关于图的距离无符号拉普拉斯谱半径的下界

若一个连通图G的点集是V(G)={v₁,v₂,…,v_n},那么图G的距离矩阵D(G)=(d_ij),其中d_ij表示点v_i与v_j之间的距离.令Tr_G(v_i)表示点v_i到图G中其他所有点的距离之和,Tr(G)表示i行i列位置的元素Tr_G(v_i)的对角矩阵.图G的距离无符号拉普拉斯矩阵Q_D(G)=Tr(G)+D(G).Q_D(G)的最大特征值λ_Q(G)是图G的距离无符号拉普拉斯谱半径.该文确定了给定匹配数的n个点的图的距离无符号拉普拉斯谱半径的下界.     

三类不含拉普拉斯特征值1的树

设A(G)为图G的邻接矩阵,D(G)为图G的度对角矩阵,称L(G)=D(G)-A(G)为图G的拉普拉斯矩阵,则特征多项式?_G(μ)=det(μI-L(G))的所有根称为图G的拉普拉斯特征值。一个端点的度不小于3,另一个端点的度等于1的路,被称为外部路。对于任意图G,如果G的外部路上包含P₃子图,则删除P₃不影响图G中拉普拉斯特征值1的重数。通过递归删除外部路上的P₃,刻画了不含拉普拉斯特征值1的星型树、双星树和三星树。     

三圈图和四圈图的最大无符号拉普拉斯分离度

设G是一个n阶简单图,其无符号拉普拉斯特征值为q₁(G)≥q₂(G)≥…≥q_n(G).图G的无符号拉普拉斯分离度为S_Q(G)=q₁(G)-q₂(G).研究了三圈图和四圈图的最大无符号拉普拉斯分离度,并刻画了相应的极图.     

图的最大拉普拉斯特征值的上界

设G=(V,E)是n阶简单连通图,D(G)和A(G)分别表示图的度对角矩阵和邻接矩阵,L(G)=D(G)-A(G)则称为图G的拉普拉斯矩阵。利用图的顶点度和平均二次度结合非负矩阵谱理论给出了图的最大拉普拉斯特征值的新上界,同时给出了达到上界的极图,并且通过举例与已有的上界作了比较,说明在一定程度上优于已有结果。     

图的Sum-connectivity指标与其无符号拉普拉斯谱半径

设G=(V,E)为简单连通图.图G的Sum-connectivity指标被定义为■,其中d_u表示顶点u的度.用q(G)表示图G的无符号拉普拉斯谱半径.本文研究了χ(G)与q(G)之间的关系,证明了对于所有顶点数n≥3的简单连通图G,都有■等式成立当且仅当G?S_n.     

一些关联图的拉普拉斯谱和基尔霍夫指标

基于图G,定义了三种关联图G₁,G₂和G₃,其拉普拉斯矩阵可以经过恰当排序表出。利用图论和行列式的性质以及代数组合的方法,研究这些关联图的拉普拉斯谱和基尔霍夫指标,最后得出了相应的结果。     

双圈图的(无符号)拉普拉斯积和多项式的刻画性质

令G为n个顶点的图,L(G)与Q(G)分别表示图G的拉普拉斯矩阵和无符号拉普拉斯矩阵。多项式π(L(G);x)=per(xI-L(G))(或π(Q(G);x)=per(xI-Q(G)))称为G的拉普拉斯积和多项式(或无符号拉普拉斯积和多项式)。在本文中,证明了两类双圈图是(无符号)拉普拉斯积和多项式确定的。     

图的拟拉普拉斯特征多项式的系数

设G是一个简单无向图,A是图G的邻接矩阵,对角矩阵D=diag(dl,d2,…,dn)是G的顶点度矩阵,则L+=D+A称为G的拟拉普拉斯矩阵.本文研究了G的拟拉普拉斯矩阵的特征多项式QG(μ)的系数,利用图G的边数、度序列和三角形个数给出了QG(μ)的一些系数的代数表达式.     

单圈图的Seidel无符号拉普拉斯能量

设G是一个具有n个顶点、m条边的简单图,S(G)表示G的Seidel矩阵,d_i表示顶点v_i的度,又以DS(G)=diag(n-1-2d_1,n-1-2d_2,…,n-1-2d_n)来表示对角矩阵,再依次定义图G的Seidel拉普拉斯矩阵为SL(G)=DS(G)-S(G)、图G的Seidel无符号拉普拉斯矩阵为SL~+(G)=DS(G)+S(G)和图G的Seidel无符号拉普拉斯能量为■,这里σ1L+,σ2L+,…,σnL+为矩阵SL+(G)的特征值.文章利用不等式讨论单圈图G的Seidel无符号拉普拉斯能量的上界,得到了几个有意义的结果.     

Cartesian积图的最大拉普拉斯特征值

设G=(V(G)),E(G)),H=(V(H),E(H))是两个简单的连通图,定义与的Cartesian积G×H图是:其顶点集为V(G×H)=V(G)×V(H),其中任何两个顶点(u,u’),(v,v’),相邻当且仅当u=v且u’,v’在H中相邻;或u’=v’且u,v在G中相邻,这里u,v∈V(G),u’,v’∈V(H).本文研究两个图的Cartesian图的拉普拉斯矩阵的最大特征值,得到如下结论:设简单图G具有n顶点m条边,图H具有P个顶点q条边,那么G和H的Cartesian积图G×H的拉普拉斯最大特征值p(L(G×H))≤2m/n[1+(n-1)(((n3/4m2)-(1/n-1))～(1/2))]+((2p-1)～(1/2))+1.     

