Taylor公式及其余项的证明

Taylor公式作为高等数学中的重要内容,是一元函数微分学中非常重要的公式之一.Taylor公式可以解决很多数学方面的具体问题,因此对Taylor公式的研究具有非常大的理论价值和实际应用意义.本文首先从Taylor公式的一般型出发,在理解泰勒公式基本含义的基础上,对Taylor公式一般型进行了一系列的推导,分别得到了Peano、Lagrange以及积分三种不同形式的余项,并对其科学性进行了详细的证明,从而进一步加深对Taylor公式的理解以及对函数性态的研究,形成发散性思维.     

Taylor定理在广义积分收敛性中的应用

本文研究Taylor定理在判定广义积分(包括无穷级数)的收敛性中的应用.Taylor公式将函数用多项式来表示,而广义积分收敛性判定中常用(x-a)-p(a=0或瑕点)作"参照函数."本文将这两者结合起来,得到了广义积分收敛性的一种有效的判定方法.     

关于Iyengar型积分不等式

利用余项为积分形式的Taylor公式给出一个含参数的Iyengar型积分不等式,并由此提供了对最基本的Iyengar积分不等式和其他Iyengar型积分不等式新的解析证明.     

柯西主值积分四点求积公式的参数优化

通过证明给出了柯西主值积分四点求积公式的一组参数优化值,以及一定限制下的误差公式,并通过数值实例验证了对某些函数,其误差小于Price公式.     

关于Iyengar型积分不等式

利用余项为积分形式的Taylor公式给出一个含参数的Iyengar型积分不等式，并由此提供了对最基本的Iyengar积分不等式和其他Iyengar型积分不等式新的解析证明．     

格林公式及其在微分方程中的应用

格林公式沟通了被积函数在积分区域上的积分和边界积分的关系.在一维函数中,格林公式即为定积分的分部积分法,在高维函数中,分部积分法与格林公式不再相同.首先给出一维分部积分法并加以证明,其次给出二维格林公式及其证明并利用高维函数分部积分法证明一般形式的格林公式,最后给出格林公式在微分方程变分问题中的一些应用.     

柯西主值积分四点求积公式的参数优化

通过证明给出了柯西主值积分四点求积公式的一组参数优化值，以及一定限制下的误差公式，并通过数值实例验证了对某些函数，其误差小于Price公式。     

指数有界C余弦算子函数的概率型表示

利用指数有界C余弦算子函数{C(t);t∈R}的性质,推出了指数有界C余弦算子函数的Taylor展开式,然后借助Pettis积分、Holder不等式及随机变量的矩生成函数等工具,得到了指数有界C余弦算子函数的概率逼近公式及Vonorovskaya型渐近公式。     

定积分计算中的若干技巧

在微积分基本定理——计算定积分的基本公式——牛顿-莱布尼兹公式和计算定积分的2个常用积分公式:分部积分公式、换元积分公式基础之上,总结归纳了对具有某种性质的被积函数在某些特殊区间上的定积分的计算方法,以及在定积分的计算中常常被忽略的技巧。提出了在定积分计算中可以充分地利用被积函数的奇偶性、周期性、积分区间的对称性,以及定积分的几何意义(平面图形所围区域的面积)。也可以利用一些已经被证明的相关结论来计算定积分。这些方法的使用可以使定积分的计算量大大减少,从而提高运算效率,减少计算时间。     

关于n维球体上的一个重积分不等式

本文利用多元函数的Taylor公式建立了一个定义在n维球体上的多元函数f（x）带参数的n重积分不等式.如果f（x）的m＋1阶偏导数有上界和下界,该不等式也是Iyengar型积分不等式的一种推广.     

关于正弦函数求导公式的严格证明

在以往的证明正弦函数求导公式时,多利用了重要极限公式,对正弦函数的反函数Abel积分,运用反函数的求导法则,给出正弦函数求导公式的严格证明.     

多元函数的Taylor公式及其应用

本文主要阐述多元函数的Taylor公式,并且介绍Taylor公式在求极限、近似计算、研究函数性态及设计算法等方面的应用。     

关于积分不等式的证明

本文就积分不等式的证明给出了利用极限运算、二重积分正定性、Hilbert空间的性质及概率论等不同于传统的构造辅助函数和Taylor展开的方法.     

三元奇偶函数在对称区域上的积分公式及其证明

将奇偶函数在对称区间上的定积分公式进行了推广,得到了三元奇偶函数在对称区域上的三重积分公式,并给出了积分公式的证明,以简化某些积分的计算.     

广义的变限积分函数求导公式证明及其应用

针对高等数学中学生不太容易理解的变限积分函数的求导问题,首先分析了变限积分函数的本质及其重要意义所在,然后给出了更为一般化的广义的变限积分函数求导公式、广义的含参变量的变限积分函数求导公式,并基于导数的定义给出了两个求导公式的证明过程。通过对广义的变限积分函数求导公式的推导以及对历年竞赛、考研相关题目的分析,使学生更加清楚学习变限积分函数的目的、更加灵活地应用广义的变限积分函数的求导方法。     

一种积分不等式及其应用

以算术平均与几何平均不等式为基础,获得蕴涵于正值可积函数矩阵中的一种积分不等式公式.利用此公式不难看到,一些重要的积分不等式可以通过构造正值可积函数矩阵进行直观明了的证明,同时亦可应用此公式创造相应的积分不等式.     

C~n空间中有界域上微分形式的积分表示

利用拓广的Bochner-Martinelli核和HenkinLeiterer的积分表示方法,研究Cn空间中有界域上连续的(0,q)型微分形式的积分表示,得到拓广的Koppelman公式.该拓广的公式与已有的公式不同之处在于所用的积分核是与复椭球相关,可以使积分公式适用更一般的函数,如在某些地方不连续的函数.     

利用实积分证明Cauchy积分公式

本文利用实变函数积分中值定理,结合Cauchy积分定理在复围线推广形式,用实变函数积分的方法证明了复变函数论中的Cauchy积分公式。证明过程简单易懂。     

一个新的Hilbert不等式及其等价形式

引入单参数λ,β函数及Taylor级数,建立了一个新Hardy-Hilbert积分不等式,给出两种不同的最佳推广,并证明其常数因子为最佳值。作为应用,考虑了相应的等价形式。     

大气边界层湍流积分尺度的分析方法

分析了大气边界层风洞中模拟湍流和实测大气湍流的积分尺度，通过风洞中的模拟湍积分尺度分析，检验了Taylor假设的合理性，并比较了五种常用方法的计算结果，确定出合适的分析方法；利用自相关函数直接积分和自拟合模型（AR模型）的方法分析了实际大气湍流的积分尺度，结果证明自相关函数直接积分的方法最为简便合理。