欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的正整数解

研究了方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)-6的可解性问题,φ(n)定义为欧拉函数。利用欧拉函数的性质和初等数论的方法,得到了该方程的所有正整数解。     

二元变系数欧拉函数方程φ(ab)=15φ(a)+17φ(b)的正整数解

目的研究欧拉函数方程φ(ab)=15φ(a)+17φ(b)正整数解的问题,其中a,b为不小于2的正整数。方法利用初等数论方法和欧拉函数的性质。结果与结论得到该方程所有80组正整数解,并解决了张四保等在文献中(张四保,席小忠.有关方程φ(ab)=k(φ(a)+φ(b))的正整数解[J].南京师大学报(自然科学版),2016,39(1):41-47.)所提出的一个数学问题。     

四元欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+φ(b)+2[φ(c)+φ(d)]的正整数解

利用初等数论的方法,研究了四元欧拉函数方程φ(abcd)=φ(a)+φ(b)+2[φ(c)+φ(d)]的正整数解问题,并得到其全部16组解。     

关于欧拉方程φ(ab)=2~k(φ((a)+φ(b))的正整数解简

设φ(m)为欧拉函数,探讨了方程φ(ab)=2k(φ(a)+φ(b))的正整数解问题.当k=2时,利用初等方法给出了该方程的所有正整数解.进而,对任意正整数k,给出了方程的5个正整数解:(a,b)=(3×2k-1,3×2k),(2k+1,5×2k-1),(2k+1,3×2k),(5×2k-1,3×2k),(2k+1,2k+1).对任意正整数k≥2,给出了方程的2个正整数解:(a,b)=(7×2k-2,13×2k-2),(9×2k-2,13×2k-2).     

三元变系数欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)的正整数解

研究了欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)+3φ(b)+4φ(c)的可解性问题,其中φ(n)为欧拉函数.利用初等数论相关内容,提出求解该方程的新的数学技巧,得到该方程所有共计70组正整数解.该方程的求解方法可用来解决类似的欧拉函数方程问题.     

数论函数方程φ(ab)=11φ2(a)+13φ2(b)的可解性

令数论函数φ(n)为Euler函数,数论函数φ_e(n)为广义Euler函数,基于Euler函数φ(n)与广义Euler函数φ_e(n)混合的不定方程的可解性,提出了方程φ(ab)=11φ_2(a)+13φ_2(b)的整数解的求解问题,利用函数φ(n)与φ_2(n)的有关性质,采用分类分段的讨论方式,得到了该方程有21组正整数解.     

三元欧拉函数方程φ(abc)=φ(a)+3(b)+5φ(c)的正整数解

研究了欧拉函数方程φ(abc)=φ(a)+3(b)+5φ(c)的正整数解,φ(n)是欧拉函数。通过初等数论中的相关知识、方法与技巧,得到了该方程的19组正整数解。     

方程φe(n)=2 tω(n)的可解性

利用广义欧拉函数的性质和初等的方法与技巧,研究e∈{2,3,4,6}时,方程φ_e(n)=2~(tω(n))的可解性,给出其部分正整数解.     

关于一类欧拉函数方程的正整数解

设φ(n)为欧拉函数。本文研究欧拉函数方程φ(abc)=Kφ(a)φ(b)+Nφ(c)的可解性问题,其中N是偶数.利用初等方法给出方程在K=2,N=8时的全部正整数解。     

一个含常数项的三元变系数欧拉函数方程的可解性

利用初等数论相关内容与运算技巧,探究了一个包含常数项的系数为特殊勾股数的三元变系数欧拉函数方程的可解性.在之前的多次累计运算中发现,当方程中的系数越大时,运算过程冗长且后面的情况几乎无解,故在方程中添加了调和数,使得运算过程得到了最大程度的精简.添加常数项对此类运算提供了很好的精简思路,最后给出了该方程的17组正整数解.     

方程φe(n)=ptω(n)(e=2,3,4,6)的可解性

利用广义欧拉函数的性质和初等的方法与技巧,研究e∈{2,3,4,6}时,方程φe(n)=p tω(n)(p为奇素数)的可解性,给出其部分正整数解及无解的几个充分条件.     

混合型欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+8φ(c)的正整数解

利用初等数论方法及欧拉函数有关性质,研究三元变系数混合型欧拉函数方程φ(abc)=2φ(a)φ(b)+8φ(c)正整数解的问题.结果得出了该方程共计95组正整数解.     

关于欧拉方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整数解

基于φ(n)为Euler函数,探讨了不定方程φ(mn)=2×3(φ(m)+φ(n))的正整数解的问题,并利用初等解法给出了该方程满足m≤n的所有正整数解。     

数论函数方程tφ(n)+φ2(n)=S(SL(nk))的正整数解

设t∈N,n∈Z⁺,其中N和Z⁺分别是所有非负整数集合和所有正整数集合,利用欧拉函数φ(n)、广义欧拉函数φ₂(n)、Smarandache LCM函数SL(n)和Smarandache函数S(n)的性质以及初等数论的方法,得到了方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹³))只在t=0、1、2、3、4、5、7、10、13、15时有正整数解n及方程tφ(n)+φ₂(n)=S(SL(n¹⁸))只在t=0、1、3、6、7、9、14、18、19时有正整数解n,并给出了这两个方程的所有正整数解n。     

方程φ5(n)=2(ω(n))的可解性

为将Lehmer同余式的模从素数的平方推广到任意整数的平方,Cai等(CAI T X, FU X D, ZHOU X. Acta Aritmetica, 2007,130(3):203-214.)定义了广义欧拉函数φ_e(n),给出了e=3,4,6时广义欧拉函数φ_e(n)的计算公式.最近Zhu等(ZHU C Z, LIAO Q Y. arXiv:2105.10870v1,2021.)确定了e=5时φ_e(n)的准确计算公式.利用初等的方法和技巧,研究方程φ₅(n)=2⁽ω(n))的可解性,确定其全部正整数解.     

关于一个三元变系数欧拉函数方程的正整数解

设φ(n)为Euler函数,探究一个系数为特殊勾股数的三元不定方程φ(abc)＝3φ(a)＋4φ(b)＋5φ(c)的可解性.利用初等方法与技巧,对主要结论进行了完整的阐明,通过分析筛选后得到该不定方程共有40组正整数解.文中所用分类方法以及将系数选定为特殊勾股数的思想,为同类型方程的研究提供了新的思路.     

关于Smarandache LCM函数的方程S(SL(n~(14,36)))=φ_2(n)的可解性

令S(n)为Smarandache函数,SL(n)为SmarandacheLCM函数,φ_2(n)为广义欧拉函数。讨论方程S(SL(n~(14)))=φ_2(n)和S(SL(n~(36)))=φ_2(n)可解性,利用初等方法并结合函数φ_2(n)与函数S(n)的性质,给出了这两个方程的所有正整数解。     

Euler函数方程φ(xy)=7φ(x)+13φ(y)的正整数解

利用初等方法研究了不定方程φ(xy)=7φ(x)+13φ(y)的可解性问题,并给出了该方程的全部正整数解,其中φ(n)是Euler函数.