B))     

关于矩阵迹的不等式

本文给出了关于任意n阶复矩阵迹的几个不等式,作为它的推论,包括了文[1,2]中相应的内容,并拓广到反厄米特矩阵和Cauchy不等式。同时从另一个角度就两两可交换的正定厄米特矩阵的迹给出了算术平均-几何平均不等式的另一种推广,进一步回答了文[1]所提出的问题。最后把文[3]定理2的结果应用到反厄米特矩阵,得出了相应的不等式。     

华罗庚不等式的上界与下界的研究

在多复变分析的研究中,华罗庚发现并证明了行列式不等式det(I-AAH)det(I-BBH)≤|det(I-ABH)|2,其中n×n复矩阵A,B满足I-AAH,I-BBH都是Hermitian正定矩阵.本文从一个矩阵恒等式的应用出发,给出了较为精细的华罗庚不等式的新的上界和下界:det(I-AAH)det(I-BBH) |det(A-B)|2 (2n-2)|det(A-B)|[det(I-AAH)det(I-BBH)]21≤|det(I-ABH)|2≤det(I AAH)det(I BBH) (22n-1-2n 1 1)|det(A B)|2-(2n-2)|det(A B)[(22(n-1)-2n)|det(A B)|2 det(I AAH)det(I BBH)]21.     

正定矩阵半群

以Pn(R)表示所有n×n实正定矩阵的集合 ,用Pn(A)表示使得AB+BA正定的n×n实矩阵B的全体 .对正定矩阵A证明了Pn(A)是Pn(R)的子半群 ,作为半群二者同构     

关于正定矩阵不等式的注记

正定厄米特矩阵行列式的一个不等式，对其进行推广，得到正定矩阵行列式的两个不等式。     

关于矩阵方程X~m-AXA=B

令M_n表示n n复矩阵的集合,P_n表示M_n中正定矩阵的全体,在本文中,我们考虑矩阵方程X~m—A~*XA=B(A∈M_n,B∈P_n,m≥1的整数)在P_n中解的存在性及解的构造。     

关于乘积矩阵的特征值估计

简要概述了近几年关于乘积矩阵特别是厄米特矩阵或半正定阵的特征值的一些最优估计，论述了在一定条件下一般复矩阵乘积的特征值的估计．在放宽条件下得到了一般的厄米特矩阵乘积的特征值的一类新估计．     

关于半正定矩阵初等和完全对称函数的一些不等式

对于n阶半正定矩阵A ,B的初等和完全对称函数 ,得到如下的不等式 :　Er[(AB) m]≤Er(AmBm) ,　hr[(AB) m]≤hr(AmBm) ,　Er[AαB1-α]≤ [Er(A) ]α[Er(B) ]1-α,　hr[AαB1-α]≤ [hr(A) ]α[hr(B) ]1-α.其中 ,m是任意正整数 ,0≤α≤ 1,Er(A) ,hr(A)分别为半正定矩阵A的r阶初等和完全对称函数。当A ,B都是正定矩阵时 ,有　E2 r(A B)≤Er(A)Er(B) ,　h2 r(A B)≤hr(A)hr(B) .其中 ,A B =A1/ 2 (A-1/ 2 BA-1/ 2 ) 1/ 2 A1/ 2 称为A与B的几何平均矩阵     

关于半正定矩阵初等和完全对称函数的一些不等式

对于n阶半正定矩阵A,B的初等和完全对称函数,得到如下的不等式Er[(AB)m]≤Er(AmBm),hr[(AB)m]≤hr(AmBm),Er[AαB1-α]≤[Er(A)]α[Er(B)]1-α,hr[AαB1-α]≤[hr(A)]α[hr(B)]1-α.其中,m是任意正整数,0≤α≤1,Er(A),hr(A)分别为半正定矩阵A的r阶初等和完全对称函数.当A,B都是正定矩阵时,有E2r(A#B)≤Er(A)Er(B),h2r(A#B)≤hr(A)hr(B).其中,A#B=A1/2(A-1/2BA-1/2)1/2A1/2称为A与B的几何平均矩阵.     

对称矩阵特征值估计的某些进展

如果λ_1,…,λ_n是对称矩阵A的特征值,P. Tarazaga证明了|tr(A)/n-λ_i|≤[(n-1)/n(‖A‖_F~2-tr(A)~2/n)]~(1/2)对λ_i,i=1,…,n。本文中得到了一个等式成立的充分必要条件,由此给出一类特殊对称矩阵特征值的计算方法,而且证明了下面的定理:如果对称正定矩阵A仅有k个特征值大于或等于αtr(A),0<α<1,则tr(A)/‖A‖_F≥P_k(α)~(1/2),其中P_k(α)~(-1)=[1-(k-1)α]~2+(k-1)α~2,进而得到正定对称矩阵每一个特征值的上界估计。     

关于(A+tB)m主子式的和的注记

当A,B中有一个是正定矩阵,另一个是半正定矩阵时,(A tB)m的主子式的和在k=n(任意m)和m<3(任意k,n)这两种情况下是关于t的正系数多项式.     

正定矩阵之逆的几何意义及其一个应用

已给一个正定矩阵A_(nxn)=[α_(ij)]。我们知道在n维欧氏空间中存在n个矢量e_1,e_2,……,e_n;记e_i与e_j的点乘积为〈e_i·e_j〉,它们使α_(ij)=〈e_i·e_j〉,对i,j=1,2,…,n。定义:称E(A|B_1,B_2,…,B_n)是A在B_1,B_2,…,B_n生成线性子空间x(B_1,…,B_n)中正交投影。若此矢量满足:     

一个高等代数问题种种解法及推广

本文论证了实n阶正定矩阵A与n阶实反对称矩阵B有det(A+B)>0,并给出若干推广.     

半正定矩阵广义Schur补的几个不等式

利用半正定矩阵的性质和矩阵Moore Penrose广义逆的特性,研究了半正定矩阵乘积及Hadamard积的广义Schur补的L wner偏序问题,得到了关于广义Schur补的若干不等式.对半正定矩阵A和B,给出了其Hadamard积广义Schur补与A/α B/α的关系,并对形如C AC(其中A半正定)的矩阵乘积,证明了(C AC)(β′)≥C (β′,α′)A/α·C(α′,β′)及(C AC)/α≤C /α·A(β′)·C/α.