多项式微分方程的基本定理

常微分方程与代数方程有同类的发展历史，即经过实域到复域，从定量到定性。但前者比后者更困难。后者以高斯的"代数方程的基本定理"作为结束。前者则系统的研究开始于秦元勋的《常微分方程定义的积分曲面》(1985)西北大学出版社。该文是这方面的三个基本定理，得到平行于高斯定理的多项式常微分方程的通解法式。     

多项式微分方程的基本定理(续)

常微分方程与代数方程有同类的发展历史 ,即经过实域到复域 ,从定量到定性。但前者比后者更困难。后者以高斯的“代数方程的基本定理”作为结束。前者则以系统的研究开始于秦元勋的《常微分方程定义的积分曲面》 ,1985 )西北大学出版社。本文给出这方面的三个基本定理 ,得到平行于高斯定理的多项式常微分方程的通解法式。     

多体系统动力学非线性常微分方程微分求积法

针对多体系统动力学非线性常微分方程形式,在时间域上采用微分求积法(DQ,Differential Quadrature Method),得到以时间域中各时间节点处函数值为未知数的非线性方程组,求解可得各时间节点处的函数值,从而得到满足工程应用需要的常微分方程数值解。以平面双连杆机械臂为例在时间域上采用微分求积法验证,结果表明,该方法具有数学原理简单、使用方便和精度高等优点,是一种求解多体系统动力学方程的有效方法。     

变系数微分方程的常系数化条件

不同于解具有e∫φ(z)dz形式的待定函数法,由引理1给出了n阶变系数微分方程具体的因变量代换形式,从而给出n阶变系数微分方程常系数化的充要条件并加以详细证明,由此得到二阶、三阶变系数线性微分方程常系数化的充要条件,同时指出三阶变系数微分方程在具体应用中令a1=0的简便性.对二阶变系数非线性微分方程的常系数化给出两个使其可积的条件,并举例论证.     

常微分方程解的存在唯一性定理的推广

常微分方程理论中最基本的定理就是解的存在唯一性定理.本文用皮卡逐步逼近法研究了一阶微分方程解的存在唯一性定理,将原定理中的矩形域推广至两种带形域,得到两个新定理.本文最后分析并举例验证了定理.     

周期边值问题的延拓法求解

本文主要讨论用延拓法求解常微分方程周期边值问题.与不动点方法相比较,它使得迭代的收敛域得到有效扩大.     

一类微分方程向量比较定理

考虑常微分方程的第一比较定理和第二比较定理,基于推广到向量空间的比较定理,在n维向量空间中,得到了一个条件较弱、结论较强的向量比较定理,并且举例验证了定理的有效性.     

广义Birkhoff系统的Bertrand定理

研究广义Birkhoff系统的动力学逆问题,将完整非保守力学系统的Bertrand定理推广到广义Birkhoff系统。建立广义Birkhoff系统的运动微分方程,将系统的一个已知积分对时间求导数,引入Еругин函数,得到一个一阶常微分方程,假设系统的附加项仅依赖于2n个Birkhoff变量中的n个变量的情况,由这个一阶常微分方程并利用系统的运动微分方程得到了确定附加项的代数方程组,解此代数方程组就可确定系统的附加项。文中举例说明结果的应用。     

(n+1)维Sine-Gordon方程的双周期行波解

将(n 1)维S ine-Gordon方程行波约化,得到一个常微分方程。用未知函数的变换将此方程变换成新未知函数及其导数为变元的多项式型的非线性常微发方程。该常微分方程可用扩展的F展开法求解。利用齐次平衡原则和扩展的F展开法求出了(n 1)维S ine-Gordon方程的Jacob i椭圆函数表示的双周期行波解,在极限情况下可得孤立波解。     

n维空间的全微分方程的求解

本文从通常的常微分方程出发,考虑了n维空间的全微分方程,得出了n维空间全微分方程的充要条件。     

环域定理与奇点概念的推广

环域定理在常微分方程定性理论中是人所熟知的。近年来有人研究此定理是否可以推广到三维实心环体中去,也有人把它向流形的分叶理论方面去推广。本文的目的是要把环域定理推广到平面多连通区域去。由于当区域的连通数大于2时,即使轨线都从外部进入内部,区域中仍必然存在奇点,因此不一定存在闭轨线。本文首先引进内外广义焦点与奇闭轨线的概念,估计从奇点跑出的分界线的最少条数,得到确定奇闭轨线内部或外部的奇点指标之和的公式。然后引进内外广义奇点的概念与确定其内外指标的公式。利用这些工具我们证明:在原来的边界条件之下如果环域中有有限个奇点,则必存在包含内境界线在其内部的奇闭轨线。最后推广此结果到平面n连通区域中去。     