剖分Q-邻接冠图的广义特征多项式及其应用

设正则图G₁和G₂的剖分Q-邻接点冠图G₁□·_QG₂是由Q(G₁)和|V(G₁)|个点不交的G₂的拷贝,通过连接V(G₁)中第i 个顶点的所有邻点与第i个G₂的拷贝的所有点后得到的图; 剖分Q-邻接边冠图G₁□—〓_QG₂是由Q(G₁)和|I(G₁)|个点不交的G₂的拷贝,通过连接 I(G₁)中第 i个顶点的所有邻点与第i个G₂的拷贝的所有点后得到的图。其中Q(G₁)是由图G₁的每条边上插入一个新点且当图G₁的2条边相邻时对应的2个新点之间连接一条边后得到的图, I(G₁)是图G₁中每条边上插入的新点所构成的集合。分别确定了剖分Q-邻接点冠图G₁□·_QG₂和剖分Q-邻接边冠图G₁□—〓_QG₂ 的广义特征多项式及其相应的Φ-谱。得到了G₁□·_QG₂和G₁□—〓_QG₂的规范拉普拉斯谱, 同时也构造了一些Φ-同谱无穷类。     

整可逆图的克罗内克积的逆

图G₁和G₂的克罗内克积G₁⊗G₂具有点集V(G₁)⊗V(G₂),在G₁⊗G₂中两个点(u₁,v₁)和(u₂,v₂)相邻当且仅当 u₁u₂∈E(G₁)且 v₁v₂∈E(G₂)。对整可逆图(即图的邻接矩阵的逆矩阵中只包含整数)的克罗内克积的逆进行刻画。     

不含4-圈或弦6-圈的平面图是(3,0,0)-可染的

设d₁,d₂,…,d_k是k个非负整数,若图G=(V,E)的顶点集V能被剖分成k个子集V₁,V₂,…,V_k,使得对任意的i=1,2,…,k,V_i的点导出子图G［V_i］的最大度至多为d_i,则称图G是(d₁,d₂,…,d_k)-可染的。关于平面图的染色,有以下结论:不含4-圈或弦6-圈的平面图是(3,0,0)-可染的。     

关于polynomial自同构的一个注记

设φ是群G的自同构, 如果对于任意的x∈G, 都有φ(x)=(v^-1₁x^ε₁v₁)(v^-1₂x^ε₂v₂)…(v^-1_mx^ε_mv_m),其中ε_i=±1, v₁,v₂,…,v_m是G中固定的元素,那么称φ是G的polynomial自同构。证明了如果G是幂零类为c的幂零群被导长为d的可解群的扩张, 那么G的polynomial自同构生成的群是幂零类至多为c-1的幂零群被导长至多为2d的可解群的扩张。     

笛卡尔乘积图的k-路点覆盖

对于一个图G和一个正整数k,若图G中任意一条阶数为k的路都至少包含集合S?V(G)中的一个顶点,那么集合S就为图G的一个k-路点覆盖。最小的k-路点覆盖基数记为ψ_k(G),为图G的k-路点覆盖数。研究圈图分别与圈图、完全图及完全二部图做笛卡尔乘积图的k-路点覆盖,得到ψ_k(G)相关的精确值和上下界。     

连通图的拉普拉斯特征值之和的下界

图的拉普拉斯矩阵是指其度对角矩阵和其邻接矩阵之差.设S(G)是图G的前两大的拉普拉斯特征值之和,在所有n阶的连通图中,S(G)的最小值一旦确定,相应的极图也被唯一地刻画.     

图的Laplacian矩阵谱半径

设G为n阶简单连通图,若L(G)为图G的度对角矩阵与邻接矩阵的差,则称L(G)为图G的Laplacian矩阵.结合非负矩阵谱理论,利用图的顶点度和平均二次度给出了图G的Laplacian矩阵的谱半径的新上界,同时给出了达到上界的极图.     

无相交三角形平面图的邻点可区别边染色

图G的k-邻点可区别边染色是指G的一个正常k-边染色满足对任意相邻顶点u和v,与u关联的边所染颜色集合和与v关联的边所染颜色集合不同。使G有k-邻点可区别边染色的k的最小值称为G的邻点可区别边色数,记作χ'_a(G)。通过运用权转移方法研究了无相交三角形平面图的邻点可区别边色数,证明了若图G为无相交三角形平面图,则χ'_a(G)≤max{Δ(G)+2,10}。     

单圈图的Laplacian谱

G 是一个图，A（G），D（G）分别是G 的邻接矩阵和顶点度序列对角矩阵，则矩阵L（G）=D（G）-A（G）称为G 的Laplacian 矩阵。作者考察了单圈图的Laplacian 矩阵的谱性质，并着重讨论了单圈图的代数连通度。