某类高阶常微分方程组的特征值不等式

研究了一类高阶常微分方程组的特征值不等式问题,得到了用前n个特征值估计出第n+1个特征值的几个结果,其估计不依赖于区间的几何度量.     

n阶非线性微分方程的三点及四点边值问题

用上下解方法证明两类n阶非线性常微分方程四点边值 问题解的存在性和三类n阶非线性常微分方程三、 四点边值问题解的存在性和惟一性.     

n阶常系数线性微分方程的特解公式

改进了n阶常系数非齐次线性微分方程特解的常用计算方法—待定系数法,且推导出了n阶常系数非齐次线性微分方程特解的一般公式。     

《常微分方程》学习辅导—教材第三、四、六章分析

本文继[1]对教材[2]（简称教材，下同）第三、四、六章作进一步介绍。第五章边值问题虽然很重要，但它已超出现行大纲范围．（用*表示）在此从略。一、二阶微分方程第三章二阶微分方程，就其内容而言是可以包含在一般的n（≥2）阶常微分方程之中，但鉴于生产实际及科学技术中提出的许多数学模型均属二阶微分方程，常微分方程的阶数。可以看作是评估问题难度的一个量。一般的It阶常微分方程研究往往很困难，因此解剖二阶常微分方程，作为高阶常微分方程入门的向导，也符合从简到繁的教学原则；另一方面，二阶常微分方程是许多特殊函数的丰富…     

一个三阶非线性常微分方程的稳定域分析

本文研究串激电机运行中出现的三阶非线性常微分方程的稳定域问题。     

二元函数序列微分及微分方程的解与Vandermonde行列式的关系

<正> 的特点是它可以展开为(n(n-1)/2个关于(x_i—x_j)(u≥i>j≥1)的因式的乘积,而且当x_i x_j(i j)时,这个乘积(即D)的值不为零。利用这一性质,在数学分析和微分方程中就可较直接地研究隐函数组的存在性和n阶常微分方程的几个解的线性无关性或者是利用Vandermonde行列式直接构造某些偏微分方程的解。下面分三个方面探究。     

分层半空间中Love表面波的精细方法

精细积分法是求解线性常微分方程两端边值问题和初值问题的精细算法.应用精细积分法(PIM)和扩展Wittrick-Williams(W-W)算法求解了横观各向同性、分层半空间中的Love表面波问题.岩层是由分层介质置于半无限空间上组成.Love表面波对应于波数-频率域线性常微分方程的本征值问题.利用本征值计数技术,扩展W-W算法可以不遗漏地找到所有本征值,得到计算机精度意义下的精确解.     

常微分方程定性理论的两项成果

H.poincare’不积分微分方程,而由微分方程直接研究它定义的积分曲线的性质,从而,得到解的性质。这是常微分方程定性理论的主要方法。几年来,我们在这方面的研究取得了一定成绩,分两个方面把主要结果分述于后。一、平面定性理论的应用常微分方程定性理论的产生、发展一直和解决实际问题紧密联系在一起。几年来,我们和化学、物理、地质等系的师生合作研究,把常微分方程定性理论成功的应用到有关学科、完满的解决了一些实际问题。应用定性理论的一般理论研究《无浓度扩散时Prigogine三分子模型》     

关于常微分方程的解的“个数”

在学习初等数学过程中,凡遇有求解方程(或方程组)的问题时,对给定的方程(或方程组)我们都能明确地回答两个方面的问题:该方程(或方程组)在定义的数的范围内是否有解;如果有解,有多少个(或组)解。例如代数学基本定理就断定:在复数范围内,n次多项式正好有n个根(重根按重数计算)。然而求解常微分方程却不能如愿以偿。对于一般的常微分方程来说,在一定的条件下,解是存在的,而从其解的表达式(如果存在包括全体解的共同表达式)来看,只能得到一个“有无数个解”的概念。例如一阶方程